结构力学教学课件-11结构的稳定计算

1、Nov. 2013 东南大学土木工程学院东南大学土木工程学院 第第11 11章章 结构的稳定计算结构的稳定计算 0202 主讲教师: 郭彤 孙泽阳 上节课内容回顾 稳定问题的基本概念 三种不同性质的平衡； 三类不同形式的失稳； 两种不同精度的稳定理论 用静力法求临界荷载； 上节课内容回顾 稳定问题的基本概念 三种不同性质的平衡； 三类不同形式的失稳； 两种不同精度的稳定理论 用静力法求临界荷载； 三种不同性质的平衡 稳定平衡干扰撤销，能自动恢复原有的平衡状态； 随遇平衡（中性平衡）干扰撤销，不能自动恢复原有的 平衡状态，但可以在新的状态下保持平衡。 不稳定平衡干扰撤销，不能自动恢复原有的平衡状

2、态， 也不能在新的状态下保持平衡。 上节课内容回顾 (a)稳定平衡 (b)随遇平衡 (c)不稳定平衡 (a)(b) 2/ l 2/ l l P F P F 几何不变体系或结 构的三种平衡状态 几何可变体系或结 构的三种平衡状态 上节课内容回顾 稳定问题的基本概念 三种不同性质的平衡； 三类不同形式的失稳； 两种不同精度的稳定理论 用静力法求临界荷载； 三类不同形式的失稳 分支点失稳 极值点失稳 跳跃失稳 第11章 结构的稳定计 算 11.2 三类不同形式的失稳 分支点失稳 P F Pcr F 0 , 0, OA PPcr FF 失稳前 压杆保持直线状态 平衡是稳定的 段 . , , 弯曲变形杆

3、发生不能自动恢复的 微小干扰即可导致压是不稳定的 但平衡态理论上仍可保持直线状 失稳后 PcrP FF 结构在荷载达到临界值前后发生性质上的突变 如轴心受压 压弯组合变形 第11章 结构的稳定计 算 极值点失稳 Pe F Pcr F 结构的变形在荷载达到 临界值后并不发生性质 上的突变，只是原有变 形的增长 又称为第二类失稳 偏心受压 FP FP 有初曲率 非完善体系 第11章 结构的稳定计 算 跳跃失稳 （特殊形式的分支点失稳） f P F 2/ l2/ l Pcr F Pcr F Pcr F Pcr F 结构变形发生性质上 的突变，临界处结构 的位移变化是不连续 上节课内容回顾 稳定问题的

4、基本概念 三种不同性质的平衡； 三类不同形式的失稳； 两种不同精度的稳定理论 用静力法求临界荷载； 小挠度理论 大挠度理论 上节课内容回顾 稳定问题的基本概念 三种不同性质的平衡； 三类不同形式的失稳； 两种不同精度的稳定理论. 用静力法求临界荷载； 第11章 结构的稳定计 算 11.2 用静力法求临界荷载 静力法求分支点失稳的稳定问题 u 设定约束所允许的可能失稳状态 u 建立平衡方程 u 用分支点稳定的平衡两重性（可在两状态平衡） 建立特征方程 u 求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。 第11章 结构的稳定计 算 例11-2 图中为一压杆，抗弯刚度为EI，下端固定，上 端弹性支座的刚度系

5、数为k。使用静力法求临界荷载。 () CPcr MEIyFyklx 2 /,/ Pcr FEIk EI令 22 yylx Pcr F B k C A B端微小位移时， 截面C 的弯矩（上半段静力平衡）： 2 12 sincos1()/yCxCxlx 微分方程的一般解： 00 0, xxx l yyy 边界条件（变形协调）： 2 2 2 1 12 (1/)0 /0 sincos0 Cl C ClCl 方程组必有非零解 不恒等于零可知失稳时y 0 0cossin /0 /110 2 2 ll l /tan 3 ll 超越方程 ul 令 )/(tan 33 luuu 00 0, xxx l yyy

6、解“超越方程”的两种方法： 1、逐步逼近法（试算法）： 33 tan/(),uuuulu给 初值后，代入方程使其逐渐逼近于零，从而求得 。 )/(tan 33 luuu 3 3 l u uy tanyu uytan 2/ 2/3 cr u 3 3 l u uy tanyu uytan 2/ 2/3 cr u (a)(b) 2 2 0.7 EI l 2 2 2 EI l 刚性水平支杆 ,k0,0k 悬臂杆 2 22 2 22 , yytan4.493 2.046= 0.7 Pcr kuu uEIEI FEIEI ll l 对于也即时与交点的最小值为 )/(tan 33 luuu 与材料力学 结果

7、一致 2 22 22 00tan,/ 2 =0.25= 2 Pcr kuu EIEI FEI l l 对于也即时，因而 2 /,/ Pcr FEIk EIlu（，） 具有弹性支座压杆的稳定 l EI k 3 FP EI l EI k FP k 1 简化成具有弹簧支座的压杆 FP EI l EI l EI FP EI l EI EA k FP l EI k 6 FP EI k 3 3 l EI k EI k FP l A y y x k Q)()(xMxyEI P ()MF yQ lx 挠曲线近似微分方程为 P ( )()EIy xF yQ lx 0 A M kQl 2 P F n EI 令 )

8、()( 2 xl lEI k ynxy 通解为 )(sincos)(xl Pl k nxBnxAxy 边界条件 0)(,)0(, 0)0(lyyy 0 P k A 0) 1( Pl k Bn 0sincosnlBnlA P P 10/ 0(/1)0 cossin0 kF nkF l nlnl 稳定方程 2 )(1 tan nl lk EI nl nl 解方程可得nl的 最小正根 2 Pcr Fn EI FP M Q 脱离体，受 力分析 求图示结构的稳定荷载 EI k FP l A y y x k Q FP M Q 2 )(1 tan nl lk EI nl nl 解方程可得nl的 最小正根 2

9、 Pcr Fn EI l EI FP 2 P 2 cr EI F l nl 0 k 若 0tannl 0sinnl k若 nlnl tan 2 P 20.19/ cr FEI l FP EI l 例:求图示刚的临界荷载. P F l P F II2 1 II l P F P F P F P F 正对称失稳反对称失稳 正对称失稳时 P F P F k k 1 lEI l EI k/4 2/ 2 2 )(1 tan nl lk EI nl nl 4/)(1 2 nl nl 83. 3nl 22 P 14.67/ cr Fn EIEI l 例:求图示刚的临界荷载. P F l P F II2 1 I

10、I l P F P F P F P F 正对称失稳反对称失稳 反对称失稳时 P F k 212 3 /2 EIEI k ll 12tan EI lk nlnl 45. 1nl P F 0 k 1 22 P 2.10/ cr Fn EIEI l 22 P 14.67/ cr Fn EIEI l 正对称失稳临界荷载 所以原结构的 临界荷载为: 2 P 2.10/ cr FEI l 解题思路解题思路: :临界状态的能量特征是临界状态的能量特征是体系的势能为驻值体系的势能为驻值 三种平衡状态三种平衡状态 （1）稳定平衡：）稳定平衡：偏离平衡位置，总势能增加。偏离平衡位置，总势能增加。 （2）不稳定平衡

11、：）不稳定平衡：偏离平衡位置，总势能减少。偏离平衡位置，总势能减少。 （3）随遇平衡：）随遇平衡： 偏离平衡位置，总势能不变。偏离平衡位置，总势能不变。 图1 图2 图3 P F UU（体系的总势能）（应变势能）（外力势能） ( PP FF UW 外力的功） P F UW N个自由度体系的变形曲线应为个自由度体系的变形曲线应为N个参数个参数(yi)的函数，因此体的函数，因此体 系总势能也应为系总势能也应为N个参数的函数个参数的函数: 0 (1,2,3, ) i in y 其展开式是其展开式是yi的线性方程组的线性方程组(方程系数中方程系数中含含 FP)，由系数矩阵行列式不为零，可列出，由系数矩

12、阵行列式不为零，可列出 特征方程，求特征方程，求出出FP的的n个根，临界荷载则个根，临界荷载则 为最小的根。为最小的根。 11.3 用能量法求临界荷载 确定临界荷载的方法能量法（只讨论分支点 问题）,分析步骤: u 设定约束所允许的可能失稳状态 u 通过求应变能、外力势能确定总势能 u 用分支点稳定的能量准则（总势能取驻值）建 立特征方程 u 求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。 用“能量”的形式表达“平衡”条件 复杂结构特别是无限自由度体系临界荷 载的近似求法 11.3 用能量法求临界荷载 第11章 结构的稳定计 算 11.3.1 用能量法求有限自由度体系的临界荷载 来表示刚性杆件弹簧有限

13、自由度结构可以用 、弹簧变形刚性杆件的移动、转动 现在：结构几何形态的变化体 ABl P F P F )(a A B A B P F P F l l 1 y 2 y )(b 2 2 21 2 21 11 (1 cos ) 22 , 2 yy lllll l yy l 因而荷载所作的功为: 2 21 2 P yy WF l 刚体位移荷载作功荷载作功应变能的变化应变能的变化 例例: 求求 图示结构图示结构 的临界荷的临界荷 载载. 解解: 应变能应变能 2 2 2 1 2 1 2 1 kykyU 22 221 () 22 PiiP yyy WFF ll 外力势能外力势能 结构势能结构势能UW 22

14、 22 221 12 ()11 2222 P yyy kykyF ll k l FP EI l k 22 1122 1 ()2(2) 2 PPP klFyF y yklFy l 1 y FP 2 y 可能的位移状态可能的位移状态 0 1 y 0 2 y 12 1 1 ()0 PP klFyF y yl 12 2 1 (2)0 PP F yklFy yl 0 2 PP PP klFF FklF 22 2 30 PP FklFk l cr 2.618 35 0.3822 P kl Fkl kl 0.382 Pcr Fkl 第11章 结构的稳定计 算 11.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载

15、 无限自由度体系：求泛函极值（变分计算） 多个连续函数的组合近似表达（有限自由度体系） 1 ( ) n ii i y xcx 位移函数： 形状函数x i 为一组相互独立的参数 i c 个参数不全为零失稳时要求这n 变形协调：函数需满足位移边界条件 P F )(a 2 0 1( ) 2 ( ) lM x Udx EI MEIyx 1 1）应变势能（弯曲）应变势能（弯曲） 2 00 1 2 ll dydx 2 0 2 l P P F WFydx 2 0 1 2 l UEI ydx 22 2 2 2 dd d+dd d1d 1 d1+1 2 1 2 dsx xyx xyx xy ydx 2 2）荷载

16、势能）荷载势能 - -W W 1 ( ) n ii i y xcx 位移函数： 2 0 2 0 1 1 2 1 2 l n l ii i UEI ydx EIcxdx 2 0 2 0 1 2 2 l P n l P ii i F Wydx F cxdx 22 00 11 1 UWEI 22 nn ll P iiii ii F cxdxcxdx 瑞利瑞利-里里兹兹法法 ni ci , 2 , 10 稳定 方程 临界临界 荷载荷载 EIEI F FP P 2 P 2 cr EI F l l x axy sin)( 例例: :求图示体系的临界荷载求图示体系的临界荷载. . x y x )(xy 解解

17、: :1.1.设设 2 3 4 0 2 4 )( 2 1 a l EI dxxyEIU l 2 22 P P 0 () 24 l F WydxF a l 42 2 P 3 () 44 EI UWF a ll 42 P 3 ()0 22 dEI F a dall 42 P 3 0 22 EI F ll 精确解精确解: : 2 P 2 cr EI F l 假设的形函数和实际 曲线一致（这种情况 极少） P F EI y x l 临界荷载用能量法求压杆的最小例 件：都应满足的位移边界条 数来计算临界荷载，解：取三种不同的形函 00 ( )0;()0 xx yy 1法 ： 抛物线 2 1x cy 失稳

18、时的位移函数 11 2,2yc x yc dxxc F dxxc l n i ii P l n i ii 0 2 1 0 2 1 2 EI 2 1 WU 2 1 3 0 2 1 0 2 1 ) 3 2 2( 2 2 2EI 2 1 WU clFEIl dxxc F dxc P l P l 3 1 1 2 0,220 3 P EIlF lc c 0 3 2 2 3 lFEIl P 2 /3lEIFPcr 2 1 2 (3)yc xlx 法 ：横向荷载下的变形曲线 2 1 53 2 0 2 1 P 2 0 1 ) 5 12 6( )2(3 2 )(6 2 1 clFEIl dxxlxc F dxx

19、lcEI P ll 总势能为 35 1 1 12 0, (6) 20 5 P EIlF lc c 由势能驻值条件，有 0 5 12 6 53 lFEIl P 2 /5 . 2lEIFPcr x 1 3 (1 cos) 2 x yc l 法 ：三角函数曲线 设位移函数为： 2 1 2 3 4 2 0 1 2 0 2 2 1 1664 2 sin 222 cos 42 1 cF ll EI dx l x l cF dx l x l c EI P l P l 1 0 c 由势能驻值条件 42 1 3 20 6416 P EIFc ll 2 2 2 /467. 2 4 lEI l EI FPcr 1.

20、形函数不同（相当于约束条件不 同），失稳临界荷载不同。 2.横向荷载作用下的变形曲线获得的 失稳荷载和真实值很接近（误差 1.3%）。 3.边界条件： 4.抛物线仅满足了位移边界，不满足 力边界条件（误差21.6%） 位移边界条件 力边界条件 0 lx y 11.4 组合压杆的稳定 11.4.1 剪力对临界荷载的影响 EIEI GAGA FP x y x )( 1 xy )( 2 xy )( 1 xy 设弯矩和剪力影响所产生的挠度分别为设弯矩和剪力影响所产生的挠度分别为 和和 )( 2 xy 2 2 2 2 1 2 2 2 )()( dx yd xd xyd dx xyd EI M y 1 二

21、者共同影响产生的挠度为二者共同影响产生的挠度为 )()()( 21 xyxyxy 近似的曲率为近似的曲率为 弯矩引起的弯矩引起的曲率曲率为为 2( ) Q F dyxdM dxGAGA dx dx 2 dy Q F Q F 2 2 2 2 2 )( dx Md GAdx xyd 挠曲微分方程为挠曲微分方程为 2 2 2 2 )( dx Md GAEI M dx xyd 第11章 结构的稳定计 算 剪力引起的沿杆件轴线的剪力引起的沿杆件轴线的附加转角附加转角 EIEI GAGA FP x y x )( 1 xy )( 2 xy dx 2 dy Q F Q F 2 2 2 2 2 )( dx Md

22、 GAdx xyd 挠曲微分方程为挠曲微分方程为 2 2 2 2 )( dx Md GAEI M dx xyd 对于图示两端铰支的等截面杆对于图示两端铰支的等截面杆,有有 ();0; P MF yR lxR 22 22 ( ) PP F yFd y xd y dxEIGA dx 令令 2 (1) P P F m F EI GA 0)()( 2 xymxy 方程的通解方程的通解 mxBmxAxysincos)( 边界条件边界条件 0)( 0)0( ly y P MF y (1)0 PP FF yy GAEI EIEI GAGA FP x y x )( 1 xy )( 2 xy dx 2 dy Q

23、 F Q F 方程的通解方程的通解 mxBmxAxysincos)( 边界条件边界条件 0)( 0)0( ly y 0sinmlB 0sinml 稳定方程稳定方程 ml为最小正根 2 2 e2 2 1 PcrP EI l FF EI GA l 2 2 1 1EI G A l 2 2 P e FEI l 不计剪变的欧不计剪变的欧 拉临界力拉临界力 2 2 1 1 1 1 P e EI GA l F GA 修正系数修正系数 k G 1 1 欧拉临界应欧拉临界应力力 (失稳荷载) 对于三号钢对于三号钢,比例极限为比例极限为200MPa. 若取若取200MPa,G80GPa,1.2 k 1 003.

24、1 1 结论结论: 实实体体杆件中杆件中,剪力对临界剪力对临界荷载荷载的影响很小的影响很小,可略去不计可略去不计. EIEI GAGA FP x y x )( 1 xy )( 2 xy dx 2 dy Q F Q F 11.4 组合压杆的稳定 第11章 结构的稳定计 算 格构式组合压杆 荷载较小时，组合压杆的两肢承受 相同压力而缀条不受力； 2 2 e2 2 1 PcrP EI l FF EI GA l 11 1 Q F 1 Q F P F l 当荷载达到临界值时，组合压杆作为 整体发生弯曲，两肢压力有所变化以 抵抗弯矩，缀条产生拉力或压力以抵 抗剪力 11.4.2 缀条式组合压杆 P F l )(a dl缀条式压杆通常 cos/1 1 2 1 21 N N F F AA的缀条中的内力分别为和截面为 广义位移用单位荷载法得相应的 2 11 2 12 2 12 11 cos sin 11 tancos sin ii i N lbd EAEAEA d EAEA 11 1 Q F 1 Q F 由于肢杆（主要杆件）面积远大于 辍条，因此，略去了肢杆对剪切角 的影响 11 2 12 11 tancos sindEAEA k GA 1 1 Pe k F GA Pe Pe P