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文档简介

1、巧用“三余弦定理”解题“三余弦定理”的内容： 如图1,直线A0是平面的斜线，AQ是 A0在平面内的射影，直线AP在平面 内.设 OAP , OAQ 1, QAP 2，有以下结论：COS COS 1 COS 2 .我们可以形象地把这个结论称为“三余弦定理”，应用“三余弦定理”可以使我们 的很多立体几何问题的解决变得简单应用“三余弦定理”解题的步骤如下：1. 明确三线：平面内的直线（以下简称“内线”），平面的斜线和斜线在平面内的射影2. 明确三角：斜线与“内线”所成为，斜线与射影所成的角为1，射影与“内线”所成的角为 2 .3. 定理运算.,B是垂足,AP是内一直线，/例1.如图2 ,已知 A0是

2、平面的一条斜线，0B丄OAP=60, / BAP=45,求斜线A0与平面 所成的角分析：AP是“内线”，A0是斜线，AB是射影，所以0图20AP , 0AB 1, BAP 2，直接利用 余弦定理”求解.解题过程略.略解：点评：斜线与平面所成的角即斜线与射影所成的角， 明确了 “三线”与“三角”，直接代定理求解.变式1:已知/ 0AB=45, / BAP=45,求直线A0与 AP所成的角; 分析：同例1.变式2：已知/ 0AB=45, / BAP=45, l们在解题时，只需要明确“三线”，这时I是“内线”， A0是斜线，AB是射影，然后斜线 A0与“内线” I所成为，斜线A0与射影AB所成的角为

3、1，射影AB与“内线” I所成的角为 2，问题迎刃而解.例2 .如图3,在棱长为 1正方体 ABCD-ABCD中，E、F 分别是BQ和CC1的中点，求异面直线 AB与EF所成角的余弦 值.分析：直线BA是平面BCGB1的斜线，BB是射影，EF为“内线”，这样就明确是三线，再明确三角，然后定理计算即可 解：由题意可知，直线 BA是平面BCC1B1的斜线，BB1是BA在平面内的射影， EF为平面内的直线，所以BA与EF所成的角为 ，AiBCii， EF与BB所成的角为2图3又因为 cos cos 1 cos 2,145 ,245 ,1所以cos21即异面直线 AB与EF所成角的余弦值为2点评：只要

4、明确了“三线”，不管他们的位置怎样，斜线与“内线”所成为，斜线与射影所成的角为1,射影与“内线”所成的角为 2，明确了“三角”，公式的应用水到渠成变式：若 E、F是BQ和CC上的点，满足EG= 1 , FG=3求异面直线A1B与EF所成图5图4角的余弦值分析：明确“三线”，直线BA是斜线，BB是射影，EF为“内线”，然后按规则找出“三角”， 定理计算即可练习：1.如图4, S是 ABC所在平面外一点，SA SB, SC两两垂直，求证： ABC是锐 角三角形2.如图5,在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是 一直角梯形，/ BAD=90q AD2a如果我们能够准确的理解这个定理，并巧用定理去解题，就会取得

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