直线与圆锥曲线

1、直线与圆锥曲线的位置关系1.(2013深圳一模)过点A的直线l与抛物线y22x有且只有一个公共点，这样的l的条数是()A0或1B1或2C0或1或2 D1或2或3解析：选D当A在抛物线的外部时，共有三条直线与抛物线只有一个公共点(有两条是切线，一条与抛物线的对称轴平行，如图)；可以想象，当A在抛物线上时，有两条直线与抛物线只有一个公共点；当A在抛物线的内部时，只有一条直线与抛物线只有一个公共点故选D.2双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是()Ak BkCk或k Dk解析：选D由双曲线渐近线的几何意义知k.3. (20

2、13广州二模)已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：x24y有一个相同的焦点F1，直线l：y2xm与抛物线C2只有一个公共点(1)求直线l的方程；(2)若椭圆C1经过直线l上的点P，当椭圆C1的离心率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点P的坐标解：(1)由消去y，得x28x4m0， 直线l与抛物线C2只有一个公共点，8244m0，解得m4.直线l的方程为y2x4.(2)抛物线C2的焦点为F1(0,1)，依题意知椭圆C1的两个焦点的坐标为F1(0,1)，F2(0，1)设椭圆C1的方程为1(a1)，由消去y, 得(5a24)x216(a21)x(a21)(16a2)0.(*)由162(a21

3、)24(5a24)(a21)(16a2)0，得a44a20(a20且a210)，解得a24.a1，a2，e，当a2时，emax，此时椭圆C1的方程为1.把a2代入方程(*)，解得x.又y2x4，y1，点P的坐标为.2(2014郑州模拟) 已知F是抛物线y24x的焦点，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|3|BF|，则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为()A. B.C. D10解析：选B设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x10，x20，设过A，B两点的直线方程为xmy1，将xmy1与y24x联立得y24my40，y1y24，则由解得x13，x2，故线段AB的中点到该抛物线的

4、准线x1的距离等于1，选B. 5已知双曲线方程2x2y22.(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1，Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？如果l存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由解：(1)设A(2,1)的中点弦两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有x1x24，y1y22.又据对称性知x1x2，由P1，P2在双曲线上，则有关系2xy2,2xy2.两式相减得2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，24(x1x2)2(y1y2)0.4，即以A(2,1)为中点的弦所在直线的斜率k4.故所求中点

5、弦所在直线方程为y14(x2)，即4xy70.(2)可假定直线l存在，采用(1)的方法求出l的方程为y12(x1)，即2xy10.联立方程组消去y，得2x24x30.(4)242380，无实根，因此直线l与双曲线无交点，故满足条件的直线l不存在3过抛物线y22px(p0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若 (1)，则的值为()A5 B4C. D.解析：选B根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得， 故y1y2，即.设直线AB的方程为y，联立直线与抛物线方程，消元得y2pyp20.故y1y2p，y1y2p2，2，即2.又1，故4.3(2013郑州模拟)已知双曲线x21上存

6、在两点M，N关于直线yxm对称，且MN的中点在抛物线y218x上，则实数m的值为_解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1)，显然x1x2.3，即kMN3，M，N关于直线yxm对称，kMN1，y03x0，又y0x0m，P，代入抛物线方程得m218，解得m0或8，经检验都符合答案：0或8角度二抛物线中中点弦问题2(2013郑州模拟)过点M(2，2p)作抛物线x22py(p0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是_解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y，切线MA

7、的方程是yy1(xx1)，即yx.又点M(2，2p)位于直线MA上，于是有2p2，即x4x14p20；同理有x4x24p20，因此x1，x2是方程x24x4p20的两根，则x1x24，x1x24p2.由线段AB的中点的纵坐标是6得，y1y212，即12，12，解得p1或p2.答案：1或2典例如图，设抛物线方程为x22py(p0)，M为直线l：y2p上任意一点，过M引抛物线的两条切线，切点分别为A，B(B点在A点右侧)设抛物线上一点P到直线l的距离为d，F为焦点，当d|PF|，M的坐标为(2，2)时，求抛物线方程和线段AB的长解依题意，由d|PF|，得，解得p1，故抛物线方程为x22y.设过M点

8、的直线为yk(x2)2，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程得消去y，得x22kx4(k1)0.(*)若直线与抛物线相切，则4k216(k1)0，k22，此时，方程(*)有等根xk，xB22，xA22，xBxA4，xBxA4.A，B在抛物线上，yByA8.|AB|4.2(2013成都模拟)已知双曲线1(a0，b0)的渐近线与曲线y相切，则该双曲线的离心率为_解析：双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，由得2x22x10，由渐近线与曲线y相切可知4420，得1，所以该双曲线为等轴双曲线，离心率为.答案：1过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条B2条C3条 D4条解析：选C结合图形分析可知，满