解读导数在综合题中的应用

1、解读导数在综合题中的应用江苏省淮阴中学 蒋鼎宏摘要：导数的应用范围较广，本文就综合题中涉及的函数、不等式、方程、数列、解析几何等几个方面的题型作了一些探讨，对如何利用导数解决这几类问题作了一些说明。关键词：导数 函数性质 转化导数作为研究函数性质的一种重要工具，其应用范围很广，例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等。而在处理综合性问题时往往需要利用函数的性质，因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决问题。下面具体讨论导数在解决综合题时的作用。1、函数问题：例1：已知定义在R上的函数，其中为常数.（1）若x=1是函数的一个极值点，求的值；（2）若函数在区间（1，0

2、）上是增函数，求的取值范围；（3）若函数，在处取得最大值，求正数的取值范围.解：（1），的一个极值点，； （2）当时，在区间（1，0）上是增函数，符合题意；当；当时，对任意符合题意；当时，当符合题意；综上所述， （3） 令设方程（*）的两个根为式得，不妨设.当时，为极小值，所以在0，2上的最大值只能为或；当时，由于在0，2上是单调递减函数，所以最大值为，所以在0，2上的最大值只能为或，又已知在x=0处取得最大值，所以 即 说明：研究函数的性质，导数是最好的工具之一，它可以使得复杂问题简单化，具体问题程序化，一般步骤是：即对函数求导，解方程，研究其根的左右的导函数值的符号，从而得出原函数的单调性

3、以及函数的极值，再根据定义域和极值求得最值。2、不等式类问题：例2：已知函数,对定义域内任意的的值，恒成立，求的取值范围解：因为函数的定义域为（0，+），由条件知 对一切x（0，+）恒成立，即 对x（0，+）恒成立，设，则，由 解得 ，时，解得0, 时，解得，所以在（0，）上递增，在（，+）上递减, 故的最大值为，所以。说明：不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为 (或)恒成立，于是大于的最大值（或小于的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题。因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。3、方程类问题：例3：已知直线， 上的任意一

4、点P到直线的距离为。当取得最大时对应P的坐标，设，讨论关于的方程：根的个数。解：方程； ，方程为 令， ，当时，在上为增函数； 时， 在上为减函数， 当时， ， 函数、在同一坐标系的大致图象如图所示，当，即时，方程无解。当，即时，方程有一个根。当，即时，方程有两个根。 说明：本题的解法中将方程适当变形后，构造出两个函数，利用导数研究这两个函数的性质，画出图像，将方程根的问题转化为图像的交点问题，这是这一类问题的常规解法，当然，也可以将方程根的问题转化为函数图像与坐标轴交点问题。4、数列类问题：例4：数列中，（1）求数列的通项公式；（2）数列前的和记为，证明。解：（1）由条件知，推测，由数学归纳

5、法可以证明（略）。（2）构造函数因为，当时，所以为单调递增函数，所以，即有， =。即。说明：由于数列可以看成是定义域为自然数的一类特殊的函数，所以数列问题同样可以转化为函数类型来处理，本题中第（2）小题解法中，先构造出函数，利用导数研究函数的单调性，得出，再将换成关于自然数的形式，从而得到问题的解决,这是这类问题的常规解法。5、解析几何类问题：例5：已知曲线：（为自然对数的底数），曲线：，直线：（1）求证：直线与曲线，都相切，且切于同一点；（2）设直线（为自然数）与曲线和的交点分别为和，问是否存在正整数，使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由. (本小题参考数据2.7) 解（1）证： ， ， 由， 得，在上点处的切线为，即，又在上点处切线可计算得，即，直线与、都相切，且切于同一点（） ， （2），设 ，则当时，递减；当，递增 ， ， ，不存在正整数，使得 ， 即 。 说明：解析几何中的求切线方程是导数的一个基本应用，而将解析几何中的弦长问题、曲线方程问题、交点问题等转化为函数问题