二次根式知识点

1、1 二次根式的知识点汇总二次根式的知识点汇总 知识点一：知识点一： 二次根式的概念二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式， 但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如， ，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围知识点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时，有意义， 是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时，没有 意义。 知识点三：二次根式知识点三

2、：二次根式（）的非负性）的非负性 （）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即 0（）。 注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数， 0 的算术平方根是 0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即 0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类 似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则 a=0,b=0；若， 2 则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0。 知识点四：二次根式（知识点四：二次根式（） 的性质的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的

3、结论。上面 的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则 等于 a 本身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即 ； 2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 3 知识点六：知识点六：与与的异同点的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根 的平方，而表示一个实数 a 的平方的

4、算术平方根；在中，而 中 a 可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即， 。因而它的运算的结果是有差别的， ，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意 义，而. 4 二次根式测试题（一）二次根式测试题（一） 1 下列式子一定是二次根式的是（下列式子一定是二次根式的是（ ） A B C D2 xx2 2 x2 2 x 2若若，则（，则（ ）bb3)3( 2 Ab3 Bb3 Cb3 Db3 3若若有意义，则有意义，则 m 能取的最小整数值是（能取的最小整数值是（ ）13m Am=0 Bm=1 Cm=2 Dm=3 4若若 x0，则，则的结果是（的结果是（ ） x xx 2 A0

5、B2 C0 或或2 D2 5下列二次根式中属于最简二次根式的是（下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A B C D1448 b a 44 a 6如果如果，那么（，那么（ ）)6(6xxxx Ax0 Bx6 C0 x6 Dx 为一切实数为一切实数 7小明的作业本上有以下四题：小明的作业本上有以下四题：； 24 416aaaaa25105 ；。做错的题是（。做错的题是（ ）a a a a a 11 2 aaa23 A A B B C C D D 8化简化简的结果为（的结果为（ ）A B C D 6 1 5 1 30 11 33030 30 330 1130 9若最简二次根式若最简二次根式的被

6、开方数相同，则的被开方数相同，则 a 的值为（的值为（ ）aa241 与 A B Ca=1 Da= 1 4 3 a 3 4 a 10化简化简得（得（ ）A2 B C2 D )22(2822 224 11 ； 。 2 )3 . 0( 2 )52( 12二次根式二次根式有意义的条件是有意义的条件是 。 3 1 x 13若若 m0，则，则= 。 332 |mmm 14成立的条件是成立的条件是 。111 2 xxx 15比较大小：比较大小： 。3213 16 ， 。yxy822712 5 17计算计算= 。 3 3 9 3a a a a 18的关系是的关系是 。23 23 1 与 19若若，则，则的值

7、为的值为 。35 x56 2 xx 20化简化简的结果是的结果是 。 108 3 1 14515 21求使下列各式有意义的字母的取值范围：求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1） （2） （3） （4）43 xa8 3 1 4 2 m x 1 22化简：化简： （1） （2） （3） （4）)169()144(225 3 1 51024 2 1 nm218 23计算：计算： （1） （2） （3） 2 14 3 7 2 25 24 1 )459( 4 3 3 3 2 （4） （5） （6） 126 3 1 28 1 72484554 2 3 3 2 3 26 6 24若若 x，y 是实数，

8、且是实数，且，求，求的值。的值。 2 1 11xxy 1 |1| y y 7 二次根式测试题（二）二次根式测试题（二） 1下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ） A若若，则则a0 D0 b a 5已知已知 ab，化简二次根式，化简二次根式的正确结果是（的正确结果是（ ）ba3 A B C Daba abaabaaba 6把把根号外的因式移到根号内，得（根号外的因式移到根号内，得（ ） m m 1 A B C Dmmmm 7 7下列各式中，一定能成立的是（下列各式中，一定能成立的是（ ） A A B B 22 )5 . 2()5 . 2( 22 )( aa C C D D1-x12 2 xx3

9、39 2 xxx 8若若 x+y=0，则下列各式不成立的是（，则下列各式不成立的是（ ） A B C D0 22 yx0 3 3 yx0 22 yx0yx 9当当时，二次根时，二次根式的值为式的值为，则，则 m 等于（等于（ ）3x752 2 xxm5 A B C D2 2 2 5 5 5 10已知已知，则，则 x 等于（等于（ ） 1018 2 2 2 x x x x A4 B2 C2 D4 11若若不是二次根式，则不是二次根式，则 x 的取值范围是的取值范围是 5x 12已知已知 a2， 2 )2(a 13当当 x= 时，二次根式时，二次根式取最小值，其最小值为取最小值，其最小值为 1x

10、14计算：计算： ； 182712)32274483( 15若一个正方体的长为若一个正方体的长为，宽为，宽为，高为，高为，则它的体积为，则它的体积为 cm62cm3cm2 3 cm 16若若，则，则 433xxy yx 17若若的整数部分是的整数部分是 a，小数部分是，小数部分是 b，则，则 3ba3 18若若，则，则 m 的取值范围是的取值范围是 3)3(mmmm 8 19若若 yx y x则, 4 3 2 3 1 1 , 13 2 20已知已知 a，b，c 为三角形的三边，则为三角形的三边，则= 222 )()()(acbacbcba 2121 2222 2323 2 1 418 12 2

11、 3)154276485(x x x x 3) 1 2 4 6( 2424 2525 21 )2() 12(18 0 ) 13(27 13 2 26 已知：已知：，求，求的值。的值。 13 2 x1 2 xx 2727 已知：已知：。22, 2 1 1881 x y y x x y y x xxy 28.阅读下面问题：阅读下面问题：； 12 ) 12)(12( ) 12(1 21 1 ;23 )23)(23( 23 23 1 25 )25)(25( 25 25 1 试求：试求：的值；的值；的值；的值；（n 为正整数）的值。为正整数）的值。 67 1 1723 1 nn1 1 9 4 3 24

12、4 1 1223 4 1 12 1 23 二次根式（一）二次根式（一） 1 1C C 2 2D D 3 3B B 4 4D D 5 5A A 6 6B B 7 7D D 8 8C C 9 9C C 1010A A 11110.30.3 1212x0 x0 且且 x9x9 1313m m 1414x1x1 1515 25 1616 1818 1717 1818相等相等 19191 1 2020 xy4a3 3 3 16 5315 2121（1 1） （2 2） （3 3）全体实数）全体实数 （4 4） 3 4 x 24 1 a0 x 2222解：（解：（1 1）原式）原式= =；（；（2 2）原

13、式）原式= =；1561312169144169144 515 3 1 （3）原式）原式= =；（；（4）原式）原式= =。 516532 2 1 532 2 1 2 nmnm2323 22 2323解：（解：（1 1）原式）原式=49=49；（；（2 2）原式）原式= =； 21 14 3 25 1 25 24 1 （3 3）原式）原式= =； 345527 3 15 )527( 4 15 3 2 （4 4）原式）原式= =； 2 2 7 4 27 14 4 7 9 126 28 49 2 （5 5）原式）原式= =；（；（6）原式）原式= =。225824225354 2 65 6 2 6

14、3 66 2424解：解：xx10,10, 1 1x0,x=1x0,x=1，yy.=. 2 1 1 |1| y y 1 1 1 y y 二次根式（二）二次根式（二） 1 1C C 2 2B B 3 3B B 4 4D D 5 5A A 6 6C C 7 7A A 8 8D D 9 9B B 1010C C 1111x5x0） （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多 项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算 【典型例题典型例题】 1、概念与性质、概念与性质 例例 1 下列各式 1） 222 11 ,2)5,3)2,4) 4,5) () ,6) 1,7)21

15、53 xaaa， 其中是二次根式的是_（填序号） 例例 2、求下列二次根式中字母的取值范围、求下列二次根式中字母的取值范围 （0）aa aa2 （0aa ） 0 （=0）；a 16 （1）；（2） x x 3 1 5 2 2)-(x 例例 3、 在根式 1) 222 ;2);3);4) 27 5 x abxxyabc，最简二次根式是（ ） A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4) 例例 4、已知：、已知： 。22, 2 1 1881 x y y x x y y x xxy 例例 5、 （2009 龙岩）已知数 a，b，若 2 ()ab=ba，则 ( ) A. ab B. a0，b

16、0 时，则： 18 ； 1 a ab b 1 a ab b 例 8、比较与的大小。5323 5、规律性问题、规律性问题 例例 1. 观察下列各式及其验证过程： ， 验证：； 验证:. （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 4 4 15 的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用 n(n2，且 n 是整数)表示的等式，并给出验证过程. 例例 2. 已知，则 a_ 发展：已知，则 a_。 例例 3 3、化简下列各式：、化简下列各式： （1 1）（2 2）42 352 6 例例 4、已知 ab0，a+b=6ab，则 ab ab 的值为（ ）A 2 2 B2 C2 D

17、 1 2 例例 5、甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形： 甲：=； 乙：=。 其中，（ ）。 16 A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙 正确 16 【基础训练基础训练】 1化简：（1）_ _； （2）_ _； （3）_ 72 22 25246 12 18 _； （4）_ _； （5）。 32 75(0,0)x yxy_420 2.(08，安徽)化简=_。 2 4 3.（08，武汉）计算的结果是4 .2 2 -2 4 4. 化简： （1）（08，泰安）的结果是 ； （2）的结果是 9123 ； （3）(08，宁夏)= ； （4）（08，黄冈）5-2=_

18、825xx _； （5）（08，宜昌）（5）=_； （6） ；33 （7）(08，荆门)_；（8） 5（08，重庆）计算的结果是28 A、6 B、 C、2 D、62 6（08，广州）的倒数是 。3 7. (08，聊城)下列计算正确的是 A B CD 8.下列运算正确的是 A、 B、 C、 D、4 . 06 . 15 . 15 . 1 2 39 3 2 9 4 9（08，中山）已知等边三角形 ABC 的边长为33，则 ABC 的周长是_； 10. 比较大小：。10 16 11（08，嘉兴）使有意义的的取值范围是 2xx 12.(08，常州)若式子在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是5x A.x-5 B.x-5 C.x-5 D.