高考数学一轮复习北师大版椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用学案

1、名校名 推荐热点 10椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1 2 个选择或者填空题，一个解答题选择或者填空题有针对性地考查椭圆、 双曲线、 抛物线的定义、 标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题主要是以椭圆为基本依托， 考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系要求学生有较强的计算能力，才能顺利解答 .从实际教学看，这部分知识是学生比较头疼的题目.分析原因， 主要是学生没有形成解题的模式和套路，以及运算能力不足造成，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理 .本文就高中阶段出现这类问题加以类

2、型的总结和方法的探讨.1. 椭圆、双曲线、抛物线定义的应用圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次出现需熟练掌握例1【 2018 届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测】如图，椭圆 x2y21 的焦点为a24f1 , f2 ，过 f1 的直线交椭圆于m , n 两点，交 y 轴于点 h . 若 f1 , h 是线段 mn 的三等分点，则f2 mn 的周长为（）a. 20 b. 10 c.2 5d.4 5【答案】 dnb2，且 f1c,0 ，由中点坐标公式可得b2【解析】由通径公式可得c,h 0,，a2a1名校名 推荐f

3、1 为线段 hm 的中点，结合中点坐标公式可得m2c,b2， | | 2a点 m 在椭圆上，则4c2b41 ，a24a2b2由题意可知 b24 ，则4c211, a214c2 ，a2a2结合椭圆的性质可得14c24 c2 , c21,a2b2c25 ，由椭圆的定义可知，f2mn 的周长为 4a45 .本题选择 d选项 .2 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容， 主要考查椭圆与双曲线的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解，难度中档例 2【 2018 届吉林省长春市第十一高中、东北师范大学附属中学、吉林一中，重庆一中等五校高三 1 月联合模拟 】已知双曲线

4、x2y 21 b 0 的右焦点 f 到其一条渐近线的距离3b2为 1，抛物线 y22 px p0 的准线过双曲线的左焦点，则抛物线上的动点 m 到点 5,0距离的最小值是（）学 +a. 5 b. 4 c.4 3d.26【答案】 d3 求曲线的方程轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合，着重考查分析问题、解决问题的能力，对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求2名校名 推荐例 3【 2016 高考新课标 3 理数】已知抛物线 c y22x 的焦点为 f ，平行于 x 轴的两条直线 l1, l 2 分别交 c 于 a, b 两点，交 c 的准线于 p，q 两点（i ）若 f 在线

5、段 ab上， r 是 pq 的中点，证明ar fq ；（ii ）若 pqf 的面积是 abf 的面积的两倍，求ab 中点的轨迹方程 .2【答案】（）见解析； （） yx1（）设 l 与 x轴的交点为d ( x1 ,0) ，则 s abf1a fd1ba x11a bb2, s pqf.222由题设可得 1 ba x11ab0 （舍去）， x1 1.，所以 x1222设满足条件的ab 的中点为 e( x, y) .当 ab与 x 轴不垂直时，由 k abkde2y1) .可得( xa bx 1而 a by ，所以 y 2x 1( x1) .2当 ab与 x 轴垂直时， e 与 d 重合，所以，所

6、求轨迹方程为y 2x 1. .12分4 直线与圆锥曲线之间的关系在高考中，直线与圆锥曲线的位置关系是热点，通常围绕弦长、面积、定点(定值 )，范围问题展开，其中设而不求的思想是处理相交问题的最基本方法，试题难度较大例 4【 2018 届安徽省马鞍山市高三上学期期末】已知椭圆 y2x21(a b 0) 经过点a2b23名校名 推荐1, 2 ，离心率为2 ，过原点 o 作两条直线 l1 ,l 2 ，直线 l1 交椭圆于 a, c ，直线 l 2 交椭圆2于 b, d ，且2222abbccdda24 .(1) 求椭圆的方程；学 +(2) 若直线 l1, l2 的斜率分别为 k1 , k2 ，求证k

7、1 k2 为定值 .y2x2【答案】 (1)1 (2) 见解析42试题解析(1) 由题意知，211 且 c2a2b2a2， 学+ + 22解得 a24 ， b22 ，椭圆的方程为yx1 ；4 2(2) 由对称性可知，四边形 abcd 是平行四边形，设 a x1, y1， b x2 , y2，则 cx1, y1 ， dx2 , y2 ，由 x2y21 ，得 y24 2x2 ，422222222 x12y1 y2222abbc cdda 2 abdax2x1x2y1 y24x12x22y12y224 x12x224 2x124 x224 8 x12x2224 ，所以x12x222 ，4名校名 推荐

8、k1 k2y1 y2y12 y224 2x124 2x2216 8x128x224x12 x22x1x2x12 x22x12 x22x12 x222 ，故 k1 k2为定值 2.【反思提升】 圆锥曲线问题， 往往利用 a, b, c,e, p 的关系或曲线的定义，确定圆锥曲线方程是基础，通过联立直线方程与圆锥曲线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法- 如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解 . 本题“出奇”之处在于有较浓的“几何味”，研究几何图形的面积等. 这类题目能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、 分析问题解决问题的能力、数学的应用意识等 . 因此，在复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物