第23讲-周期工程问题

1、第23讲周期工程问题 、知识要点 周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时， 首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。 其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。 二、精讲精练 【例题1】一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后 乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时两人如此交替工作，问完成任务时需共用多 少小时？ 把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。 7个循环后剩下的工作量是: 1- 余下的工作两还需甲做的时间为: 36 12 （小时） 需循环的次数为：

2、1亠（丄+丄）=36 7（次） 1218 丿 5丿 1 1 完成任务共用的时间为：2X 7+3 =143 （小时） 1 答：完成任务时需共用14小时 练习1 : 1、一项工程，甲单独做要 6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙; 甲、乙的顺序交替工作，每次 1小时，需要多少小时才能完成？ 2、一部书稿，甲单独打字要 14小时，乙单独打字要 20小时。如果先由甲打1小 时，然后由乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时两人如此交替工作，打完这部 书稿共需用多少小时？ 3、一项工作，甲单独完成要 9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙；甲、 乙的顺序轮流工作，每人每次工作 1小时，完

3、成这项工程的2/3共要多少时间？ 【例题2】一项工程，甲、乙合作263天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交 替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮 流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？ 由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还 是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮 流方式的情况可表示如下： 甲乙甲乙甲乙甲 1 乙甲乙甲乙甲乙2甲 竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半 天，即甲的工作效率是乙的2倍。 甲每天能做

4、这项工程的1宁26| X总= 1 甲单独做完成的时间1*石=40 （天） 答：这项工程由甲单独做需要 40天才能完成 练习2: 1、一项工程，乙单独做 20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交 替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮 流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？ 2、一项工程，甲单独做 6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交 替做，恰好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮 1 流做要多3天才能完成。这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成？ 3 3、一项工程，甲、乙合作 12

5、5小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小时乙做, 这样轮流交替做，也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流 1 交替做，比上次轮流做要多3小时才能完成。这项工程由甲独做几小时可以完成？ 4、蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管 5小时灌满一池水，单开排水管 3 小时排完一池水。现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水的顺序轮流依 次各开1小时，多少小时后水池的水刚好排完？ 【例题3】一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天 数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数 后，还剩60个不能完成。已知甲

6、、乙工作效率的比是 5： 3。甲、乙每天各做多少个？ 由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还 是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮 流方式的情况可表示如下： 甲乙甲乙甲乙甲 乙甲乙甲乙甲乙剩60个 竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是 甲、乙工作效率的差。 甲每天做的个数为：60-( 5-3) X 5=150 (个) 乙每天做的个数为：60-( 5-3 )X 3=90 (个) 答：甲每天做150个，乙每天做90个。 练习3: 1、一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样

7、交替轮流做，恰好用整数天完 成。如果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天 数后，还剩84个不能完成。已知师、徒工作效率的比是7： 4。师、徒二人每天各做多少 个？ 2、一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。如 2 果死一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多-天才能完成。如果让甲、乙二人合 作，只需2|天就可以完成。现在，由乙独做需要几天才能完成？ 3、红星机械厂有1080个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时让徒弟 做，这样交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅 做，这样交替轮流，做到上次轮

8、流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。如果让 师、徒二人合作，只需3小时36分就能完成。师、徒每小时各能完成多少个？ 【例题4】打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在, 甲、乙两人轮流工作。甲工作 1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工 作1小时，乙工作2小时如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时? 根据已知条件，我们可以把 6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙 都工作了 3小时。 119 每循环一次，他们共完成全部工程的（12 +15）x 3=20 92 总工作量里包含几个 9/20 : 1十20 =29 91 甲、乙工作两

9、个循环后，剩下全工程的 答：打印这部稿件共需134小时。 20 X 2=兀 1 1 1 由于10 12，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为（10 1 1 打印这部稿件共需的时间为：6X 2+1+4 =134 （小时） 练习4: 1、一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满；单开乙 管，18分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲 1分钟，乙2分钟，甲2 分钟，乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟 如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？ 2、一件工作，甲单独做，需 12小时完成；乙单独做需15小时完成。现在，甲、乙 两人轮流工作，甲工作 2小时，乙工作1小

10、时；甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2 小时，乙工作1小时如此交替下去，完成这件工作共需多少小时？ 3、一项工程，甲单独做要50天完工，乙单独做需60天完工。现在，自某年的3月2 日两人一起开工，甲每工作 3天则休息1天，乙每工作5天则休息一天，完成全部工程的 52 75为几月几日？ 75 4、一项工程，甲工程队单独做完要 150天，乙工程队单独做完需180天。两队合作 时，甲队做5天，休息2天，乙队做6天，休息1天。完成这项工程要多少天？ 【例题5】有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序 轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5天；

11、如果按 1 丙、甲、乙次序做，比原计划多用3天。已知甲单独做13天完成。且3个工程队的工效各 不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？ 由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如 果是3的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用 的天数是3的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下： 甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙，甲 1 乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲，乙 2丙 1 丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙，丙 3甲 2 1 2 1 2 从中可以退出：丙=3甲；由于乙=甲一2丙=甲一甲x 2，又推出乙=3甲；与题中 “三个工程队的工效各不相同”矛盾。所以

12、，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3 的倍数余2。三种轮流方式用的天数必定如下所示： 甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙，甲乙 1 乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲，乙丙 2甲 1 丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙，丙甲 3乙 1 2 由此推出：丙=2甲，丙=3乙 1 1 1 丙队每天做这项工程的X-=: 13226 123 乙队每天做这项工程的. 26352 1137 甲、乙、丙合作完工需要的时间为 1*( 13+26 + 52)=59 (天) 答：甲、乙、丙合作要5彳天完工。 练习5: 1、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数 1 天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多

13、用3天；如果按丙、甲、乙次序做， 1 比原计划多用4天。已知甲单独做 7天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由 甲、乙、丙合作要多少天完工？ 2、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天 1 完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 1天；如果按丙、甲、乙次序做，比 原计划多用2天。已知甲单独做10天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由 甲、乙、丙合作要多少天完工？ 3、有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做， 1 恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用2天；如果按丙、甲、乙 17 次序

14、做，比原计划多用天。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作，需139天可 以完成，且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲独做需要多少天才能完成？ 4、蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要 3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管要 4小时，单开丁管要6小时。现 1 知池内有6池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁的顺序轮流各开1小时，多 长时间后水开始溢出水池？ 答案： 练1 1、( 1)需循环的次数 15 二玄 * 3 (2) 3个循环后剩下的工作量 (3) 最后由乙做的时间 1 (5 (4) 需要的总时间 1 1 X 3+1+3 二

15、73 小时 (1) 需循环的次数 140 二 77 8 (2) 3个循环后剩下的工作量 (3) 最后由乙做的时间 14014 = 5 小时 (4)需要的总时间 3、 2 X 8+2 2 =162 小时 (1)需循环的次数 1124 (9 + 112) (2) 3个循环后剩下的工作量 (3)最后由乙做的时间 小时 (4)需要的总时间 33 ” 2X 3+4 = 64 小时 练2 1、提示：甲的效率是乙的2倍 20- 2= 10 天 2 2、提示：乙的效率是甲的3 r 1 / 1、 1 【6 X( 1-1)+6 】 2 3、提示：乙的效率是甲的3 =21小时 3 (“3 4、( 1)需几个周期 /

16、11、 c 15 c (3 飞)X3= & (2) 3个周期后剩下的水 111 1 (_ )X 3= 235 丿10 (3) 需要的时间 1 1 X 3+1+( +5 ) 小时 练3 1、师傅：84-( 7 4) X 7= 196 个 徒弟：84-( 7 4)X 4= 112 个 23 2、提示：乙的效率是甲的(1 3、3 小时36分=35小时 )=- 55 53_十 -(1 - 28 X 53+5 )=7 天 师、徒效率和: 3 1080- 35 =300个 师傅每小时的个数：(300+60)十2= 180个 徒弟每小时的个数：(300- 60)十2= 120个 练4 1、提示：把6分钟看作

17、一个循环 (1) 每循环一次的工作量 117 (24 + 18)x( 1+2)= 24 (2)总工作量里面有几个24 73 1 宁 24 = 37 (3) 3个循环后剩下的工作量 71 124 % 3=8 (4) 一共需要的时间 分钟 1 1 1 1 X 3+1+( 8 24 也=202 2、提示：把6分钟看作一个循环 (1) 1个循环的工作量 119 (/ + 亦)X( 1+2)= 20 (2) 9 总工作量里面有几个20 92 20 = 1 20 X 2=L 1 29 (3) 3个循环后剩下的工作量 (4) 一共需要的时间 说明：2个循环后，是由甲接着干 1 2小时，所以直接用10宁 3、

18、提示：把12天看作一个循环 12天中甲的工作量 19 x( 3+3+3)= 5050 12天中乙的工作量 1 6o x( 5+5) 总共需要的天数 5291 -h( +)= 2 7550 6 丿 (12天减去最后休息的1天) 12X 2 1= 23 天 52 完成全部任务的75为3月24日 4、提示：把7天看作一个周期 2 2 1 宁(3 X 5+3 X 6)= 15 7 X 15 1= 104 天 练5 1、提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2,否则 23 与题意不符。由此推出丙的效率是甲的3，丙的效率也是乙的4。 12 2 (1) 丙的工作效率1 x 2 = 21 238 (2) 乙的工作效率21宁3 = 63 12 8 17 (3) 甲、乙、丙三队合做的天数1*( - +21 +63 ) = 2天 2、提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余1,否则与题意 13 矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的2 ,乙的效率是甲的3 o 1 1 1 (1) 丙的效率10 x = 20 1113 (2) 乙的效率一X( 1 - X -)= 1022 40 1134 (3) 甲、乙、丙三