1.3集合间的基本运算

1、3集合的基本运算一、学习目标1. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集 2能使用Venn图表达 集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用3能够利用交集、并集的性质解决有关问题.4. 了解全集的意义和它的记法理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.5.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题.二、知识梳理1 并集和交集的概念及其表示类别概念自然语言符号语言图形语言并集由所有属于集合A或 者属于集合B的元素 组成的集合，称为集 合A与B的并集，记 作AU B（读作“ A并 B”）1AU B = xX A， 或

2、 x B/1交集由属于集合A且属于 集合B的所有元素组 成的集合，称为A与 B的交集，记作B（读作“ A交B ”）An B = xX A- 且 x B2. 并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质AUB=BUAAn b=BnaAU A= AAn A=AAU ?= AAn 2=2A?B?A U B= BA?B?An B = A3全集精心整理定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全(2)记法:4.补集全集通常记作U.文字语言对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作?uA付号语言?uA= x|x U

3、，且 x?A图形语言5补集的性质?uU = ?, ?u?二 U , ?u(?uA) = A.三、典型例题知识点一集合并集的简单运算例 1(1)设集合 M = 4,5,6,8，集合 N = 3,5,7,8，那么 M U N 等于()A. 3,4,5,6,7,8B . 5,8C. 3,5,7,8D . 4,5,6,8已知集合 P = x|xv 3 , Q= x| 1x4，那么 PU Q 等于()A . x| 1 xv3B . x| 1 x4C. x|x 1答案(1)A(2)C解析 (1)由定义知 M U N= 3,4,5,6,7,8.(2)在数轴上表示两个集合，如图.I规律方法解决此类问题首先应看

4、清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.跟踪演练 1(1)已知集合 A= x|(x 1)(x+ 2)= 0 ; B = x|(x+ 2)(x 3) = 0，则集合 AU B 是()A . 1,2,3B . 1， 2,3C . 1， 2,3D . 1， 2， 3若集合 M = x| 3vx5，贝U M U N =.答案 (1)C(2)x|xv 5,或 x 3解析(1) t A=1 , 2 , B= 2,3, AU B= 1

5、, 2,3.将3vx 5在数轴上表示出来.精心整理则 M U N = x|xv 5,或 x 3.知识点二集合交集的简单运算例 2 (1 )已知集合 A= 0,2,4,6 , B = 2,4,8,16，则 AH B 等于()A. 2B . 4C. 0,2,4,6,8,16D . 2,4设集合 A= x| 1 x 2 , B = x|0 x 4，则 AH B 等于()A . x|0 x 2B . x|1 x 2C. x|0 x 4D . x|1 x4答案(1)D(2)A解析 观察集合A, B,可得集合A, B的全部公共元素是2,4,所以AH B = 2,4.在数轴上表示出集合A与B,如下图. 则由

6、交集的定义可得 AH B = x|0Wx 2.规律方法求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似.跟踪演练 2 已知集合 A= x| 1Vx，求 AH B, AU B.解t A= x| 1Vx 3 , B = x,把集合A与B表示在数轴上，如图. AH B= x| 1 Vx3 H x=x| 1Vx 0,或 w x 3;AU B = x| 1 Vx3 U xh( = R.知识点三已知集合交集、并集求参数. t例3 已知A= x|2a x 5，若AH B = ?，求实数a的取值范围.解由AH B= ?,(1)若 A= ?，有 2aa+ 3, a3.若Am?，如下图:解得w

7、aw 2.综上所述，a的取值范围是a| w aw 2,或a3.规律方法1与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解.若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结.2.建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端点值代入题目验证.跟踪演练3 设集合A= x| 1Vxv a , B = x|1vxv3且AU B = x| 1vxv3，求a的取值范围.解如下图所示，精心整理由 AU B= x| 1 vx v 3知，1v a 1，则？uA=.答案B (2)x|xv 1解析(1) t U二1,2,3,4,5，A=1,2，二？uA= 3,4,5.由补集的定义，

8、结合数轴可得？uA=x|xv 1.规律方法1根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助 Venn图；当集合中元素连续时，可借 助数轴，利用数轴分析法求解.2.解题时要注意使用补集的几个性质：？uU = ?，?u?二U，AU (?uA)= U.跟踪演练1已知全集U = xx 3，集合A = x| 3vx4解析 借助数轴得？uA= x|x= 3，或x4.知识点五交集、并集、补集的综合运算例 5(1 )已知集合 A、B 均为全集 U = 1,2,3,4的子集，且？u(AU B)= 4，B = 1,2，则 AH ?uB等于()A. 3B . 4C. 3,4D . ?设集合 S= x|x 2，T = x|

9、 4 x 1，则(?rS) U T 等于()A . x| 2vx 1B . x|x 4C . x 1答案(1)A(2)C解析 (1) t U = 1,2,3,4，?u(AU B)= 4， AU B= 1,2,3.又t B= 1,2，?A?1,2,3.又？uB = 3,4， AH ?uB = 3.因为 S= x|x 2，所以？rS= xx 2.而 T= x| 4 x 1，精心整理所以(?rS) U T = xX - 2 U x| 4x 1=xX 1.规律方法1集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算.2.当集合是用列举法表示

10、时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.跟踪演练 2 设全集为 R，A= x|3xv7，B= x|2vxv 10，求？r(AU B)及(?rA) G B.解 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，AU B= x|2vxv 10， ?R(AU B)= x|x 10.I *l IT ?rA= x|xv3，或 x 7，A)n B= x|2vxv3,或 7 xv 10.要点六补集的综合应用例6 已知全集U = R，集合A=x|x 1.(1)若 B = ?，则 a+ 33,满足 B?rA.若 Bm?，则由 B?rA,

11、得 2a 1 且 2ava+ 3，即一w av 3.综上可得a .规律方法1与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况；2.不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集.跟踪演练3已知集合A=x|xv a，B = xv 1,或x0，若An (?rB) = ?，求实数a的取值范 围.解/ B = x|xv 1,或 x0, ?rB = x| K x 0,因而要使An(?rB)= ?，结合数轴分析(如图),可得a w 1.四、课堂练习1. 若集合 A= 0,1,2,3 , B= 1,2,4，则集合 AU B 等于()A. 0,1

12、,2,3,4B . 1,2,3,4C. 1,2D . 0精心整理答案 A解析 集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2,因此，AU B共含有5个 元素故选A.2. 设A=x N|Kx 10 , B= x R|x2 + x 6= 0，则如图中阴影部分表示的集合为（）A. 2B . 3C . 3,2D . 2,3答案 A解析 注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，而直接解集合B中的 方程可知B= 3,2，因此阴影部分显然表示的是 AH B= 2.3. 集合 P = x Z|0xv 3，M = x R|x2 9，则 PH M 等于（）A

13、. 1,2B . 0,1,2C. x|0xv 3D . x|0 x3答案 B解析 由已知得 P= 0,1,2，M = x| 3x2，或 xv 0，B = x|vxv，则（）A . AH B= ?B . AU B= RC . B?AD . A?B答案 B解析/ A= x|x2，或 xv0，B = x| v xv， AH B= x|v xv 0,或 2v xv ，AU B= R .故选 B.5. 设集合M = x| 3xv 7，N = x|2x+ k0，若M H Nm?，则实数k的取值范围为.答案 k 6解析 因为 N = x|2x+ k 0 = x|x 3?kw6.6. 若全集 M = 1,2,

14、3,4,5，N = 2,4，则?mN 等于（）A . ?B . 1,3,5C. 2,4D . 1,2,3,4,5答案 B解析 ？mN= 1,3,5，所以选B.7. 已知全集 U = 1,2,3,4,5，集合 A= 1,2，B = 2,3,4，则 BH ?uA等于（）A. 2B . 3,4C. 1,4,5D . 2,3,4,5答案 B精心整理解析 U = 1,2,3,4,5 , A= 1,2, ?uA= 3,4,5, BA ?uA= 2,3,4 A 3,4,5 =3,4.8已知 M = 0,1,2,3,4 , N= 1,3,5 , P= M A N,则 P 的子集共有（）A 2个B 4个C. 6

15、个D 8个答案 B解析 t P = 1,3，子集有22= 4个.9已知全集U = Z,集合A= 0,1，B= - 1,0,1,2，则图中阴影部分所表示的集合为（）A . - 1,2B . - 1,0C. 0,1D . 1,2答案 A解析 图中阴影部分表示的集合为（?uA）A B,因为A= 0,1 , B = - 1,0,1,2，所以（？uA）A B = 1,2 10. 若全集 U = R，集合 A= x|x 1 U xX 1 U x|x0，B = x|- 1 x- 1B x2IC x|0v x 2D x|1 x- 1 2已知集合 M = x|（x- 1）2v4, x R，N = 1,0,1,2

16、,3，J则 M A N 等于（）A 0,1,2B - 1,0,1,2C - 1,0,2,3D 0,1,2,3答案 A解析 集合 M = x|- 1vxv3, x R , N = 1,0,1,2,3，贝U M A N= 0,1,2，故选 A.3设集合 M = x|x2+ 2x= 0, x R , N = x|x2-2x= 0, x R，贝U M U N 等于（）A 0B 0,2精心整理C. 2.0D . 2,0,2答案 D解析 集合 M = 0， 2 , N = 0,2，故 M U N = 2,0,2，选 D.4. 设集合 M = x| 3vxv2 , N = x|1 x3，贝U M n N 等

17、于（）A . x|1 xv 2B . x|1 x2C. x|2vx 3D . x|2 x3答案 A解析 t M = x| 3vxv 2且 N = x|1x 3, M n N = x|1 xv 2.5. 设 A= x| 3x3 , B = y|y= x2 +1.若 An B = ?，则实数 t 的取值范围是（）A . t v 3B . t 3D . t3答案A解析 B = y|yWt，结合数轴可知tv 3.6. 若集合 A= x|xa，满足 An B= 2，则实数 a =.答案2解析 V An B= x|ax2 = 2，二 a = 2.7. 已知集合 A= x| 1x 2.求An B;若集合C

18、= x|2x+ a0，满足BU C= C,求实数a的取值范围.解（1）v B= x2，二 An B = x|2 ，BU C = C?B?C，- 4.8. 集合 A=0,2，a，B= 1，a2，若 AU B = 0,1,2,4,16，贝U a 的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 4答案 D解析 v AU B= 0,1,2，a，a2，又 AU B = 0,1,2,4,16，a， a2 = 4,16， a = 4.9 已知集合 A= x| 2 x 7，B = x|m+ 1vxv 2m 1，且 B?，若 AU B= A，则（）A . 3 mW4B. 3vmv4精心整理C. 2vmv4D. 2vm4

19、答案 D解析t AU B = A,. B?A.又 Bm?,即 2v m4.10. 设集合 A= x| 1x 2 , B = x| 1 vx4 , C = x| 3vxv 2且集合 AH (BU C) = x|a xw b，贝U a=, b=.答案 12解析 t BU C= x| 3vx4，二 A (BU C). AH (BU C) = A,由题意x|ax b = x| 1 x 2.I *l I a= 1, b= 2.11. 已知 A= x| 2 xa.(1) 若AH Bm A,求实数a的取值范围；(2) 若AH Bm?，且 AH BmA,求实数a的取值范围.解(1)如图可得，在数轴上实数a在2

20、的右边，可得a 2；由于AH Bm?，且AH BmA,所以在数轴上，实数 a在2的右边且在4的左边，可得2av 4.12. 已知集合 A= x| 2x5, B= x|2axa+ 3,即 a3;若Bm?时，解得1 w a w 2,综上所述，a的取值范围是a| 1 waw2,或a3.13. 已知集合A= x|2a+ 1wxw 3a 5, B= x|xv 1,或x 16，分别根据下列条件求实数 a的 取值范围.(1)AH B = ?; (2)A?(AH B).解 (1)若A= ?，则AH B = ?成立.此时 2a+ 1 3a 5,即 av 6.若Am?，如图所示，则解得6w aw 7.综上，满足条

21、件AH B = ?的实数a的取值范围是a|aw 7.精心整理因为 A?(AG B)，且(AH B)?A,所以 AH B = A,即 A?B.显然A= ?满足条件，此时av 6.若Am?，如图所示，则或由解得a ?;由解得a.综上，满足条件A?(AH B)的实数a的取值范围是a|av6,或a.13已知全集 U = 1,2,3,4，集合 A= 1,2，B = 2,3，则?u(AU B)等于()A. 1,3,4B . 3,4C . 3D . 4答案 D解析 t A= 1,2，B= 2,3，二 AU B= 1,2,3， ?u(AU B)= 4.14. 已知 A= x|x+ 10，B = 2，- 1,0

22、,1，则(?rA) H B 等于()A . 2， 1B . 2C. 1,0,1D . 0,1答案A解析因为集合A= x|x 1，所以?RA= x|x 1，则(?RA) H B= x|x0，B = x|x 1，则 AH (?uB)等于()A . x|0 xv 1B . x|0v x 1答案 B解析？uB = x 1，二 AH (?uB) = x|0v x2，N = x|1Wx 3.如图所示，则阴影部分所 表示的集合为()A . x 2xv 1B . x 2x3C. x3D . x| 2x2答案 A精心整理解析 阴影部分所表示的集合为？u(M U N) = (?uM)n (?uN) = x|-2x

23、 2 A xX3 = x| 2x 1.故选 A.5 .已知集合 A= x|0 x 5 , B = x|2 x 5，则？aB =.答案x|0x2,或 x= 5解析如图：由数轴可知：？aB = x|0 x0 , B= y|y 1，则?uA与?uB的包含关系是.答案 ?uA ?uB解析I ?uA= x|x 0 , ?uB = y|y 1 = x|x 1. ?uA ?uB.I *l I18. 已知全集 u = R, A= x 4 x 2 , B = x| 1x 3 , P=,(1) 求 AA B;求(?uB) U P;求(AA B) A (?uP).解(1)AA B = x 1x2.(2) t ?uB = x|x 3,(?uB)U P=. t ?uP=, (A A B)A (?uP) = x 1 x 2 A= x|0 x 2.19. 已知集合 A= x|x a , B= x|1x2，且AU (?rB)= R，则实数a的取值范围是()A. a 1B. a2D. a2答案 C解析 如图所示，若能保证并集为 R，则只需实数a在数2的右边(含端点2),所以a2.20. 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所