15.5.1提公因式法

1、第15章整式 15.5因式分解第15章整式 15.5因式分解 15.5.1提公因式法【教学目标】1、知识目标：（1）理解因式分解的概念和意义（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系相反变形，并会运用它们之间的 相互关系寻求因式分解的方法。（3）掌握公因式的概念，会使用提公因式法进行因式分解。2、能力目标：（1）由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力， 发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。（2）培养学生的观察、分析、判断及自学能力。3、德育目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科 学态度。【教学重点】1、因式分解的概念.2、

2、提公因式法法则。【教学难点】1、因式分解与整式乘法的关系；2、提公因式的方法。【教学准备】多媒体课件。【教学设计】一至两课时【教学过程】一、教学引入1、想一想：下列式子的公因式是什么？1 a a b亠 b a b2ax_y _by_x2、想一想：在下列各式右边的括号前该添上“ + ”还是“”号就能使等式成立了？1 b -a = a -b（2 lb -a 2 =（a - b f33(3 a)二_ (ab)4 ba2n1 二_ ab2n1(5 -a )n 二(a -b6 a _1 b_1 =1 一 a 1 一 b二、讲授新课1 因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫 分

3、解因式。2因式分解与整式乘法的关系：因式分解结合：a2-b2=( a+b)( a-b)整式乘法说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式(多项式)转化成整式的积的 形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式)。 结论：因式分解与整式乘法正好相反。3、提公因式法： am bm cm =m(a b c),可以把多项式m mb me写成m与a b c的乘积的形式，相当于把公因式 m从各项中提出来，作为多项式 ma mb mc的一个因式，把m从多项式ma mb mc各项中提出后所成的 多项式a b c，作为多项式ma mb me的另一个因式。这种分解因式的方 法叫做提公因

4、式法。4、学习时应注意的问题提取公因式法的难点有：(1) 符号问题；(2)各项除以公因式时的同底幕相除后的指数问题；(3)(a-b) 2n与(a-b) 2n-1中底的变形。三、课堂例题【例题1】下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(x+2)( x-2 ) =x2-4 x-4= (x+2)( x-2 ) a2-2ab+b2= (a-b) 2 3a (a+2) =3a+6a 3a2+6a=3a (a+2)+3x x2-4+3x= (x-2 )(x+2)1 1 k2+k2 +2= (k+k ) 2 x-2-1= (x-1+1)( x-1-1 ) 18a3bc=3a2b6ac【例

5、题2】填空:2y-6xy 2)2y-6xy 2(1) v 2xy( )=2x2 22x y-6xy =2xy( v xy()=2x2 22xy-6xy =xy()2 2 2x()=2xy-6xy2 2 2x y-6xy =2x()【例题3】把下列各式分解因式：2 2(1) 2ax+2ay(2)3mx-6nx(3) x y+xy1 x 2+ 4 -x (5) x2-0.01 a3-1【例题4】把8a3b2-12ab3c分解因式。解：8a3b2-12ab3c=4 s?b2 2孑-4 a3b2 3bc=4 s?b2 (2a2 3bc)【例题5】谁能用简便的方法运算下列式子：1 301 274 -30

6、1 262 24.3 645.7 6【例题6】把2a(b c) - 3(b c)分解因式。解：2a(b c) -3(b c) = (b c)(2a _3)【例题7】把5(x-y)310(y-x)2分解因式。分析：要找出多项式的公因式，关键在于(y-x)2的变形，在变形过程中，要特别注意符号的变化规律，即：(y-x)2-(x-y)2 (x y)2。解： 5(x - y)310(y -x)232= 5(x-y) 10(x-y)二 5(x-y)2(x-y) 2= 5(x - y)2(x - y 2)四、课堂练习【练习1】1. 选择题.(1) 下列等式中，从左到右的变形为因式分解的是().2 2A .

7、12 a b = 3a 4abB .( x + 2)( x 2) = x 42C .4 x 8 x 1= 4 x ( x 2)-1 D .12 ax 12ay = 12 a ( x y )(2) 下列等式中从左到右的变形因式分解的是().2 2A .( x+ 5)( x 1) = x 2 + 4 x 5B . xy 1 = ( x + y )( x 1 )-1C . x 2 10 xy + 25 y 2 = ( x 5 y )2 Dax 2bx 2 x = x 2( a b ) x(3) 下列等式中从左到右的变形因式分解的是().2 2 2A . ab ( a b ) = a b abB .(

8、 x 3)( x + 3) = x 92C . ax + bx a = x ( a + b ) aD. ab + ac a =a ( b + ca )2. 判断下列各题从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？2 2 2(1) ( x + y ) =x + 2xy + y ；2(2) y - 16= ( y + 4)( y-4)；(3) x 2-4 x+ 5= ( x- 2)2+ 1;2 2(4) m 2m+ 1 = ( m 1);(5) a 25+a 1 = ( a+ 5)( a 5) +a 1;(6) x 2 5x 6= ( x 6)( x + 1).【练习2】1、把下列多项分解因

9、式。3 2 2(1) 16a3b-8a2b2c;(2) 2x4y2-4x3y2+10xy4;2、去括号或填空：(1)a+(b-c); a-(b-c); a+b-c=a+();(4) a-b+c=a-().【练习3】1 9a2 _6ab 3a2 -28x3y 56x2y -28x23 2923 m n mn4 84anb -anc【练习4】因式分解1 x a -b -c i亠 y b c -a22x-y a -2b 3c -3x y 2b- a-3c3b cx c ax a b x(4 )xy _丄 y2 _(x _y f2 25m-n p-q p 2q -n-m p q p 2q【练习5】把下

10、列各多项式进行因式分解： a(x - y) b(x - y) x(a 3) - y(a 3) 6m( p -3) 5n( p -3) x(a b) -y(a b) z(a b)五、课堂总结1. 通过本课的学习，我们要知道什么叫做因式分解，什么叫做提取公因式，并 会用提取公因式法分解因式。2. 提取公因法的难点在于如何确定公因式以及确定另一个因式。公因式的确定：号应先提取;系数一一各项系数的最大公因数，首项含有 字母一一相同字母的较低次幕。另一个因式的确定：用原式分别除以公因式所得的商式3. 要注意分解结果不要漏项。防止漏项的方法有二：一是另一个因式的项数是 否与原式的项数相符；二是应用因式分解

11、与整式的乘法的关系，用整式乘法 来检查因式分解的结果对不对。【课后作业】教科书196页练习。【补充练习】【补充1】选做题： x2+x-m=(x+3)(),且 m=. x2-3x+k=(x-5)(), 且 k=;【补充2】1. 若 x +mx-n 能分解成(x-2)(x-5),则 m=,n=2. 机动题：(填空)x2-8x+m=(x-4)(), 且 m= 【补充3】1. 判断正误.(1) 把一个代数式化为乘积形式，叫做把这个代数式因式分解；() 把一个整式化为乘积形式，叫做把这个整式因式分解；()(3) 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.()2. 下列由左到右的变形，

12、哪些是因式分解 ？哪些不是？为什么？2 2(1) X + 2xy +y 1 = ( x + y+ 1)( x + y 1)；(2) x 2y 2 3= ( x + y )( x y ) 3；2 2 2(3) m + 2m n+n -2 m 2 n = ( m+n ) 2( m+n )；(4) 9( a 2 1) = 9( a + 1)( a 1)；2 2(5) bx 3b = b ( x 3)；(6) ( a + 2)( a 3)+5 =a a 1 ；9 x 2y 2 = (3 x +y )(3 x y ).【补充4】把下列各式分解因式或计算：32231 8x y - 24x y2 9a3 6

13、a2 3a3 -5a2b 10ab2x171717(4计算:伸备+ 19.8笛25肓【补充5】用提取公因式法分解下列因式1、2mx(x-3)(y+5)+2nx(x-2)(y+5)2、 xm+yn-4x m-1ym+1+xnym(m1 的整数，n 为正整数)【补充6】1. 把一个多项式化成的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式。2. 根据乘法运算：(x + 2y)(x 2y) = x2 4y2, (m + 3)(m 2) = m+ m- 6,2 2 2 (x+ y)( m- n)= mx- nx+ my ny，(a 2b) = a 4ab+ 4b把下列多项式因式分解：2/22|Qx

14、 4y = m + m- 6=2 2mx nx + my- ny= a 4ab+ 4b =3 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写 成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做。4. 填空：ab + ac的公因式是。2ab 2 4abc的公因式是1 的整数，n 为正整数)【补充6】5. 把一个多项式化成的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式。6. 根据乘法运算：(x + 2y)(x 2y) = x2 4y2, (m + 3)(m 2) = m+ m- 6,222(x+ y)( m- n)= mx- nx+ my ny，(a 2b) = a 4ab+ 4b

15、把下列多项式因式分解：2,2 2 -x 4y = m + m- 6=mx nx + my- ny= a2 4ab+ 4b2=7. 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做。8. 填空：ab + ac的公因式是。2ab 2 4abc的公因式是。5. 填空2 2 ab 2ac=(b 2c) 7ab c 14a bc 7abc= 7abc() 一8a3b2c + 6a2b2c2 12a3bc2 = 2a2bc()n n 1 1 a b a c=(b c)(5)x 2y =()2 26. 把下列各式分解因式 x2yz xy2z + xy

16、z2 14pq + 28pq2 4a2b 8ab24 3222 8x 16xy 12xyz 9y z(6) 3a b 6ab+ 6b2432 x + xy xz16y 32y + 8y7利用因式分解计算 2.18 X 28+ 46X 2.18 + 26X 2.187.56X 1.09+ 1.09X 6 12.56X 1.09【备课札记】考题例析1、 (2000年 吉林省)因式分解：x3 4x2 y =。考点：提公因式法；平方差公式法；分解因式。评析思路，先提公因式，然后再用平方差公式进行分解.说明：分解因式要彻底。2、( 1998 四川)分解因式：4q(1-p) 3+2(p-1) 2考点：提公

17、因式法分析：注意到(p-1) 2=(1-p) 2,把(1-p)看作一个整体，且最低次幕是(1-p) 2,系 数的最大公约数是2，故提2(1-p) 2.3222解：4q(1-p) +2(p-1)=2(1-p) 2q(1-p)+1=2(1-p)(2q-2pq+2).真题实战1、 (1999 盐城)选择：若二次三项式x2+ax-1可分解为(x-2)(x+b),则a+b的值 为()。A -1 B、1 C、-2 D、2分析：解此类题关键在于理解因式分解的概念，根据题意x2+ax-仁(x-2)(x+b),把右边展开后，再由恒等式的性质即可求解。2、 ( 1998北京)选择：把ab+a-b-1分解因式的结果为()A (a+1)(b+1) B 、(a-1)(b-1) C 、(a+1)(b-1) D 、(a-1)(b+1) 解：ab+a-b-1=(ab+a)-(b+1)=a(b+1)-(b+1)=(b+1)