函数的三要素

1、函数的三要素一、知识要点1函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|xA 叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数探究2.若两个函数的定义域与值域相同，它们是否是同一个函数？提示：不一定如函数yx与yx1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如ysin x与ycos x，其定义域都为R，值域都为1,1，显然不是同一个函数因为定义域和对应

2、法则完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应法则完全相同的两个函数才是同一个函数3函数的表示方法表示函数的常用方法有：列表法、解析法和图象法4分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数，通常叫做分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数5常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)yax(a0且a1)，ysin x，ycos x，定义域均为R.(5)ylogax(a0且a1)的定义域为(

3、0，)(6)ytan x的定义域为.(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约6求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域(3)换元法：形如yaxb(a，b，c，d均为常数，且a0)的函数常用换元法求值域，形如yax的函数用三角函数代换求值域(4)分离常数法：形如y(a0)的函数可用此法求值域(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围【例

4、题精讲】例1有以下判断：f(x)与g(x)表示同一个函数；函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个；f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数；若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确的是_(填序号)自主解答对于，函数f(x)的定义域为x|xR且x0，而函数g(x)的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于，若x1不是yf(x)定义域内的值，则直线x1与yf(x)的图象没有交点，若x1是yf(x)定义域内的值，由函数的定义可知，直线x1与yf(x)的图象只有一个交点，即yf(x)的图象与直线x1最多有一个交点；对于，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以f(x)与g(

5、t)表示同一函数；对于，由于f0，所以ff(0)1.综上可知，正确的判断是.答案例2已知函数f(x)则f(2log23)的值为_自主解答2log234，f(2log23)f(3log23)3log23log23.答案例3(1)(2012山东高考)函数f(x) 的定义域为_(2)已知函数f(x21)的定义域为0,3，则函数yf(x)的定义域为_自主解答(1)x满足即解得1x0或00，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg(x1)(3)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)

6、xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x(xR)(4)当x(1,1)时，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代x，得 2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)，得f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)【方法规律】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(x

7、)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)例5求下列函数的值域：(1)y；(2)yx；(3)yx.自主解答(1)法一：(分离常数法)y1.因为0，所以11，即函数的值域是y|yR，y1法二：由y得yxyx3.解得x，所以y1，即函数值域是y|yR，y1(2)法一：(换元法)令t，则t0且x，于是yt(t1)21，由于t0，所以y，故函数的值域是.法二：(单调性法)容易判断函数yf(x)为增函数，而其定义域应满足12x0，即x.所以yf，即函数的值域是.(3)法一：(均值不等式法)当x0时，x2 4，当且仅当x2时“”成立；当x0时，x(x)4，当且仅当x2

8、时“”成立即函数的值域为(，44，)法二：(导数法)f(x)1.x(，2)或x(2，)时，f(x)单调递增，当x(2,0)或x(0,2)时，f(x)单调递减故x2时，f(x)极大值f(2)4；x2时，f(x)极小值f(2)4.即函数的值域为(，44，)【互动探究】若将本例(3)改为“yx”，如何求解？解：易知函数yx在(，0)和(0，)上都是增函数，故函数yx的值域为R. 1求下列函数的值域(1)ylog2(4x2)； (2)y； (3)ylog3xlogx31.解：(1)因为4x2(0,4，所以log2(4x2)(，2，故原函数的值域为(，2(2)y1，x2x12，0，y1时，t0，y2 1

9、1，当且仅当t即log3x1，x3时，等号成立；当0x1时，t0，则对于正数b，f(x)的定义域为Dx|ax2bx00，)，但f(x)的值域A0，)，故DA，即a0不符合条件；若an3；当h(a)的定义域为n，m时，值域为n2，m2？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由解：(1)由f(x)x，x1,1，知f(x)，令tf(x)记g(x)yt22at3，则g(x)的对称轴为ta，故有：当a时，g(x)的最小值h(a)，当a3时，g(x)的最小值h(a)126a，当an3时，h(a)在n，m上为减函数，所以h(a)在n，m上的值域为h(m)，h(n)由题意，则有两式相减得6n6mn2m2，

10、又mn，所以mn6，这与mn3矛盾，故不存在满足题中条件的m，n的值三、当堂练习1下列对应法则是集合P上的函数的是_PZ，QN*，对应法则f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；P1,1，2,2，Q1,4，对应法则：f：xyx2，xP，yQ；P三角形，Qx|x0，对应法则f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应解析：对于，集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，故不是函数；对于集合P不是数集，故不是函数；正确答案：2(2014泰州模拟)设集合Mf(x)|存在实数t使得函数f(x)满足f(t1)f(t)f(1)，则下列函数(a，b，c，k都是常数)：ykxb(k0，b0)；yax(a1

11、)；y(k0)；ysin x.其中属于集合M的函数是_(填序号)解析：对于：由k(t1)bktbkb得b0，矛盾；对于：由at1ata知，可取tlog a，符合题意；对于：由k知，无实根；对于：由sin (t1)sin tsin 1知，取t2k，kZ，符合题意综上所述，属于集合M的函数是.答案：3(2011江苏高考)已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是_解析：画出f(x)的图象，如图，由图象可知，若f(1x2)f(2x)，则即得x(1，1)答案：(1，1)4(2012江苏高考)函数f(x) 的定义域为_解析：由12log6x0，解得log6x0x，故所求定义域为(

12、0， 答案：(0， 5(2014宿迁期中)已知等腰ABC周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y102x，则函数的定义域为_解析：由题意知即x5.答案：x|x56若函数yf(x)的定义域为0,2，则函数g(x)的定义域是_解析：要使g(x)有意义，则解得0x1.故定义域为0,1)答案：0,1)7已知函数f(x)满足f(x)2f(3x)x2，则f(x)的解析式为_解：由f(x)2f(3x)x2可得f(3x)2f(x)(3x)2，由以上两式解得f(x)x24x6.答案：f(x)x24x68(2014启东模拟)若f(ab)f(a)f(b)且f(1)1，则_.解析：令b1，f(1)1，2 013

13、.答案：2 0139若函数f(x)的值域是，则函数F(x)f(x)的值域是_解析：令tf(x)，则t3.易知函数g(t)t在区间上是减函数，在1,3上是增函数又因为g，g(1)2，g(3).可知函数F(x)f(x)的值域为.答案：10(2013苏北四市模拟)若函数f(x)则函数yf(f(x)的值域是_解析：当x0时，f(x)2x(1,0)，故yf(f(x)2f(x)，从而原函数的值域为.答案：11(2014金陵中学模拟)设x2，则函数y的最小值是_解析：y，设x1t，则t3，那么yt5，在区间2，)上此函数为增函数，所以t3时，函数取得最小值即ymin.答案：12用mina，b，c表示a，b，

14、c三个数中的最小值设f(x)min2x，x2,10x(x0)，则f(x)的最大值为_解析：f(x)min2x，x2，10x(x0)的图象如图令x210x，得x4.当x4时，f(x)取最大值，f(4)6.答案：613设函数g(x)x22(xR)，f(x)则f(x)的值域是_解析：令x0，解得x2；令xg(x)，即x2x20，解得1x2，故函数f(x)当x2时，函数f(x)f(1)2；当1x2时，函数ff(x)f(1)，即f(x)0，故函数f(x)的值域是(2，)答案：(2，)14(2014泰州模拟)定义新运算“”：当ab时，aba；当a1)，求a，b的值解：f(x)(x1)2a，其对称轴为x1，即1，b为f(x)的单调递增区间f(x)minf(1)a1， f(x)maxf(b)b2b