在“等差数列”和“等比数列”教学中应用类比法的尝试

1、在“等差数列”和“等比数列”教学中应用类比法 的尝试数学思想和数学方法属于数学基础知识的范畴， 是数学思维 的基础和核心。在数学数学中，有意识地利用教材的优势，渗透 数学思想和方法， 对于提高学生的创造性思维能力大有益处。 类 比法就是一种重要的教学方法。在中学数学教材中，许多概念、公式、原理是类同的，如果 教师在教学中，把握适当的机会，运用类比法，既能增强学生对 知识的记忆和理解， 又可免除同类概念和理论的混淆， 能使教学 收到事半功倍的效果。在高中数学教材中， 等差数列和等比数列是比较重要也比较 难学的教学内容， 一般的教学过程是： 按照教材编排的顺序先教 学等差数列，然后再教学等比数列，

2、 是把两者分开来实施教学的。 这样一来我们发现诸多弊端。 为了提高教学效果， 笔者对该部分 内容的教学情况进行综合分析， 尝试使用了类比教学法， 即对这 两种数列采用平行的、 对照式的方法加以教学， 收到了良好的效 果。为了引出等差和等比这两种数列， 笔者先提出一个实例： 某 化工厂一月份的销售量是 1 吨，之后每一个月比上一个月多销售 2 吨，计算出 1-5 月每月的销售量；如果以后每个月的销售量是 前一个月的 1.5 倍，又是怎样的情况呢？笔者把这两种数列并列地写在黑板上， 此外还出示了一些别 的数列：此时，我们可以把全班学生分成两组， 让他们分别观察上面 的一左一右的两种数列， 并给学生

3、充足的讨论时间， 探究它们各 自的相同点。 因为学生有一定的知识做基础， 通过讨论分析和教 师的适当点拨， 学生很易发现两排数列各自的构成特点。 于是学 生就顺理成章地得出了等差数列和等比数列的定义：1、如果一个数列，从第 2 项起，每一项和它的前面的一项 的差等于同一个常量，那么这个数列就叫做等差数列。2、如果一个数列，从第 2 项起，每一项和它的前面的一项 的比等于同一个常量，那么这个数列就叫做等比数列。这时，教师引导学生对其定义进行比较， 然后分析归纳其异 同。接着我们再回到上面提出的问题上来： 如果这个化工厂的销 售量仍然是按原来的规律递增， 那么第十个月销售量是多少？一 般说来，第几

4、个月的销量怎样求？这就导致等差(比)数列：al,a2, a3，an的通项公式的导求。在教学过程中必须重视的是： 一定要把等差数列通项公式 的导出作为重点进行透彻分析：为了求出an,逐次写出a2, a3,a4，借以观察其间的现象。可以看出a2, a3, a4等等，都是首项 a1 与公差 d 的若干倍的和， 其倍数恰好等于项数与 1 的差。 从而得出：an=a1+ (n-1 ) d。至于等比数列的通项公式，就可以 让学生仿照等差数列的办法， 独立地推导了。 于是在黑板上就出 现了下面的板书，左面是教师写的(等差数列)，右面是学生写 的(等比数列)：前 n 项的和 Sn 公式的推导是比较困难的，因为

5、对等差数列 和等比数列所用的证明方法完全不一样。在证明了等差数列前 n 项和的公式后， 学生很自然地想用类似的方法， 解决等比数列前 n 项和问题，结果却归于失败。这样也好，教师在强调它们证明 的不同点时， 学生就特别注意了， 也防止和纠正了学生不分清红 皂白胡乱套用的错误。为什么这两种数列在通项公式的推导上是那样酷似的， 而前 n项和公式的推导却不一样？原来二者的前几项和公式不是“对 应命题”。与等差数列前 n项和(Sn)的公式对应的是等比数列 前n项积的公式。让学生仿照等差数列求Sn的方法，就能导出求等比数列前 n 项积的公式来：设：Sn=a1+a2+a3+- +an则有：Sn=an+an

6、-1+an-2+a1二式相加得：2 Sn= (a1+an) + (a2+an-1 ) + + ( an+a1) 因为在等差数列里距首末两项等距离的两项的和都等于首 末两项的和。所以：2 Sn= (a1+an) + (a1+an) + + ( a1+an) =n( a1+an)仿上，设：qn=a1a2a n贝 U也有：qn=anan -1 al两式相乘得：qn2= (alan)( a2an-1 )( ana)因为在等比数列里距首项等远的两项的积都等于首末两项的积，所以 qn2= (alan)( alan) ( alan) = (alan) n 数列的am=anqm-n和许多习题，都采用了对比法讲授。通过教学实践， 笔者认为这种教学法有利于培养学生的逻辑 思维能力和分析推理能力。 如果把等比数列和等比数列分先后进 行教学，学生学到的知识是相对孤立的，由于缺乏类比分析，对 知识的理解有时又是肤浅的。有的甚至割断了彼此间的逻辑关 系，解题时生搬硬套公式，不能形成系统的数学思想。等到综合 应用练习时