第1课FDTD基础

1、Nanjing University of,Science & Technology,计算电磁学,Unit 1,：,时域有限差分方法,樊振宏,研究背景,近年来，微波和毫米波通信、航空航天、雷达、精确制导等,民用军用系统朝着,高频化,、,微型化,、,多功能,、,高可靠性,以及,低,成本,方向发展。,由于色散、不连续性和封装而产生的失真与,时延，以及由于耦合而产生的串音噪声等问题变得十分严重，,传统的准静设计方法已不能满足设计要求，必须采用精确的电,磁场全波分析方法。,?,?,电磁分析的本质是求解,Maxwell Equation,在特定初始条件特,定边界条件下,边界的复杂，导致传统的解析分析方法

2、无法胜任,2,计算电磁学的应用领域,3,电磁场全波分析方法分类,基于微分方程模型的分析方法,?,时域有限差分,?,频域有限差分,?,有限元,FDTD,Finite Difference Time Domain,FDFD,Finite Difference Frequency Domain,FEM,Finite Element Method,基于积分方程模型的分析方法,?,矩量法,MoM,Method of Moment,?,基于矩量法的快速算法,4,3-D,Maxwells,Equations,?,H,v,?,?,D,v,/,?,t,?,J,v,(,Amperes law),?,E,v,?,?

3、,B,v,/,?,t,?,J,v,m,(Faradays,law),各向同性介质中的本构关系为：,J,v,v,D,v,?,v,J,v,?,?,E,?,v,m,?,m,H,B,v,?,E,?,?,H,v,5,FDTD,简介,时,域,有,限,差,分,法,（,Finite,Difference,Time,Domain,FDTD,）,是对时域,Maxwell,方程进行差分离散的方式，是,电磁场计算领域的一种常用方法。,FDTD,由,K.,S.,Yee,在,1966,年在其论文中提出，其模型基础就是电动力学中最基,本的麦克斯韦方程（,Maxwells,equation,）,。在,FDTD,方法提出之后，

4、随着计算技术，特别是电子计算机技术的发,展，,FDTD,方法得到了长足的发展，在电磁学，电子学，光,学等领域都得到了广泛的应用。,K.S.,Yee.,Numerical,solution,of,initial,boundary,value,problems,involving,Maxwells,equations,in,isotropic,media.,IEEE,Trans.,Antennas,Propagat.,14:,302,307,1966,6,葛德彪,闫玉波,.,电磁波时域有限差分方法,(,研究生教学用书,),.,西安电子科技大,学出版社,版本,:,第,2,版,西安电子科技大学出版社,

5、. 2005,王秉中,.,计算电磁学,.,科学出版社,.2005,盛新庆,.,计算电磁学要论（第,2,版）,.,中国科学技术大学出版社,2008,7,旋度方程展开为六个标量场方程,?,E,x,?,H,z,?,H,y,?,?,?,E,x,?,?,?,y,?,z,?,t,?,E,y,?,E,z,?,H,x,?,?,?,m,H,x,?,?,?,z,?,y,?,t,?,H,y,?,E,z,?,E,x,?,?,?,m,H,y,?,?,?,x,?,z,?,t,?,E,y,?,H,x,?,H,z,?,?,?,E,y,?,?,?,z,?,x,?,t,?,H,y,?,H,x,?,E,z,?,?,?,E,z,?,

6、?,?,x,?,y,?,t,?,E,x,?,E,y,?,H,z,?,?,?,m,H,z,?,?,?,y,?,x,?,t,8,Mathematic Basis,?,Forward Difference,f,(,x,0,?,?,x,),?,f,(,x,0,),f,(,x,0,),?,?,x,?,Backward Difference,f,(,x,),f,(,x,0,),?,f,(,x,0,?,?,x,),f,(,x,0,),?,?,x,?,Central Difference,f,(,x,0,?,?,x,),?,f,(,x,0,?,?,x,),f,(,x,0,),?,2,?,x,x,0,?,?,x

7、,x,0,x,x,0,?,?,x,9,差分近似,对,f,(,i,j,k,),关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分,近似：,1,1,?,j,k,),?,2,2,?,?,?,x,x,?,i,?,x,?,?,1,1,n,n,f,(,i,j,?,k,),?,f,(,i,j,?,k,),n,?,?,f,(,x,y,z,),2,2,?,?,?,y,?,y,?,y,?,j,?,y,?,1,1,?,n,n,f,(,i,j,k,?,),?,f,(,i,j,k,?,),n,?,f,(,x,y,z,),?,2,2,?,?,?,z,?,z,z,?,k,?,z,?,1,1,?,n,?,n,?,n,?,f,(,x,y,z

8、,),f,2,(,i,j,k,),?,f,2,(,i,j,k,),?,?,?,?,t,?,t,?,t,?,n,?,t,?,f,(,x,y,z,),?,x,n,n,f,n,(,i,?,j,k,),?,f,n,(,i,?,?,E,x,?,H,z,?,H,y,?,?,?,E,x,?,?,?,y,?,z,?,t,?,E,y,?,H,x,?,H,z,?,?,?,E,y,?,?,?,z,?,x,?,t,?,H,y,?,H,x,?,E,z,?,?,?,E,z,?,?,?,x,?,y,?,t,10,FDTD,?,直观,?,存储空间仅仅与网格总数成正比,?,同时获取时域信息和频域信息,?,可一次获得宽频带的信息

9、,11,FDTD,FDTD,法对电磁场,E,、,H,分量在,空间,和,时间,上采取,交替,抽样的,离散方式，每一个,E,（或,H,）,场分量周围有,四个,H,（或,E,）,场分量环绕，应用这种离散方式将含时间变量的麦克斯韦,旋度方程转化为一组差分方程，用具有相同电参量的空间,网格去模拟被研究对象，选取适当的场初始值和计算空间,的边界条件，在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。,12,Yee cell (leapfrog),E,y,Alternative grid!,E,x,(i,j,k+1),E,z,H,x,H,y,H,z,少了立方体中,心点的网格信,息,(i,j+1,k),z,y,(i+1,j

10、,k),(i+1,j+1,k),x,13,E,y,E,x,(i,j,k,+1),E,z,H,x,H,y,(i,j,+1,k),H,z,z,(i+1,j,k),y,(i+1,j+1,k),x,在,Yee,元胞结构上，,6,个场分量在,Yee,元胞的表面上进行离散，在空间上，,各电场分量,Ex,Ey,Ez,在,Yee,元胞的棱边中间离散；各磁场分量,Hx,Hy,Hz,在,Yee,元胞表面的中间离散。在时间上，各电场分量分布在元胞棱边上，,方向与棱边一致，属于整数网格线上，这样电场分量在整时刻离散；各磁场,分量分布在元胞面的中间，其方向垂直元胞面，指向半网格位置，这样磁场,分量在半时刻离散。,14,

11、E,y,E,x,(i,j,k,+1),E,z,H,z,H,x,H,y,(i,j,+1,k),z,(i+1,j,k),y,(i+1,j+1,k),x,场分量的空间编号，采用上面的场量空间离散定义，定义各方向上,的,Yee,元胞棱边为整数,n,编号，棱边的中间位置为半整数,n+1/2,的自然编号。以,Yee,元胞的角点为整数网格点为参考点编号，如,图中的各坐标方向最小的左下点为整数的,(i,j,k),离散点，相对于参,考编号点，相差多少网格，即相差几个编号，对于相差半个网格的,场量位置，用,1/2,表示半个网格。如,Ex,分量，在,x,方向位于半个,网格上，用,1/2,表示，而在,y,、,z,方向

12、上位于整数网格上，用整数,表示，即,Ex,(i,+1/2,j,k),，其他电场分量也是类似编号；对于,Hx,分量，在,x,方向位于整网格线上，而在,y,、,z,方向上，位于半个,网格上，即,Hx,(i,j,+1/2,k,+1/2),，其他磁场分量也是类似编,15,号。,Yee,网格的特点,Yee,网格体系的特点是，,E,和,H,各分量在空间的取值点被交叉,放置，使得在每个坐标平面上每个,E,分量由四个,H,分量环绕，,同时每个,H,分量由四个,E,分量环绕。这样的,电磁场空间分布符,合电磁场的基本规律,法拉第电磁感应定律和安培环路定,律的自然结构，即符合麦克斯韦方程的基本要求，能够恰当,地描述

13、电磁场的传播特性。,为实现空间坐标的差分计算，并考虑导电磁场在空间相互正,交和交链的关系，在,Yee,网格中，每个坐标轴方向上场分量,间相距半个网格空间步长，因而同一种场分量之间相隔一个,空间步长：电场和磁场在时间顺序上相隔半个时间步长，这,样，使,麦克斯韦方程离散后可以构成显式差分方程,，从而给,出电磁问题的初始值后，可以在时间上迭代求解。,16,Hx,对应,Yee,元胞表面上各场量分布示意,17,3-D,Maxwells equations,?,H,v,?,?,D,v,/,?,t,?,J,v,(Amperes law),?,E,v,?,?,B,v,/,?,t,?,J,v,m,(Farada

14、ys law),各向同性介质中的本构关系为：,J,v,v,D,v,?,v,J,v,?,?,E,?,?,v,m,m,H,B,v,?,E,?,?,H,v,18,直角坐标系中的,FDTD,方程,六个标量场方程,?,E,x,?,H,z,?,H,y,?,?,?,E,x,?,?,?,y,?,z,?,t,?,E,y,?,E,z,?,H,x,?,?,?,m,H,x,?,?,?,z,?,y,?,t,?,H,y,?,E,z,?,E,x,?,?,?,m,H,y,?,?,?,x,?,z,?,t,?,E,y,?,H,x,?,H,z,?,?,?,E,y,?,?,?,z,?,x,?,t,?,H,y,?,H,x,?,E,z,

15、?,?,?,E,z,?,?,?,x,?,y,?,t,?,E,x,?,E,y,?,H,z,?,?,?,m,H,z,?,?,?,y,?,x,?,t,19,E,公式推导举例,?,E,x,?,H,z,?,H,y,?,?,?,?,?,y,?,z,?,t,1,1,n,?,n,?,?,1,1,1,?,1,1,?,?,2,?,2,?,?,H,z,?,i,?,j,?,k,?,?,H,z,?,i,?,j,?,k,?,?,?,y,?,2,?,2,?,?,?,2,?,2,x,E,z,H,y,E,(i,j,k,+,1,),z,E,y,H,x,H,(i,j,+1,k),z,(,i,+1,j,k),(,i,+1,j,+,1

16、,k),x,y,1,1,n,?,n,?,?,1,1,1,?,1,1,?,?,2,?,2,?,?,?,H,y,?,i,?,j,k,?,?,?,H,y,?,i,?,j,k,?,?,?,?,z,?,2,?,2,?,?,?,2,?,2,?,E,?,?,t,?,?,?,n,?,1,x,1,?,1,?,?,?,n,?,?,i,?,j,k,?,?,E,x,?,i,?,j,k,?,?,?,2,?,?,2,?,?,20,H,公式推导举例,?,H,x,?,E,z,?,E,y,?,?,?,?,0,?,y,?,z,?,t,1,?,n,?,1,?,1,?,?,n,?,E,z,?,i,j,?,1,k,?,?,?,E,z,

17、?,i,j,k,?,?,?,?,?,y,?,?,2,?,2,?,?,?,x,E,z,H,y,E,(i,j,k,+,1,),z,E,y,H,x,H,(i,j,+1,k),z,(,i,+1,j,k),(,i,+1,j,+,1,k),x,y,1,?,n,?,1,1,?,?,?,n,?,?,?,E,y,?,i,j,?,k,?,1,?,?,E,y,?,i,j,?,k,?,?,?,z,?,?,2,2,?,?,?,?,?,?,?,0,?,?,H,x,?,t,?,n,?,1,2,?,?,i,?,1,n,?,?,1,1,?,1,1,?,?,2,j,?,k,?,?,?,H,x,?,i,j,?,k,?,?,?,2,

18、2,?,2,2,?,?,?,21,E,update equations,E,n,?,1,i,?,1,2,j,k,),?,E,n,i,?,1,?,t,x,(,x,(,2,j,k,),?,?,?,n,?,1,n,?,1,n,?,1,?,H,n,?,1,?,H,?,z,2,(,i,?,1,2,j,?,1,2,k,),?,H,z,2,(,i,?,1,2,j,?,1,2,k,),H,y,2,(,i,?,1,j,k,?,1,),2,1,1,?,?,?,y,?,2,2,y,(,i,?,2,j,k,?,2,),?,?,z,?,?,?,?,?,?,E,n,?,1,?,1,n,1,?,t,y,(,i,j,2,k,

19、),?,E,y,(,i,j,?,2,k,),?,?,?,n,?,1,i,j,?,n,?,1,1,1,?,H,1,1,1,1,n,?,n,?,?,x,2,(,2,2,1,1,2,1,1,?,2,k,?,2,),?,H,x,(,i,j,?,2,k,?,2,),H,z,(,i,?,j,?,k,),?,H,z,(,i,?,j,?,k,),?,?,?,z,?,2,2,2,2,?,x,?,?,?,?,?,E,n,?,1,(,i,j,k,?,1,1,?,t,?,2,),?,E,n,z,z,(,i,j,k,?,2,),?,?,?,n,?,1,?,H,1,1,n,?,1,1,k,?,1,),H,n,?,1,1,

20、1,n,?,1,1,1,?,?,y,2,(,i,?,2,j,k,?,2,),?,H,y,2,(,i,?,2,j,2,2,2,x,(,i,j,?,k,?,),?,H,x,(,i,j,?,k,?,2,),?,?,x,?,2,2,2,?,?,y,?,?,?,?,?,?,22,H,update equations,H,n,?,1,2,1,1,n,?,1,x,(,i,j,?,2,k,?,2,),?,H,x,2,(,i,j,?,1,1,2,k,?,2,),?,?,?,t,?,E,n,y,(,i,j,?,1,2,k,?,1),?,E,n,j,?,1,2,k,),E,n,1,n,1,?,y,(,i,z,(,i

21、,j,?,1,k,?,2,),?,E,z,(,i,j,k,?,2,),?,?,?,z,?,?,?,?,y,?,?,?,?,n,?,1,1,H,2,?,1,1,n,?,1,y,(,i,2,1,2,j,k,?,2,),?,H,y,(,i,?,2,j,k,?,2,),?,?,t,?,?,E,n,z,(,i,?,1,j,k,?,1,n,1,n,1,n,1,?,2,),?,E,z,(,i,j,k,?,2,),E,(,i,?,j,k,?,1),?,E,(,i,?,j,k,),?,?,?,x,2,x,2,?,?,?,x,?,z,?,?,?,?,H,n,?,1,1,1,n,?,1,1,z,2,(,i,?,2,

22、j,?,2,k,),?,H,z,2,(,i,?,2,j,?,1,2,k,),?,?,t,?,?,E,n,x,(,i,?,1,2,j,?,1,k,),?,E,n,1,n,1,n,1,?,x,(,i,?,2,j,k,),E,y,(,i,?,1,j,?,2,k,),?,E,y,(,i,j,?,k,),?,?,?,?,y,?,2,?,?,x,?,?,?,?,23,FDTD,在时域的逐步推进计算,已知,t,1,?,t,0,?,n,?,t,时刻空间各处的,E,v,H,v,值,计算,t,?,t,?,?,t,H,v,2,1,时刻空间各处的,值,2,计算,t,1,?,t,?,t,2,?,2,时刻空间各处的,E,

23、v,值,否,满足所设的时间步数或所要求的精度,退出迭代，进行后处理,24,FDTD,在时间步进上的蛙跳计算示意图,25,空间步长,麦克斯韦方程建立的有限差分算法方程是用,对空,间和时间的差分代替微分,，这种替代将产生误差，能,使在计算网格空间所模拟的波形产生色散。换句话说，,在,FDTD,网格空间中存在的数值模，其相速取决于模的,波长、传播方向以及网格单元的尺寸。数值相速随传,播角和网格尺寸而变化的慢波效应是,FDTD,算法的一个,固有属性。要保证算法的精度，,空间步长,、,V,x,和,V,y,要取得足够小,V,z,，通常取所感兴趣的最高频率所对应波,长的,1/10,到,1/20,。,葛德彪，

24、阎玉波。,电磁波时域有限差分方法。西安：西安电子科技大学出版社。,2002,，,p27,26,1,解的稳定性,在执行,FDTD,算法时，随着时间步长的增长，保证,算法的稳定性是一个很重要的问题。,数值解是否稳定,主要取决于时间步长与空间步长间的关系,。对于一般,的三维,FDTD,网格，数值解稳定的条件（,CFL,条件）是：,v,?,(,1,1,1,?,1,max,?,t,2,?,x,2,?,?,y,2,?,?,z,2,),(Curant,s stability,criterion),这样随时间步进的场量不会随时间增加而发散,葛德彪，阎玉波。电磁波时域有限差分方法。西安，西安电子科技大学出版社。

25、,2002,，,p26,27,1,激励源,实际的电磁场问题总是包含有,激励源,，恰当地将激励源,引入到,FDTD,网格,之中对于正确地模拟电磁场问题是至关,至要的。在引入过程中，为了尽量减少由此而来的计算,机内存占用和计算时间、提高整个程序的效率，通常要,求激励源的实现尽可能地紧凑，即在,FDTD,网格中,只用很,少的几个电,(,磁,),场分量,就可实现对源的恰当模拟。,1,王秉中。计算电磁学。北京，科学出版社，,2002,，,p153,28,高斯脉冲源,高斯脉冲源,g,(,t,),?,e,?,t,?,t,0,?,?,?,?,?,T,?,2,T,的选取决定于所需的脉冲频谱带宽。高斯脉冲的傅立,

26、叶变换，仍然是高斯形式，可表示为,：,G,?,f,?,?,e,?,?,?,Tf,?,2,29,高斯脉冲源,时域,波形,1.00,0.80,度,幅,0.60,化,一,归,0.40,0.20,0.00,0,100,200,300,400,500,600,时间步数,30,高斯脉冲源频域波形,1,0.8,度,幅,0.6,化,一,归,0.4,0.2,0,0,5,10,15,20,25,频率（GHz）,31,调制高斯脉冲,调制高斯脉冲,?,?,?,t,?,t,0,?,2,g,(,t,),?,e,?,T,?,?,sin,2,?,f,0,(,t,?,t,0,),如果要使直流分量接近为,0,，有效频谱,中心位于

27、,f,0,，我们就可采用调制高斯脉,冲源,32,调制高斯脉冲波形,0.6,0.4,度,幅,0.2,化,一,0,归,-0.2,-0.4,-0.6,0,100,200,300,400,500,600,时间步数,33,调制高斯脉冲频域波形,1,0.8,度,幅,0.6,化,一,归,0.4,0.2,0,0,10,20,30,40,50,频率（GHz）,34,加源的方法,有了源的形式后，源的加法要根据特定的,EM,结构,来合适的选取。对于一般的平面,微波电路和天线问题，就是要在电路或者,天线的输入端口加源，使之沿馈线传播想,要得到的模式。这就需要在仿真问题之前，,了解其在馈线上的,横向场分布,。,35,微

28、带线加源的方法,X,Y,A,B,a,b,c,d,C,D,36,微带线加源的方法,2,E,n,?,1,?,i,j,k,?,?,e,?,?,n,?,t,?,t,0,?,T,2,?,1,?,?,?,t,/,2,?,1,?,?,?,t,/,2,?,E,n,x,x,?,i,j,k,?,?,?,t,/,?,1,?,?,?,t,/,2,?,.,H,n,?,1/,2,n,?,1/,2,z,?,i,j,?,1,k,?,?,H,z,?,i,j,k,?,?,y,?,H,n,?,1/,2,y,?,i,j,k,?,1,?,?,H,n,?,1/,2,y,?,i,j,k,?,?,z,37,时间迭代步数,如果被研究的结构在离源点一定距离的某处，由激,励源产生的数值波将最终传播到达该结构，经过波,与结构的相互作用，发生,传输与反射,，直到,瞬态过,程消失,。这意味着传输波和反射波的时间过程均已,完成，波已离开仿真区域，对该时间过程作傅里叶,变换，可一次性得到传输波和反射波的宽频带振幅,与相位信息。在稳态激励源作用下，电磁场达到稳,定的时间步数与许多因素有关，电磁结构的复杂程,度和性质起着非常重要的作用。对一般的