14全称量词和存在量词

1、主讲人：陈月婵主讲人：陈月婵 思考：思考： 下列语句是命题吗？下列语句是命题吗？与与，与与之间有之间有 什么关系？什么关系？ (1)x3； (2)2x+1是整数；是整数； (3)对所有的对所有的xR，x3； (4)对任意一个对任意一个xZ，2x+1是整数是整数。 短语短语“对所有的对所有的”“”“对任意一个对任意一个”在逻辑中在逻辑中 通常叫做全称量词，用符号通常叫做全称量词，用符号“ ”表示表示。含有。含有 全称量词的命题，叫做全称量词的命题，叫做全称全称命题。命题。 全称命题全称命题: :对对M中任意一个中任意一个x，有，有p(x)成立成立 xM, p(x) 读作读作“对任意对任意x属于属

2、于M，有，有p(x)成立成立” 全称量词与全称命题 例例1 1 判断下列全称命题的真假：判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数都是奇数；）所有的素数都是奇数； （2） （3）对每一个无理数）对每一个无理数x，x2也是无理数也是无理数. 2 ,1 1;xx R （4）任何实数都有算术平方根）任何实数都有算术平方根. 小小 结：结： 判断全称命题是真命题的方法判断全称命题是真命题的方法 判断全称命题判断全称命题“ xM, p(x) ”是假命题的方法是假命题的方法 需要对集合需要对集合MM中每个元素中每个元素x x，证明，证明p(xp(x) )成立成立 只需在集合只需在集合MM中找到一个元素中找

3、到一个元素x x0 0，使得，使得p(xp(x0 0) ) 不成立即可（举反例）不成立即可（举反例） 反例否定反例否定 下列语句是命题吗？下列语句是命题吗？(1)与与(3)，(2)与与(4)之间有什么关系？之间有什么关系？ (1)2x+1=3； (2)x能被能被2和和3整除；整除； (3)存在一个存在一个x0R，使，使2x+1=3； (4)至少有一个至少有一个x0Z，x能被能被2和和3整除。整除。 短语短语“存在一个存在一个”“”“至少有一个至少有一个”在逻辑中在逻辑中 通常叫做存在量词。含有存在量词的命题，通常叫做存在量词。含有存在量词的命题， 叫做特称命题。叫做特称命题。 M中存在一个中存

4、在一个x0，使，使p(x0)成立成立 读作读作“存在一个存在一个x x0 0属于属于M M，有，有p(xp(x0 0) )成立成立” 特称命题特称命题: : x0M, p(x0) 存在量词与特称命题 0 2 x 0, 2 xRx 常见的存在量词：常见的存在量词：“有些有些”、“有一有一 个个”、“有的有的”, “, “对某个对某个”等等. . (1) 至少有一个实数至少有一个实数x,平方为平方为8. (2)有一个素数不是奇数有一个素数不是奇数. 例例2 2 判断下列特称命题的真假：判断下列特称命题的真假： （1）有些整数只有两个正因数；）有些整数只有两个正因数； （2）有一个实数）有一个实数x

5、0，使，使x02+2x0+3=0 ； （3）存在两个相交平面垂直于同一条直线）存在两个相交平面垂直于同一条直线. 需要证明集合需要证明集合MM中中, ,使使p p( (x x) )成立的元素成立的元素x x不存在不存在. . 只需在集合只需在集合MM中找到一个元素中找到一个元素x x0 0, ,使得使得p p( (x x0 0) ) 成成 立即可立即可 ( (举例说明举例说明). ). 小小 结：结： 判断特称命题是判断特称命题是假假命题的方法命题的方法 判断特称命题是判断特称命题是真真命题的方法命题的方法特例肯定特例肯定 1.指出下列命题是全称命题还是特称命题并判断它们指出下列命题是全称命题

6、还是特称命题并判断它们 的真假的真假. （1）所有的抛物线与）所有的抛物线与x轴都有两个交点；轴都有两个交点； （2）存在函数既是奇函数又是偶函数；）存在函数既是奇函数又是偶函数； （3）每个矩形的对角线都相等；）每个矩形的对角线都相等； （4）至少有一个锐角）至少有一个锐角a a，可使，可使sina a=0； 全称，假全称，假 特称，真特称，真 全称，真全称，真 特称，假特称，假 巩固练习巩固练习 2.用符号用符号 表示下列含有量词的命题，表示下列含有量词的命题， 并判断真假：并判断真假： （1）实数的平方大于或等于）实数的平方大于或等于0； （2）存在一对实数）存在一对实数x,y,使使2x

7、+3y+30. , 全称命题：全称命题： （1）基本形式：）基本形式： （2）意义：）意义： （3）真假性的判断：）真假性的判断： 特称命题：特称命题： （1）基本形式：）基本形式： （2）意义：）意义： （3）真假性的判断：）真假性的判断： , ( )xM p x 反例否定反例否定 00 , ()xM p x 特例肯定特例肯定 小结：小结： 对对M M中任意一个中任意一个x x，有，有p(xp(x) )成立成立 M M中存在一个中存在一个x0 x0，使，使p(x0)p(x0)成立成立 解：解：（1 1）所有的命题都是能判定真假的所有的命题都是能判定真假的. . （2 2）有的人不喝水）有的人

8、不喝水. . (3)这个命题的否定是：不存在有理数这个命题的否定是：不存在有理数x，使，使x2-2=0; （即：（即： xQ， x2-20.） (4)这个命题的否定是：这个命题的否定是： aR，|a|0； （2）平行四边形的对边相等；）平行四边形的对边相等； （3） xR，x2-x+10； 解：解： （1）原命题的否定是：）原命题的否定是：01, 2 xxRx “ ” （2）原命题的否定是：）原命题的否定是： “存在平行四边形，它的对边不相等存在平行四边形，它的对边不相等” （3）原命题的否定是：）原命题的否定是： “ ” 01, 2 xxRx 写出下列命题的否定，并判断真假：写出下列命题的否

9、定，并判断真假： (1)所有能被所有能被3整除的数都是奇数整除的数都是奇数; (2) (3)有的三角形是等边三角形有的三角形是等边三角形; (4) (5)奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称. xR， x2+11; xR，x0; 解解:(1)有些能被有些能被3整除的数不是奇数整除的数不是奇数; (2) xR,x2+11; (3)所有的三角形都不是等边三角形所有的三角形都不是等边三角形; (4) xR,x0; (5)存在一个奇函数的图象不关于原点对称存在一个奇函数的图象不关于原点对称. 练习：练习： 问题讨论问题讨论 写出下列命题的否定形式写出下列命题的否定形式 (1)q：四条边相等

10、的四边形是正方形：四条边相等的四边形是正方形 (2)r：奇数是质数：奇数是质数 解答解答 (1)q：四条边相等的四边形不是正方形：四条边相等的四边形不是正方形 (2)r：奇数不是质数：奇数不是质数 以上解答是否正确，请说明理由以上解答是否正确，请说明理由 注：非注：非p叫做命题的否定，但叫做命题的否定，但“非非p”绝不是绝不是“是是” 与与“不是不是”的简单演绎。因注意命题中是否存在的简单演绎。因注意命题中是否存在 “全称量词全称量词”或或“特称量词特称量词” 1.全称量词、全称命题的定义全称量词、全称命题的定义. 2.判断全称命题真假性的方法判断全称命题真假性的方法. 3.存在量词、特称命题的定义存在量词、特称