算法设计与分析考试题及答案

1、1. 一个算法就是一个有穷规则的集合， 其中之规则规定了解决某一特 殊类型问题的一系列运算，此外，算法还应具有以下五个重要特 性 :, 。2. 算法的复杂性有 和 之分，衡量一个算法好坏的标准是 。3. 某 一 问 题 可 用 动 态 规 划 算 法 求 解 的 显 著 特 征 是4. 若序列 X=B,C,A,D,B,C,D ，Y=A,C,B,A,B,D,C,D ，请给出序列 X 和 Y 的一个最长公共子序列 。_5. 用回溯法解问题时， 应明确定义问题的解空间， 问题的解空间至少 应包含 。6. 动 态 规 划 算 法 的 基 本 思 想 是 将 待 求 解 问 题 分 解 成 若 干 ，先

2、求解 ，然后从这些 的 解得到原问题的解。7. 以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为 。8.0-1 背包问题的回溯算法所需的计算时间为 ,用动态规划算法所需的计算时间为 。9. 动态规划算法的两个基本要素是 和 。10. 二分搜索算法是利用 实现的算法。二、综合题 （50 分）1. 写出设计动态规划算法的主要步骤。2. 流水作业调度问题的 johnson 算法的思想。3. 若n=4,在机器M1和M2上加工作业i所需的时间分别为 日和bi,且(ai,a2,a3,a4)=(4,5,12,10), (bi,b2,b3,b4)=(8,2,15,9) 求 4 个作业的最优调度方案，并计算最优值。4.

3、使用回溯法解 0/1 背包问题： n=3， C=9， V=6,10,3 ， W=3,4,4, 其解空间有长度为 3 的 0-1 向量组成，要求用一棵完全二叉树表示其 解空间(从根出发，左 1 右 0) ，并画出其解空间树，计算其最优值 及最优解。5. 设S=X, & ，X是严格递增的有序集，利用二叉树的结点来存储S中的元素，在表示S的二叉搜索树中搜索一个元素 X,返回 的结果有两种情形,(1)在二叉搜索树的内结点中找到 X=Xi ,其概率 为bi。( 2)在二叉搜索树的叶结点中确定X( X , X+1),其概率为ai。在表示S的二叉搜索树T中，设存储元素X的结点深度为C ；叶 结点(X , X

4、+1)的结点深度为di，则二叉搜索树T的平均路长p为多 少？假设二叉搜索树Tij=X , X+i，X最优值为mij,Wij= a i-i +bi+ +b+a，贝S mij(1=i=j=n)递归关系表达式为什么？6. 描述 0-1 背包问题。三、简答题 (30分)1流水作业调度中，已知有n个作业，机器M1和M2上加工作业i所 需的时间分别为 ai 和 bi ，请写出流水作业调度问题的 johnson 法则中 对 ai 和 bi 的排序算法。(函数名可写为 sort(s,n) )2. 最优二叉搜索树问题的动态规划算法(设函数名binarysearchtree)答案： 一、填空1确定性 有穷性 可行

5、性 0 个或多个输入 一个或多个输出2. 时间复杂性 空间复杂性 时间复杂度高低3. 该问题具有最优子结构性质4. BABCD或CABCD或CADCD5. 一个(最优)解6. 子问题 子问题 子问题7. 回溯法8. o(n*2 n) o(minnc,2 n)9. 最优子结构 重叠子问题10. 动态规划法二、综合题1. 问题具有最优子结构性质；构造最优值的递归关系表达式；最优值的算法描述；构造最优解；2. 令N=i|a i=b；将N中作业按a的非减序排序得到NI将N2中作业按b的非增序排序得到N2N中作业 接N 中作业就构成了满足Johnson法则的最优调度。3. 步骤为： N1=1， 3， N

6、2=2， 4；N1 =1 ， 3， N2=4， 2；最优值为： 384. 解空间为 (0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)解空间树为:该问题的最优值为：16最优解为：(1, 1, 0)nn5. 二叉树T的平均路长P= bi* (1 Ci) + aj*dji 1j 0mij=Wij+mi nmik+mk+1j (1=i=jj)6. 已知一个背包的容量为C,有n件物品，物品i的重量为W,价值为V，求应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。三、简答题void sort(flowjope s,i

7、 nt n)int i,k,j,l;1.for(i=1;i=n-1;i+)/ 选择排序k=i;while(kn) break;/没有 ai,跳出elsefor(j=k+1;jsj.a) k=j;swap(si.index,sk.index);swap(si.tag,sk.tag); l=i;/ 记下当前第一个 bi 的下标for(i=l;i=n-1;i+)k=i;for(j=k+1;j=n;j+)if(sk.bsj.b) k=j;swap(si.index,sk.index); / 只移动 index 和 tagswap(si.tag,sk.tag);2.void binarysearchtr

8、ee(int a,int b,int n,int *m,int *s,int *w) int i,j,k,t,l;for(i=1;i=n+1;i+) wii-1=ai-1;mii-1=0;for(l=0;l=n-1;l+)/l 是下标 j-i 的差for(i=1;i=n-l;i+) j=i+l; wij=wij-1+aj+bj; mij=mii-1+mi+1j+wij; sij=i;for(k=i+1;k=j;k+) t=mik-1+mk+1j+wij; if(tmij) mij=t;sij=k;一、填空题(本题15分，每小题1分)1、算法就是一组有穷的 ，它们规定了解决某一特定类型问题的。2

9、、在进行问题的计算复杂性分析之前，首先必须建立求解问题所用的计算模型。3个基本计算模型是 、。3、算法的复杂性是 的度量，是评价算法优劣的重要依据。4、计算机的资源最重要的是 和资源。因而，算法的复杂性有和之分。5、f(n)二 6 2n+n2, f(n)的渐进性态 f(n)二 0()6、贪心算法总是做出在当前看来 的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所做出的选择只是在某种意义上的。7、许多可以用贪心算法求解的问题一般具有2个重要的性质：性质和性质。二、简答题(本题25分，每小题5分)1、简单描述分治法的基本思想。2、简述动态规划方法所运用的最优化原理。3、何谓最优子结构性质？4、简单

10、描述回溯法基本思想。5、何谓P、NR NPC、可题三、算法填空(本题20分，每小题5分)1、n后问题回溯算法(1) 用二维数组ANN存储皇后位置，若第i行第j列放有皇后，则Aij为非0值,否则值为0。(2) 分别用一维数组MN、L2*N-1、R2*N-1表示竖列、左斜线、 右斜线是否放有棋子，有则值为1,否则值为0。for(j=0;j=0;r-) / for(c=0;1;c+)if( tr+ 1ct r+ 1c+1) else3Hano i( n, a,b,c)3、Hanoi 算法if(n=1)1elseHanoi(n-1,b, a, c);4、Dijkstra算法求单源最短路径du:s到u的

11、距离pu:记录前一节点信息In it-s in gle-source(G,s)for each vertex v VGdo dv= oo ; 1ds=0Relax(u,v,w)if dvdu+w(u,v)then dv=du+wu,v;dijkstra(G,w,s)1. In it-s in gle-source(G,s)2. S=3. Q=VG4. while Qdo u=min(Q)S=S U ufor each vertex 3do 4四、算法理解题（本题10分） 根据优先队列式分支限界法，求下图中从v1点到v9点的单源最短路径，请画出求得最优解的解空间树。要求中间被舍弃的结点用x标记，

12、获得中间解的结点用单圆圈O框起,最优解用双圆圈框起。五、算法理解题（本题5分）设有n=2k个运动员要进行循环赛，现设计一个满足以下要求的比赛日程表： 每个选手必须与其他n-1名选手比赛各一次; 每个选手一天至多只能赛一次； 循环赛要在最短时间内完成（1）如果n=2k，循环赛最少需要进行几天；（2）当 n=23=8 时，请画出循环赛日程表。六、算法设计题（本题 15分）分别用贪心算法、动态规划法、回溯法设计 0-1 背包问题。要求： 说明所使用的算法策略； 写出算法实现的主要步骤； 分析算法的时间。七、算法设计题（本题 10分）通过键盘输入一个高精度的正整数 n（n的有效位数w 240），去掉

13、其中任意s个数字后，剩下的数字按原左右次序将组成一个新的正整 数。编程对给定的n和s,寻找一种方案，使得剩下的数字组成的新 数最小。【样例输入】178543S=4【样例输出】13答案：、填空题（本题 15 分，每小题 1 分）1规则一系列运算2. 随 机 存 取 机 RAM(Random Access Machine) ； 随 机 存 取 存 储 程 序 机RASP(Random Access Stored Program Machine；) 图灵机 (Turing Machine)3.算法效率4.时间 、空间、时间复杂度、52n6最好局部最优选择空间复杂度7. 贪心选择 最优子结构、简答题（

14、本题 25 分，每小题 5 分）6、分治法的基本思想 是将一个规模为 n 的问题分解为 k 个规模较小的子问题， 这些子问题互相独立且与原问题相同；对这 k 个子问题分别求解。如果子 问题的规模仍然不够小，则再划分为 k 个子问题，如此递归的进行下去， 直到问题规模足够小，很容易求出其解为止；将求出的小规模的问题的解 合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。7、“最优化原理 ”用数学化的语言来描述：假设为了解决某一优化问题，需要 依次作出n个决策D1, D2,，Dn,如若这个决策序列是最优的，对于任 何一个整数 k， 1 k n ，不论前面 k 个决策是怎样的，以后的最优决

15、策 只取决于由前面决策所确定的当前状态，即以后的决策Dk+1, Dk+2,，Dn也是最优的。8、 某个问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性 质。9、回溯法的基本思想 是在一棵含有问题全部可能解的状态空间树上进行深度 优先搜索，解为叶子结点。搜索过程中，每到达一个结点时，则判断该结 点为根的子树是否含有问题的解， 如果可以确定该子树中不含有问题的解， 则放弃对该子树的搜索，退回到上层父结点，继续下一步深度优先搜索过 程。在回溯法中，并不是先构造出整棵状态空间树，再进行搜索，而是在 搜索过程，逐步构造出状态空间树，即边搜索，边构造。10、P（Polynomial 问题）：也

16、即是多项式复杂程度的问题。NP就是Non-deterministic Polynomial的问题，也即是多项式复杂程度的 非确定性问题。NPC（NP Complete）问题，这种问题只有把解域里面的所有可能都穷举了之 后才能得出答案，这样的冋题是 NP里面最难的冋题，这种冋题就是 NPC可 题。三、算法填空（本题 20 分，每小题 5 分）1 、n 后问题回溯算法(1) !Mj&!Li+j&!Ri-j+N(2) Mj=Li+j=Ri-j+N=1; try(i+1,M,L,R,A) Aij=O Mj=Li+j=Ri-j+N=O2、数塔问题。(1) c=r trc+=tr+1c(3) trc+=t

17、r+1c+13、Hanoi 算法(1) move(a,c)(2) Hanoi(n-1, a, c , b)(3) Move(a,c)4、(1) pv=NIL(2) pv=u(3) v adju(4) Relax(u,v,w)四、算法理解题(本题10 分)五、(1) 8天(2分);(2)当n=23=8时，循环赛日程表(3 分)六、算法设计题(本题15分)(1)贪心算法 O (nlog (n) ?首先计算每种物品单位重量的价值1 2 3 45 6 7 82 1 4 36 5 8 73 4 1 27 8 5 64 3 2 18 7 6 55 6 7 81 2 3 46 5 8 72 1 4 37 8

18、 5 63 4 1 28 7 6 54 3 2 1Vi/Wi，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。 若将这种物品全部装入背包 后，背包内的物品总重量未超过 C，则选择单位重量价值次高的物品并尽 可能多地装入背包。依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止。?具体算法可描述如下：void Knapsack(int n,float M,float v,float w,float x) Sort( n,v,w);int i;for (i=1;i=n;i+) xi=0;float c=M;for (i=1;ic) break;xi=1;c-=wi;if (i=n) xi=c/wi;(2)动态规划法O(nc)m(i, j)是背包容量为j,可选择物品为i, i+1 ,，n时0-1背包问题的最优 值。由0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m(i, j)的递归式如下。m(i,j)maxm(i 1, j),m(i 1, j wi) vim(i 1, j)0wiwim(n, j)vnjwn0 0 j wnvoid KnapSack(int v,int w,int c,int n,int m11)int jMax=min(wn-1,c);for (j=0;j=jMax;j+)/*m