2015复变函数复习大纲

1、2015复变函数与积分变换复习提纲第一章 复数 复数的表示：直角坐标表示、三角函数表示、指数表示。基本运算：加、减、乘、除、共轭 核心问题：复数三种表示之间的关系，如何相互变换；加、减、乘、除及共轭运算的基本性质。第二章复变函数 2.1、复变函数：(1) 区域、边界、连通;(2) 复变函数的极限、连续。2.2、解析函数的概念(1) 导数、解析;(2) Cauchy-Riemann条件和函数可微的关系(定理)。 2.3、解析函数和调和函数共轭调和函数的概念和其几何意义。 2.4、初等解析函数和多值函数(1) 初等单值函数：(2) 初等多值函数：(3) 支点、支割线概念意义。 核心问题：复变函数的

2、表示及基本运算；导数的计算方法(利用极限定义)，函数解析的性质和判断依据；支点、支割线概念的定义，引入的意义，常见多值函数的性质。第三章 Cauchy定理与Cauchy积分 3.1、复变函数积分的定义、计算。 3.2、Cauchy积分定理（解析函数）：(1) Cauchy积分定理的描述;(2) 解析函数的不定积分计算;(3) 复围线上的Cauchy积分定理。 3.3、Cauchy积分公式(1) Cauchy积分公式的描述： (2) 由Cauchy积分公式引出的解析函数的无限次可微性：(3) 模的最大值原理，平均值定理，Cauchy不等式，整函数，Liouvile定理 核心问题：复变积分的定义及

3、计算方法；解析函数积分和非解析函数积分有什么重要的区别，Cauchy积分定理的描述，注意的问题(函数的解析性)；Cauchy积分公式、复围线Cauchy积分公式的表示，与Cauchy积分定理之间的关系。第四章 解析函数的幂级数表示 4.1、函数项级数的基本性质(1) 复数项收敛、绝对收敛(条件收敛)(2) 函数项级数的一致性收敛的定义和判据。 4.2、幂级数与解析函数(1)幂级数项级数的收敛性，Abel定理及推论。(2)收敛半径的计算；(3)解析函数的Taylor展开。 4.3、Laurant级数：Laurant展开的定义及意义。 4.4、单值函数的孤立奇点：(1) 0点的定义以及阶数的确定；

4、(2) 孤立奇点的分类、判断；(要掌握利用0点的性质确定奇点行为的方法) 核心问题：函数项级数一致收敛性的定义，如何证明一个函数项级数一致收敛，而一致收敛的函数项级数都有哪些重要性质；幂级数、双边幂级数的收敛特性，收敛半径的计算方法；Taylor展开、Laurent展开的表示，两个重要的问题：展开中心、收敛半径，利用奇点如何判断收敛半径；孤立奇点的判断依据，孤立奇点的类型，分别如何判断。第五章 留数及其应用 5.1、留数及留数定理(1) 理解留数定理与复围线Cauchy积分定理之间的关联。(2) 掌握留数的计算(可去奇点和常点、n阶极点、本性奇点)、复闭合围道积分的运算。 5.2、利用留数定理计算实变函数的积分三种类型实积分的运算：(1), (2) , (3) 实轴上存在奇点。 核心问题：留数的定义，引入的意义；留数定理的表述，如何利用留数定理计算闭合围道积分；利用留数定理如何计算常见实变函数的积分，特别是类型的积分，另外要注意如何处理积分路径上如果有奇点如何数学处理(有定理)。第七章 积分变换 1、Fourier积分变换的定义，象函数及原象的计算；2、Laplace变换的定义，Laplace变换与Fourier变换的区别及联系； 3、展开定理及Laplace逆变换。核心问题：Fourier积分变换的定义及意义，基本的计算方法，重要性质；Laplace变换的定义，与Four