正弦定理的几种证明方法

1、正弦定理的几种证明方法1利用三角形的高证明正弦定理CD由此，得矗二爲同理可得，(1)当厶ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD根据锐角三角函数的定义, 有CD=asin B , CD =bsinA。故有Si-siF -siFc.从而这个结论在锐角三角形中成立.(2)当厶ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D,根据锐角三角函数的定义， 有CD二asin . CBDasin . ABC, CD -bsinA。由此, 推论：上asin Absin ZABC，同理可得c _ b sin C sin ./ABC故有a _ b _ csin A sin NABC sin C

2、.由(2)可知，在：ABC中,ab_sin A _ sin Bcsin C成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即a b csin A sin B sin C1用知识的最近生长点来证明：实际应用问题中，我们常遇到问题：已知点A,点B之间的距丨AB|，可测量角A与角B, 需要定位点C,即:在如图 ABC中，已知角A，角B, | AB丨二c, 求边AC的长b解：过C作CDAB交AB于D,贝UDC=_B=cSnA=cSnAcosCtanC sinC sinCAD = ccosAcosCcsinAcosC b = AC = AD DC = ccosA - sinCc(sinC

3、 cosA sinAcosC)sinCcsinBsinCsinB sinC同理可证：2sinA sinB sinC2利用三角形面积证明正弦定理CD已知 ABC,设 BC = a, CA = b,AB = c,作 AD 丄 BC,垂足为 D* 贝U Rt ADB 中,sin b 二型* AD二AB MnBpiiiB.AAB11 11 Saabc= a *ADacsin B| 同理，可证 Sabc= absinCbcsin A|2 2 2 2 111 Saabc= absinCbcsin AacsinB| ilbsillC=bcsilL=acsillB.2 2 2在等式两端同除以ABC,可得竺C二

4、空二竺旦|即一ac a bsin A sin B sin C3向量法证明正弦定理 （） ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于AC ,则j与AB的夹角为90-A,j与CB的夹角为90-C由向量的加法原则可得AC C AB*为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量Bj的数量积运算，得到j *（AC CB = j - AB由分配律可得AC j *C j AB h |j| AC Cos90 |j|CB Cos(90 -C)=|j |ab| Cos(90 -A) 85冰：皿1认 一asin A sinC另外，过点C作与CB垂直的单位向量j，则j与AC的夹角为90C,

5、j与AB的夹角为90B,可得一=|sin C sin B（此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j与AC的夹角为 90-C,j 与 AB 的夹角为 90-B)-ab sin A sinB sinC ABC为钝角三角形，不妨设A90,过点A作与AC垂直的单位向量j，则j与AB的夹角为A-90 与CB的夹角为90-C|由 AC CB 二 AB，得 j AC +j CB =j -AB -,* A即 a Cos（90-c）=c cos（a-90）、二 asinC二csinA,a sin A角为90+B.同理,可得a _ b _ csimA sin B sin Csin B sin C4外接圆证明正弦定理另外过点C作与CB垂直的单位向量j，则j与AC的夹角为90+C,j与AB夹连结BO并延长交圆于B；设BB=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所 对的圆周角相等可以得到/ BAB =90 , / C =Z B,二 si nC=si nB=si nC=s in | = 2R|2R sinC同理，