非参数假设检验(1)

1、二、似然比检验二、似然比检验 1 0110r0 100 ( ; ), ( ,),: :=,=, ,. k r r f x H 假设总体的密度函数或概率分布为其中 是k维参数检验其中的r个参数 其中为给定常数 0 sup ( ) ( ) sup ( ) ( ) :(1)0(r) If xdx 定理3.2.1当似然函数L( )为三阶可导函数 且 连续可导 则 的极限分布为 拒绝域为 样本容量样本容量n的确定的确定 原假设和备择假设都是简单假设原假设和备择假设都是简单假设(即参数只取参即参数只取参 数空间的一个点数空间的一个点)时时,寻找最小的样本容量寻找最小的样本容量,使得两类使得两类 错误的概率

2、控制在预制范围内错误的概率控制在预制范围内. 1.总体方差已知时总体方差已知时,正态总体均值的右边检验正态总体均值的右边检验 22 00110 ( ,), :,:. X N HH 设 已知 检验假设为 0 011 101 1 10 1 1 2 2 2 10 | / | / / n=() () X PHHPuH n X PuH nn uu n uu uu 接受为真 为真 为真 因此 又 有 2.总体方差未知时总体方差未知时,正态总体均值的右边检验正态总体均值的右边检验 22 00110 N( ,), :,:. X HH 设未知 检验假设 0 011 101 1 10 1 2 2 2 10 10

3、|(1) | / | / (1)(1)(1) / n=(1)(1) () (1)(1) / X PHHPtnH Sn X PtH SnSn tntntn Sn S tntn tntn Sn 接受为真 为真 为真 因此 有没有? n满足 3.总体期望未知时总体期望未知时,正态总体方差的右边检验正态总体方差的右边检验 2 22222 00110 2 2 011 2 0 22 2 1 1 22 10 22 2 0 1 22 11 2 22 0 1 2 1 N( ,), :,:. (1) |(1)| (1) (1)| (1) (1)| (1)(1) X HH ns PHHPnH ns PnH ns P

4、nH nn 设未知 检验假设 接受为真 为真 为真 为真 因此 设总体 X 服从参数为 p 的(01)分布, 即 1, 0,)1 ( 1 xppxXP xx 设 n XXX, 21 为 X 的样本, 检验假设 0100 :,:ppHppH 1 1(0(01)1)分布参数的假设检验分布参数的假设检验 由于 n i i pXE n XE 1 )( 1 )( n i i pp n XD n XD 1 2 )1 ( 1 )( 1 )( 因此由中心极限定理可知, 当 0 H成立且样本容量 n充分大时，统计量 npp pX U / )1 ( 00 0 服从标准正态分布N(0,1). =该假设检验问题的拒绝

5、域为 2/ 00 0 / )1 ( u npp px u 近似地 例例1 1 某种产品在通常情况下次品率为5%. 现在从 生产出的一批产品中随机地抽取50件进行检验, 发 现有4件次品. 问能否认为这批产品的次品率为5%? (=0.05) 解解 设这批产品的次品率为 p. 在这批产品中任 任意取一件产品，定义随机变量 X 如下 .0 , 1 该产品为合格品， 该产品为次品 X ), 1 (pbX 检验假设 ,05. 0: 0 pH05. 0: 1 pH 该假设检验问题的拒绝域为 2/ / )05. 01 (05. 0 05. 0 u n x u 现在 ,50n,08. 0 50 4 x 96.

6、 1 025. 02/ uu 统计量U的值为 0.080.05 0.973 0.05 1 0.05 /50 u 96. 10306. 0| u =接受假设 0 H =可以认为这批产品的次品率为5% 2.2.总体均值的假设检验总体均值的假设检验 假设总体X 的均值为, 方差为 2 n XXX, 21 为 X 的样本,检验假设 0100 :,:HH 由中心极限定理知，当样本容量n充分大时， n X U / 0 近似地服从标准正态分布N(0,1) 由于样本方差 n i i XX n S 1 2 2 1 1 为 2 的无偏估计量， =可以用 2 S近似代替 2 ，并且当 0 H为真 且样本容量n充分大

7、时，统计量 nS X U / 0 仍近似地服从标准正态分布N(0,1) =该假设检验问题的拒绝域为 2/ 0 / u ns x u 例例2 2 某电器元件的平均电阻一直保持在2.64. 改 变加工工艺后, 测得100个元件的电阻, 计算得平 均电阻为 2.58 , 样本标准差为0.04 . 在显著性 水平 =0.05下, 判断新工艺对此元件的平均电阻 有无显著影响. 解解 设该电器元件的电阻为X, 其均值为 检验假设 ,64. 2: 0 H64. 2: 1 H 拒绝域为 2/ / 64. 2 u ns x u 现在 ,100n,58. 2x,04. 0s05. 0 ,96. 1 025. 02

8、/ uu统计量U的值为 15 100/04. 0 64. 258. 2 u 96. 115| u =拒绝假设 ,64. 2: 0 H 接受假设 64. 2: 1 H =新工艺对电子元件的平均电阻有显著影响. 3.3.两个总体均值的假设检验两个总体均值的假设检验 设总体 X和 Y相互独立， 的样本, 1 , 21n XXX 是 X 2 , 21n YYY 是 Y 的样本. 记 , 1 1 1 1 n i i X n X 1 1 2 1 2 1 )( 1 1 n i i XX n S , 1 2 1 2 n i i Y n Y 2 1 2 2 2 2 )( 1 1 n i i YY n S 设总体

9、 X的均值为 1 ，方差为 2 1 总体 Y的均值为 2 ，方差为 2 2 ,: 210 H 211 :H 的拒绝域. 由中心极限定理知，当样本容量 1 n和 2 n 都充分大时， 2 2 21 2 1 21 nn YX U 近似地服从标准正态分布 由于样本方差 2 1 S 和 2 2 S分别为 2 1 和 2 2 的无偏估计量，因此 可以 分别用 2 1 S 和 2 2 S近似代替 2 1 和 2 2 ，并且当 求假设检验问题 1 n 和 2 n 2 2 21 2 1 21 nn YX U 近似地服从标准正态分布 ，从而当原假设 0 H 成立时， 统计量 2 2 21 2 1 nSnS YX

10、 U 仍近似地服从标准正态分布. 都充分大时， =当 0 H成立且 21,n n 都充分大时， 统计量U的值应该在零附近摆动， 当 u过大时就认为 0 H不成立. =该假设检验问题的拒绝域为 2/ 2 2 21 2 1 u nsns yx u 例例3 两台机床加工同一中轴承，现在从他们加工 的轴承中分别随机地抽取200根和100根，测量其椭 圆度（单位：mm），经计算得 ,062. 0,081. 0yx062. 0,025. 0 21 ss 能否认为这两台机床加工的轴承的平均椭圆度是相 同的(=0.05) 解解设这两台机床加工的轴承的椭圆度分别为X,Y 且 , 1 XE YE 2 检验假设 ,

11、: 210 H 211 :H 由于题目给出的两个样本都是大样本，因此该假设 检验问题的拒绝域为 现在 ,100,200 21 nn 96. 1 025. 02/ uu 2/ 2 2 21 2 1 u nsns yx u 2 2 21 2 1 nsns yx u =拒绝原假设 , 0 H即认为这两台机床加工的 轴承的平均椭圆度是不相同的. 96. 15849. 3 设总体X的实际分布函数为F(x),它是未知的. n XXX, 21 为来自总体 X的样本. 根据这个样本来检验总体X的分布函数F(x) 是否等于某个给定的分布函数 F0(x),即检验假设 ),()(: 00 xFxFH)()(: 01

12、 xFxFH : 注意注意: : 若总体 X 为离散型的, 则 0 H相当于 总体 X 的分布律为 , 2 , 1,ipxXP ii 若总体 X 为连续型的, 则 0 H相当于总体 X 的 概率密度为 f (x) . 0 H中 X 的分布函数 )(xF 不含未知参数. 记 为 X的所有可能取值的全体， 将 分为k个 两两互不相交的子集 k AAA, 21 以 ), 2 , 1(kif i 表示样本观察值 n xxx, 21 中落入 i A的个数, = 在n次试验中,事件 Ai发生的频率为 fi /n 另一方面,当H0 0为真时, 可以根据H0所假设的 X 的分 布函数来计算 ).( ii AP

13、p 选取统计量 k i i i i p n f h 1 2 来度量样本与H0中所假设的分布的吻合程度，hi是 给定的常数。 k i i i k i i ii n np f np npf 1 2 1 2 2 )( 一般选取 ,/ ii pnh 则上述统计量变成 定理定理1 1 （皮尔逊）（皮尔逊）当H0为真且n充分大时, 统计量 k i i i k i i ii n np f np npf 1 2 1 2 2 )( 近似服从 ) 1( 2 k分布. 由定理1, 若给定显著性水平,则前述假设检验问 题的拒绝域为 ) 1( 22 k （2）若H0中X 的的分布函数含有未知参数. 此时, 首先在假设下

14、利用样本求出未知参数的最大 似然估计, 以估计值作为参数值, 然后再根据 H0中 所假设的 X 的分布函数 F(x)求出 pi的估计值 )( ii APp k i i i k i i ii n np f np npf 1 2 1 2 2 )( 并在 中以 i p 代替 i p , 得到统计量 n pn f pn pnf k i k i i i i ii 11 22 2 )( 0 H为真且 n充分大时, 统计量定理定理2 2 （皮尔逊）（皮尔逊）当 n pn f pn pnf k i k i i i i ii 11 22 2 )( 近似服从 ) 1( 2 rk分布, 其中r是 X的分布函数 F(

15、x)包含的未知参数的个数. 若给定显著性水平,则前述假设检验问题的拒绝域为 ) 1( 22 rk 注意：注意：运用 2 检验法检验总体分布, 把样本数据进 （1）大样本, 通常取50n （2）要求各组的理论频数 5 i np或 5 i pn （3）一般数据分成7到14组. 有时为了保证各组 行分类时, 5 i np 组数可以少于7组 例例1 1 孟德尔在著名的豌豆杂交实验中, 用结黄色 圆形种子与结绿色皱形种子的纯种豌豆作为亲本进 行杂交, 将子一代进行自交得到子二代共556株豌 豆, 发现其中有四种类型植株 （黄圆）（黄皱） （绿圆）（绿皱） RYrrY yyRyyrr 总计 315株 10

16、1株 108株 32株 556株 试问这些植株是否符合孟德尔所提出的 1:3:3:9 的理论比例 )05. 0( 解解 检验假设 : 0 H 这些植株符合 1:3:3:9 的理论比例. : 1 H 这些植株不符合 1:3:3:9 的理论比例. 由 1:3:3:9 的理论比例可知 16 1 , 16 3 , 16 3 , 16 9 4321 pppp 由n=556,得 25.104,75.312 21 npnp 75.34,25.104 43 npnp 而 ,32,108,101,315 4321 ffff, 4k 计算得 .47. 0 )( 1 2 2 k i i ii np npf 由 =0

17、.05 ,自由度, 3141k查 2 分布表得 815. 7)3( 2 05. 0 )3( 2 05. 0 2 =在=0.05下接受 0 H =这些植株是符合孟德尔所提出的 1:3:3:9 的理论比例 例例2 2 某农科站为了考察某种大麦穗长的分布情况, 在一块实验地里随机抽取了100个麦穗测量其长度, 得到数据如下（单位: cm) 6.5 6.4 6.7 5.8 5.9 5.9 5.2 4.0 5.4 4.6 5.8 5.5 6.0 6.5 5.1 6.5 5.3 5.9 5.5 5.8 6.2 5.4 5.0 5.0 6.8 6.0 5.0 5.7 6.0 5.5 6.8 6.0 6.3

18、5.5 5.0 6.3 5.2 6.0 7.0 6.4 6.4 5.8 5.9 5.7 6.8 6.6 6.0 6.4 5.7 7.4 6.0 5.4 6.5 6.0 6.8 5.8 6.3 6.0 6.3 5.6 5.3 6.4 5.7 6.7 6.2 5.6 6.0 6.7 6.7 6.0 5.5 6.2 6.1 5.3 6.2 6.8 6.6 4.7 5.7 5.7 5.8 5.3 7.0 6.0 6.0 5.9 5.4 6.0 5.2 6.0 5.3 5.7 6.8 6.1 4.5 5.6 6.3 6.0 5.8 6.3 试检验大麦穗长是否服从正态分布?(=0.05) 解解 检验假设

19、: 0 HX的概率密度为 2 2 2 )( 2 1 )( x exf 2 ,是未知的, 所以应首先估计 2 , 2 , 的最大似然估计为 ,921. 5 x 222 6034. 0 1 s n n 把X可能取值的全体 55. 7,95. 3 划分为 k =12个互不重叠的小区间: ,25. 4,95. 3 1 A,55. 4,25. 4( 2 A 55. 7,25. 7( 12 A =大麦穗长的频数、频率分布表 3.954.25 4.254.55 4.554.85 4.855.15 5.155.45 5.455.75 5.756.05 6.056.35 6.356.65 6.656.95 6.

20、957.25 7.257.55 合计合计 i A i f 频率 频数 nf i / 累计频率 5 2 1 1 05.0 02.0 01.0 01.0 0.09 11 15 28 13 11 0.11 0.15 0.28 0.13 0.11 0.20 0.35 0.63 0.76 0.87 1 2 10 01. 0 02. 0 10. 0 1.00 1001.00 ,921. 5 x 222 6034. 0 1 s n n 由 )6034. 0,921. 5( 2 NX 由此可计算 ),( ii APp ,( 1iii ttA 若则 1ii i tt p 6034. 0 921. 5 6034.

21、 0 921. 5 1ii tt 2 , i p的值见下表 的计算表 2 组号组号分组分组 频数频数 13.955.1590.099769.9760.09549 25.155.45110.117411.740.04664 35.455.75150.17217.20.2814 45.756.05280.193519.353.8668 56.056.35130.177917.791.28972 66.356.65110.125812.580.19844 76.657.55130.1096310.9630.37849 合计合计1001000.9959999.5996.15698 i f i p i p n iii pnpnf/)( 2 由 k=7,r=2,得自由度 k-r-1=4,查表得 488. 9)4( 2 05. 0 而 488. 915698. 6 2 =接受原假设, 即在检验水平=0.05下，下可认为大 麦的穗长服从正态分布 )6034. 0,921.