高考数学第一轮总复习-7.2两直线的位置关系

1、第七章 直线与圆的方程,两直线的位置关系,第 讲,2,（第一课时）,1. 设直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，则l1l2的充要条件是_且_;l1l2的充要条件是_. 2. 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则当 时，l1与l2_；当 时，l1与l2_；当 时，l1与l2_;当 时，l1与l2_.,k1=k2,b1b2,k1k2=-1,重合,平行,相交,垂直,3. 设两相交直线l1,l2的交点为P,把直线l1绕点P按_方向旋转到与l2重合时所转过的最小的角,叫做_的角;直线l1与l2所夹的_叫做l1与l2的夹角;规定:两条平行直线的夹角为 _

2、. 4. 设两直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,l1到l2的角为,l1与l2的夹角为,则l2到l1的角为 _;tan= ;tan= _.,逆时针,l1到l2,锐角或直角,0,-,5. 点P(x0，y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= _;两条平行直线l1:Ax+By+C1=0和l2:Ax+By+C2=0 (C1C2)之间的距离d= _. 6. 经过两条相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为 _.,(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0 (,R),1.直线x+y-1=0到直线xsin+ycos-1 =( )的角是(

3、) 解:由 因为 所以 所以 所以,D,2.已知点P是直线l上的一点，将直线l绕点P逆时针方向旋转(090)角，所得直线方程是x-y-2=0，若将它继续旋转90-角，所得直线方程是2x+y-1=0，则直线l的方程是( ) A. 2x+y-1=0 B. 2x+y-5=0 C. x+2y-5=0 D. x-2y-3=0 解：因为直线l经过直线x-y-2=0和2x+y-1=0的交点(1，-1)，且又与直线2x+y-1=0垂直， 所以直线l的方程为y+1= (x-1),即x-2y-3=0.,D,3.ABC中，a、b、c是内角A、B、C的对边，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则下列

4、两条直线l1：(sin2A)x+(sinA)y-a=0，l2：(sin2B)x+(sinC)y-c=0的位置关系是 . 解：由已知2lgsinB=lgsinA+lgsinC， 得lg(sinB)2=lg(sinAsinC)， 所以sin2B=sinAsinC.,l1与l2重合,设l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0. 因为 所以 所以l1与l2重合.,1. 已知两直线l1:mx+8y+n=0和 l2:2x+my-1=0.试确定m，n的值，使: (1)l1与l2相交于点P(m，-1); (2)l1l2; (3)l1l2，且l1在y轴上的截距为-1.,题型1 两条直线的位

5、置关系的条件分析,解：(1)因为m2-8+n=0且2m-m-1=0， 所以m=1，n=7. (2)由A1B2-A2B1=0,得mm-82=0,故m=4. 由8(-1)-nm0，得n2. 即当m=4，n-2或m=-4，n2时，l1l2. (3)当且仅当m2+8m=0，即m=0时，l1l2. 又 =-1，所以n=8. 即当m=0,n=8时,l1l2,且l1在y轴上的截距为-1.,点评：两直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点坐标即为两直线方程组成的方程组的解.两直线平行的问题，一般是先根据其必要条件A1B2-A2B1=0来求得参数的值，然后检验两直线是否重合，排除重合的情况，

6、就是平行.而两直线垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0.,2. 已知三条直线l1:2x-y+a=0 (a0)，直线l2:-4x+2y+1=0和直线l3:x+y-1=0，且l1与l2间的距离是 (1)求a的值; (2)求l3到l1的角; (3)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件： P是第一象限的点； P点到l1的距离是P点到l2的距离的 ;,题型2 角和距离的分析与计算,P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 若能，求出P点的坐标；若不能，说明理由. 解：(1)l2即 所以l1与l2间的距离 所以 所以 因为a0，所以a=3.,(2)由(1)知，l1即2x-y+3=0，所以k1=2

7、. 而l3的斜率k3=-1， 所以 因为0，所以=-arctan3. (3)设点P(x0，y0).若P点满足条件，则P点在与l1，l2平行的直线l：2x-y+C=0上. 且 即 或 所以 或,若P点满足条件,由点到直线的距离公式, 有 即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|， 所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0. 由P在第一象限，所以3x0+2=0不可能， 联立方程 解得 (舍去). 由 解得,所以 即为同时满足三个条件的点. 点评：点到直线的距离及两平行直线间的距离公式是求距离中最常用的公式，而夹角公式和到角公式是求有关角常用的公式.四个公式的综合运用体现了数形结合思想.求解时，常

8、借助于简单的草图进行直观理解.,某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80 m,塔所在的山高OB=220 m,OA=200 m,图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上,l与水平地面的夹角为,tan= .试问此人距水平地面多高时,观看塔的视角BPC最大(不计此人的身高).,解：如图所示,建立平 面直角坐标系,则A(200,0), B(0,220),C(0,300). 直线l的方程为y=(x-200)tan, 则 设点P的坐标为P(x,y)(x200). 由经过两点的直线的斜率公式得,由直线PC到直线PB的到角公式得 要使tanBPC达到最大,只需 达到最小. 由均值不

9、等式知 当且仅当 时上式取得等号.,故当x=320时，tanBPC最大,这时， 点P的纵坐标为 由此实际问题知0BPC , 所以tanBPC最大时，BPC最大. 故当此人距水平地面60 m高时， 观看塔的视角BPC最大.,3. 过点A(1，1)作两直 线l1,l2,使l1l2,且l1交x轴 于点M,l2交y轴于点N,P为 线段MN的中点.已知直线 PA的斜率为-2，求点P的坐标. 解法1：设点P(x0，y0)，连结PO. 因为MAN和MON都是直角三角形， P为MN的中点， 所以 故|PA|=|PO|.,题型3 求点的坐标,所以(x0-1)2+(y0-1)2=x02+y02，即x0+y0=1.

10、 又kPA=-2，即 所以2x0+y0=3. 联立，解得x0=2，y0=-1. 所以点P的坐标为(2，-1). 解法2：设直线l1的方程为y-1=k(x-1). 因为l1l2，所以l2的方程为y-1=- (x-1). 从而M(1- ，0)，N(0，1+ ). 因为P为线段MN的中点，所以,因为kPA=-2，所以 即 所以 所以 所以点P的坐标为(2，-1). 点评：涉及求交点或中点坐标问题时，一般是先设点的坐标参数，然后由题中条件得出所求参数的方程(组)，再通过解方程(组)求得坐标参数.,已知两点A(2,5)、B(-2,1),P为y轴负半轴上一点,直线PA、PB分别与直线y=x相交于点M、N.若|MN|= 求点P的坐标. 解：连结AB，如图. 因为 所以ABMN. 又 所以|AB|=2|MN|.,从而MN为APB的中位线， 所以M为PA的中点. 设点P(0，y0)，则M(1， ). 因为点M在直线y=x上， 所以 =1，得y0=-3. 故点P的坐标是(0，-3).,1. 要认清直线平行、垂直的充要条件，应特别注意x，y的系数中一个为零的情况的讨论.两直线的位置关系要分斜