高中数学第三章不等式第八课时基本不等式教案(一)苏教版必修5

1、第八课时基本不等式（一）教学目标：1 学会推导并掌握均值不等式定理；2 能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。教学重点：均值不等式定理的证明及应用。教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。教学过程：重要不等式：如果a、b r，那么 a 2 b 2 2ab（当且仅当 a b 时取“”号）证明： a 2 b 2 2ab（ a b） 2当 a b 时，（ a b） 20，当 ab 时，（ ab） 2 0所以，（ ） 2 0即a2 b2 2aba b由上面的结论，我们又可得到定理：如果，是正数，那么a bab（当且仅当b时取“”号 ）a b2a证明：（a ） 2（ b ） 2 2ab

2、a 2ab即a b abb2a b显然，当且仅当b时，aba2说明： 1）我们称a ba，b 的算术平均数， 称ab 为 a，b 的几何平均数， 因而，2为此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2）a2 b2 2ab和a b ab成立的条件是不同的：前者只要求，都是实数，2a b而后者要求 a， b 都是正数 .3）“当 且仅当”的含义是充要条件 .4）数列意义问： ， r？a b例题讲解：例 1已知，y都是正数，求证：x（1）如果积xy是定值 ，那么当xy时，和xy有最小值 2p；p（2）如果和xy是定值，那么 当xy时，积xy有最大值12s4s证明：因为 x， y

3、都是正数，所以x y xy2（1）积 xy 为定值 p 时，有 x y p x y 2 p21上式当 x y 时，取“”号，因此，当x y 时，和 x y有最小值 2 p .（2）和xy为定值s时，有xysxy1s22412上式当 x=y 时取“”号，因此，当x=y 时，积 xy 有最大值 4s .说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：）函数式中各项必须都是正数; ) 函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；）等号成立条件必须存在。师：接下来，我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用.例 2 ：已知 a、 b、 c、 d 都是正数，求证：（ abcd）（ ac bd）

4、4abcd分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的 条件的认识 .证明：由 a、b 、 c、 d 都是正数，得ab cdac bd ab cd 0， ac bd 0，22（ ab cd）（ ac bd） abcd4即（ ab cd）（ ac bd） 4abcd例 3某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为3，深为 3m，如果池底4800m2的造价为 150 元，池壁每2的造价为120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，每 1m1m最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的 最值，其中

5、用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l 元，根据题意，得16001600l 240000 720（ x x） 240000720 2x x 240000 720240 2976001600当 xx，即 x 40 时， l 有最小值 297600因此，当水池的底面是边长为 40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是 297600 元 .评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.为了进一步熟悉均值不等式定理在证明不等式与求函数最值中的应用，我们来进行课堂练习 .课本 p91 练习 1， 2， 3， 4.3课堂小结2通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术