第2讲 两条直线的位置关系

1、第2讲两条直线的位置关系1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2，特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行(2)两条直线垂直如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则l1l2k1k21.如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直2两直线相交交点：直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解3三种距离公式(1)平面上的

2、两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离为d.一条规律与直线AxByC0(A2B20)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为AxBym0；垂直的直线方程设为BxAyn0.两个防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑(2)在运用两平行直线间的距离公式d时，一定要注意将两方程中的x，y系数化为分别

3、相等三种对称(1)点关于点的对称点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P(2ax0,2by0)(2)点关于直线的对称设点P(x0，y0)关于直线ykxb的对称点P(x，y)，则有可求出x，y. (3)直线关于直线的对称若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线1(人教A版教材习题改编)直线ax2y10与直线2x3y10垂直，则a的值为()A3

4、B C2 D32原点到直线x2y50的距离为()A1 B. C2 D.3(2012银川月考)过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y104点(a，b)关于直线xy10的对称点是()A(a1，b1) B(b1，a1)C(a，b) D(b，a)5平行线l1：3x2y50与l2：6x4y30之间的距离为_考点一两条直线平行与垂直的判定及应用6(1)已知两条直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则实数a_.(2)“ab4”是直线2xay10与直线bx2y20平行的()A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 (

5、1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1l2k1k2，l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意(2)若直线l1和l2有斜截式方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则：直线l1l2的充要条件是k1k21.设l1：A1 xB1yC10，l2：A2xB2yC20.则：l1l2A1A2B1B20.(3)注意转化与化归思想的应用7 已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求m的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1l2；(3)l1l2；(4)l1，l2重合考点二两直线的交点8

6、求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是：AxBym0(mR且mC)；(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR)；(3)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.9直线l被两条直线l1：4xy30和l2：3x5y50截得的线段的中点为P(1,2)，求直线l的方程考点三距离公式的应用10(2011北京东城模拟)若O(0,0)

7、，A(4，1)两点到直线axa2y60的距离相等，则实数a_. 用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意公式中分子含有绝对值的符号，分母含有根式的符号而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离11已知直线l1：mx8yn0与l2：2xmy10互相平行，且l1，l2之间的距离为 ，求直线l1的方程考点四对称问题12光线从A(4，2)点射出，到直线yx上的B点后被直线yx反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6)，求BC所在的直线方程 解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点

8、为端点的线段的中点在对称轴上13已知直线l：xy10，l1：2xy20.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()Ax2y10 Bx2y10Cxy10 Dx2y1014 (2011浙江)若直线x2y50与直线2xmy60互相垂直，则实数m_.15 (2010上海)已知直线l1：(k3)x(4k)y10与l2：2(k3)x2y30平行，则k的值是()A1或3 B1或5 C3或5 D1或21D2D3A4B5 6(1)1(2)C7解(1)由已知13m(m2)，即m22m30，解得m1且m3.故当m1且m3时，l1与l2相交(2)当1(m2)m30，即m时，l1l2.(3)当13m(m2)且12m

9、6(m2)或m2m36，即m1时，l1l2.(4)当13m(m2)且12m6(m2)，即m3时，l1与l2重合8解法一先解方程组得l1、l2的交点坐标为(1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率为，于是由直线的点斜式方程求出l：y2(x1)，即5x3y10.法二由于ll3，故l是直线系5x3yC0中的一条，而l过l1、l2的交点(1,2)，故5(1)32C0，由此求出C1，故l的方程为5x3y10.法三由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x2y1(5x2y1)0中的一条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0.其斜率，解得，代入直线系方程即得l的方程为5x3y10.9解法一设直线l与l1的交

10、点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(2x0,4y0)，并且满足即解得因此直线l的方程为，即3xy10.法二设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由得x.由得x.则2，解得k3.因此所求直线方程为y23(x1)，即3xy10.法三两直线l1和l2的方程为(4xy3)(3x5y5)0，将上述方程中(x，y)换成(2x,4y)，整理可得l1与l2关于(1,2)对称图形的方程：(4xy1)(3x5y31)0.整理得3xy10.102或4或611解l1l2，或(1)当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，把l2的方程写成4x8y20.，解得n22或n18.所以，所求直线的方程为2x4y110或2x4y90.(2)当m4时，直线l1的方程为