第七章第四节垂直关系

1、第七章 第四节 垂直关系题组一线面垂直的判定与性质1.(2010宣武模拟)若a、b是空间两条不同的直线，、是空间的两个不同的平面，则a的一个充分条件是 ()Aa， Ba ，Cab，b Da，解析：只有选项D，a，a.答案：D2(2010烟台模拟)如图在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在 ()A直线AB上 B直线BC上C直线AC上 DABC内部解析：由ACAB，ACBC1，得AC平面ABC1，AC 平面ABC，平面ABC1平面ABC，C1在面ABC上的射影H必在二平面交线AB上答案：A3m、n是空间两条不同的直线，、是两个不同的平面，下面四个命

2、题中，真命题的序号是_m，n，mn；mn，mn；mn，mn；m，mn，n.解析：显然正确；错误，n还可能在内；错误，n可能与相交但不垂直；正确答案：题组二平面与平面垂直的判定与性质4.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由三垂线定理可知，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案：DMPC(或BMPC等)5在四棱锥SABCD中，已知ABCD，SASB，SCSD，E、F分别为AB、CD的中点(1)求证：平

3、面SEF平面ABCD；(2)若平面SAB平面SCDl，求证：ABl.解：(1)证明：由SASB，E为AB中点得SEAB.由SCSD，F为CD中点得SFDC.又ABDC，ABSF.又SFSES，AB平面SEF.又AB平面ABCD，平面SEF平面ABCD.(2)ABCD，CD面SCD，AB平面SCD.又平面SAB平面SCDl，根据直线与平面平行的性质定理得ABl.题组三(文)平面与平面垂直的应用6如图，AB，CD，CDAB，CE，EF，FEC90，求证：平面EFD平面DCE.证明：，CDAB，AB，CD.又EF，CDEF.又FEC90，EFEC.又ECCDC，EF平面DCE.又EF平面EFD，平面

4、EFD平面DCE.7如图，在正三棱锥ABCD中，BAC30，ABa，平行于AD、BC的截面EFGH分别与AB、BD、DC、CA交于E、F、G、H四点(1)试判断四边形的形状，并说明判断理由；(2)设P点是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC平面EFGH？请说明理由解：(1)四边形EFGH是一个矩形，下面给出证明：AD面EFGH，面ACD面EFGHHG，AD面ACD，ADHG，同理EFAD，HGEF，同理有EHFG，四边形EFGH是一个平行四边形又三棱锥ABCD是一个正三棱锥，A点在底面BCD上的射影O点必是BCD的中心，OD BC，ADBC.HGEH，即四边形EFGH是一个矩形(2)作CP

5、AD于P，连结BP，ADBC，BCCP=C，AD面BCP，HGAD，HG面BCP，又HG面EFGH，面BCP面EFGH.在RtAPC中，CAP=BAC=30，AC=a，AP=题组三(理)二 面 角6.设P是60的二面角l内一点，PA，PB，A、B分别为垂足，PA2，PB4，则AB的长是_解析：如图所示，PA与PB确定平面，与l交于点E，则BEl， AEl，BEA即为二面角的平面角，BEA=60，从而BPA=120，AB=答案：7如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点 E在棱AB上移动(1)证明：D1EA1D；(2)AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为解：(1)A

6、E平面AA1D1D，AEA1D，又AA1D1D为正方形，A1DAD1，A1D面AD1E，A1DD1E.(2)过D作DHCE于H，连D1H、DE，则D1HCE，DHD1为二面角D1-EC-D的平面角设AE=x，则BE=2-x，在RtD1DH中，DHD1=)，DH=1.在RtADE中，DE=，在RtDHE中，EH=x，在RtDHC中CH=，在RtCBE中，CE=x+= x=2-AE=2-时，二面角D1-EC-D的大小为题组四直线、平面垂直的综合问题8.(2010岳阳模拟)设a、b、c表示三条直线，、表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是 ()Ac，若c，则Bb，c，若c，则bcCb，若b，则D

7、b，c是a在内的射影，若bc，则ba解析：C选项的逆命题为b，若则b.不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直交线的才垂直另一个平面答案：C9如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则下列命题中错误的是 ()A点H是A1BD的垂心BAH垂直于平面CB1D1CAH的延长线经过点C1D直线AH和BB1所成角为45解析：因为三棱锥AA1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面的中心，A正确；平面A1BD平面CB1D1，而AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1，B正确；根据对称性知C正确答案：D10(文)(2009

8、天津高考改编)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ADCD，DB平分ADC，E为PC的中点，ADCD1，DB2r(2)(1)证明PA平面BDE；(2)证明AC平面PBD.解：(1)证明：设ACBD=H，连结EH.在ADC中，因为AD=CD，且DB平分ADC，所以H为AC的中点又由题设，E为PC的中点，故EHPA.又EH平面BDE且PA平面BDE，所以PA平面BDE.(2)证明：因为PD平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC.由(1)可得，DBAC.又PDDB=D，故AC平面PBD.(理)(2009北京高考)如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，PA=AB，ABC=60，B

9、CA=90，点D、E分别在棱PB、PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由解：(1)PA底面ABC，PABC.又BCA=90，ACBC，BC平面PAC.(2)D为PB的中点，DEBC，DE=BC.又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E，DAE是AD与平面PAC所成的角PA底面ABC，PAAB.又PA=AB，ABP为等腰直角三角形，AD=AB.在RtABC中，ABC=60，BC=AB，在RtADE中，sinDAE=即AD与平面PAC所成角的正弦值为(3