八年级数学竞赛培优专题及答案20 正方形

1、专题20 正方形 阅读与思考 矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形例题与求解【例l】 如图，在正方形纸片中，对角线，交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交，于点，.下列结论：；四边形是菱形；.其中，正确结论的序号是_ （重庆市中考试题）解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方

2、法 【例2】如图1，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点.连， （1）探究线段，的关系，并加以证明 （2）将正方形绕点旋转任意角后（如图2），其他条件不变 探究线段，的关系，并加以证明 （大连市中考题改编）解题思路：由为中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等 【例3】如图，正方形中，是，边上两点，且，于，求证：. （重庆市竞赛试题） 解题思路：构造的线段是解本例的关键 【例4】 如图，正方形被两条与边平行的线段、分割成四个小矩形，是与的交点，若矩形的面积恰是矩形面积的2倍，试确定的大小，并证明你的结论 （北京市竞赛试题） 解题思路：先猜测的大小，再作出证明，解题的关键是

3、由条件及图形推出隐含的线段间的关系 【例5】 如图，在正方形中，分别是边，上的点，满足，分别与对角线交于点 求证：（1）； （2） （四川省竞赛试题） 解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很容易联想到直角三角形三边关系 【例6】已知 ：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点 当绕点旋转到时（如图1），易证（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想 （黑龙江省中考试题） 解题思路：对于（2），构造是解题

4、的关键 图1 图2 图3能力训练A级1. 如图，若四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为_.（北京市竞赛试题）2. 四边形的对角线相交于点，给出以下题设条件：；其中，能判定它是正方形的题设条件是_. （把你认为正确的序号都填在横线上） （浙江省中考试题） 3如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是_. （青岛市中考试题） 第1题图 第3题图 第4题图4.如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转至能与重合，若，则=_. （河南省中考试题） 5.将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部

5、分的面积和为( )A . B C. D. （晋江市中考试题） 第5题图 第6题图 6. 如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，则的长为( )A . 12 B8 C. D. （浙江省竞赛试题） 7如图，正方形中，那么是( )A . B C. D. 8如图，正方形的面积为256，点在上，点在的延长线上，的面积为200，则的值是( )A15 B12 C11 D10 9如图，在正方形中，是边的中点，与交于点，求证： 10. 如图，在正方形中，是边的中点，是上的一点，且 求证：平分 11. 如图，已知是正方形对角线上一点，分别是垂足求证：（扬州市中考试题） 12.（1）如图

6、1，已知正方形和正方形，在同一条直线上，为线段的中点探究：线段的关系（2）如图2，若将正方形绕点顺时针旋转，使得正方形的对角线在正方形的边的延长线上，为的中点试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（大连市中考试题） 图1 图2 B级1. 如图，在四边形中，于，若四边形的面积为8，则的长为_.2.如图，是边长为1的正方形内一点，若，则_. （北京市竞赛试题）3.如图，在中，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，且，则的长为_.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图：边长一定的正方形，是上一动点，交于，过作交于点，作于点，连接，下列结论：；为定值，其中一定成立的是(

7、 )A . B C. D. 5.如图，是正方形，是菱形，则与度数的比值是( )A . 3 B4 C. 5 D. 不是整数6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是( )A . B C. 8 D. E.（美国高中考试题）7.如图，正方形中，是的中点，设，在上取一点，使，则的长度等于 ( )A . 1 B2 C. 3 D. （“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形中，是中点，是延长线上一点，且交平分线于（如图1）（1）求证：；（2）若将上述条件中的“是中点”改为“是上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请

8、证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （临汾市中考试题） 9.已知求证：10.如果，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，求的度数 （“祖冲之杯”邀请赛试题） 11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形，对角线分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：，且（北京市竞赛试题） 12.如图，正方形内有一点，以为边向外作正方形和正方形，连接求证：（武汉市竞赛试题）专题20正方形例1提示：在AD上取AHAE，连EH，则AHE45，

9、HEDHDE22.5，则HEHD又HEHDAE，故不正确又 ，故不正确例2提示：(1)延长DM交CE于N，连DF，NF，先证明ADMENM，再证明CDFENF得FDFN，DFNCFE90，故MDMF且MDMF(2)延长DM到N点，使DMMN，连FD，FN，先证明ADMENM，得ADEN，MADMEN，则ADEN延长EN，DC交于S点，则ADCCSN90在四边形FCSE中，FCSFEN180，又FCSFCD180，故FENFCD，再证CDFENF(1)中结论仍成立例3提示：延长BC至点H，使得CHAE，连结DE，DF，由RtDAERtDCH得，DEDH，进而推证DEFDFH，RtDGERtDCH

10、例4设AGa，BGb，AEx，EDy，则 由得axyb，平方得a22axx2y22byb2将代入得a22axx2y24axb2，(ax)2b2y2，得axb2y2CH2CF2FH2，axFH，即DHBFFH延长CB至M，使BMDH，连结AM，由RtABMRtADH，得AMAH，MABHADMAHMABBAHBAHHAD90再证AMFAHFMAFHAF即HAFMAH45例5(1)如图，延长CD至点E1，使DE1BE，连结AE1，则ADE1ABE从而，DAE1BAE，AE1AE，于是EAE190在AEF和AE1F中，EFBEDFE1DDFE1F，则AEFAE1F故EAFE1AFEAE145(2)如

11、图，在AE1上取一点M1，使得AM1AM，连结M1D，M1N则ABMADM1，ANMANM1，故ABMADM1，BMDM1，MNM1NNDM190，从而M1N2M1D2ND2，MN2BM2DN2例6(1)BMDNMN成立如图a，把AND绕点A顺时针旋转90，得到ABE，E、B、M三点共线，则DANBAE，AEAN，EAMNAM45，AMAM，得AEMANM，MEMNMEBEBMDNBM，DNBMMN(2)DNBMMN如图b，对于图2，连BD交AM于E，交AN于F，连EN，FM可进一步证明：CMN的周长等于正方形边长的2倍；EF2BE2DF2；AEN，AFM都为等腰直角三角形；A级17523 4

12、35C6B7B8B9提示：ABEDCE，ADFCDF，证明ABEBAF9010提示：延长CE交DA的延长线于G，证明FGFC11提示：连PC，则PCEF12(1)延长DM交EF于N，由ADMENM，得DMNM，MFDN，FDFN，故MDMF，且MDMF(2)延长DM交CE于N，连结DF，FN，先证明ADMENM，再证明CDFENF，(1)中结论仍成立B级1.2 2.60提示：MA2MC2MD2MB2 3.5 4.D 5.C 6.B 7.B8.提示:在AD上截取AFAM，DFMMBN，由DFMMBN，故DMMN.证法同上，结论仍成立. 在AD延长线取一点E，使DEBM，可证明DEMMBN，故DMMN.9.提示：构造边长为1的正方形ABCD，P为正方形ABCD内一点，过P作FHAB交AD于F，交BC于H,作EGAD交AB于E，交CD于G.设AEa,则BE1