专题七--二次函数全等三角形的存在性问题PPT课件

1、专题七专题七 二次函数综合题二次函数综合题 类型五全等三角形的存在性问题类型五全等三角形的存在性问题 (铜仁2017.25(2) 【方法指导】【方法指导】全等的两个三角形，在没指明对应点的情况下，理论上应分 六种情况讨论，但实际问题中通常不超过四种，常见有如下两种类型，每 类分两种情况讨论就可以了 两个三角形有一条公共边两个三角形有一条公共边 确定方法：以公共边为对称轴在两边作对称图形，则ABCABE；作ABC， ABE关于AB的垂直平分线对称的图形，则ABCBAD，ABEBAF 有一组对应角相等有一组对应角相等 ABC与DEF全等，BE(或等于90)则 ABCDEF； ABCFED. 注：B

2、E90时，通常根据 勾股定理求解 典例精讲典例精讲 例例(2017铜仁25(1)(2)如图，抛物线yx2bxc经过点A(1，0)，B(0， 2)，并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点(点M、B、C三 点不在同一直线上) (1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式； 例题图 【思维教练】将点A、B分别代入抛物线的表达 式，通过解方程组，可得到b，c的值 解：解：将点A(1，0)，B(0，2)代入yx2bxc中，得 ， 解得， 二次函数表达式为yx2x2； 10 2 bc c 1 2 b c (2)在抛物线上找出两点P1、P2，使得MP1P2与MCB全等，并求出P1、 P2的坐标 【思维

3、教练】利用全等时对应边相等，结合抛物线 的对称性，分两种情况：分别作B、C点关于对称 轴对称的点，所作对称点即为所求P1，P2点；作 BC的平行线，与抛物线的交点，即为所求P点 例题图 解：解：令yx2x20，得 x11，x22， 所以点C的坐标为(2，0) 易得抛物线对称轴为x， 如解图，取点C关于对称轴l的对称点A， 点B关于对称轴l的对称点为B(1，2)， 则当点P1，P2与A，B重合时，有MP1P2与MBC全等， 此时，P1(1，0)，P2(1，2) 例题解图 1 22 b a 过点M作MP1BC，交抛物线于点P1，如解图， 若MP1CCBM，则MP1CB. 四边形MBCP1为平行四边

4、形，xMxBxP1xC； xMxBxC02. 将x代入yx2x2中，得y， P1(，)，此时P2与C点重合，P1(，)， P2(2，0) 综上所述，满足条件的P1，P2点的坐标分别为P1(1，0)， P2(1，2)；P1(，)，P2(2，0) 1 2 5 2 5 2 7 4 5 2 7 4 5 2 7 4 5 2 7 4 例题解图 1 p x 针对演练针对演练 1.(2017包头)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y x2bxc与x轴交于A(1，0)，B(2，0)两点，与 y轴交于点C. (1)求该抛物线的解析式； (2)直线yxn与抛物线在第四象限内交于点D，与 线段BC交于点E，与x轴

5、交于点F，且BE4EC. 求n的值； 连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，AGF 与CGD是否全等？请说明理由 3 2 第1题图 解：(1)抛物线y x2bxc与x轴交于A(1，0)，B(2，0)两点， 将A(1，0)，B(2，0)代入抛物线解析式可得 ， 解得 ， 该抛物线的解析式为y x2 x3； 3 2 3 0 2 620 bc bc 3 2 3 b c 3 2 3 2 (2) 如解图，过点E作EEx轴于点E，EEOC， ， BE4CE，BE4OE，设点E的坐标为(x，y)， OEx，BE4x. 点B坐标为(2，0)，OB2， x4x2，x ， 抛物线y x2 x3与y轴交于点C

6、， 当x0时，y3， C(0，3) BE OE BE CE 2 5 3 2 3 2 第1题解图 设直线BC的解析式为ykxb1， B(2，0)，C(0，3)，将B、C两点代入解析式，得 ， 解得k ， 直线BC的解析式为y x3. 当x 时，代入直线BC的解析式，得y ， E(， ) 点E在直线yxn上， n ，n2； 1 1 20 3 kb b 3 2 3 2 2 5 12 5 2 5 12 5 2 5 12 5 全等；理由如下： 直线EF的解析式为yx2，当y0时，x2， F(2，0)，OF2. A(1，0)，OA1，AF1， 抛物线与直线yx2相交于点D，联立方程，得 ， 解得 或 .

7、点D在第四象限，点D的坐标为(1，3) 2 33 3 22 2 yxx yx 1 1 2 3 4 3 x y 2 2 1 3 x y 点C的坐标为(0，3)， CDx轴，CD1， AFGCDG， FAGDCG， CDAF1， AGFCGD(ASA) 2. 如图，一次函数y x2与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y x2bxc经过点A，B，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿 射线BA运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动， 两点同时出发，运动时间为t秒 (1)求此抛物线的表达式； (2)求当APQ为等腰三角形时，所有满足条件的t的值； (3)点P在线段AB上运动，请

8、直接写出t为何值时，APQ的 面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在一点T，使得APTAPO？ 若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由 3 3 2 3 第2题图 解：(1)把x0代入y x2中，得y2. 把y0代入y x2中，得x2. A(2，0)，B(0，2)， 把A(2，0)，B(0，2)分别代入y x2bxc中，得b ，c2， 抛物线的表达式为y x2 x2； 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (2)OA2，OB2，由勾股定理，得AB 4， BAO30. 运动t秒后，AQt，BP2t. 由APQ为等腰三角形，有QAQP，APAQ，PAPQ三种情况， 3 22

9、 OAOB 当QPQA时，如解图，过点Q作QDAB于点D，则D为AP的中点 在RtADQ中，QD AQ t， ADPD AQ t， AP t， BPAPAB， 2t t4. 解得t84； 1 2 1 2 3 2 3 2 3 3 3 第2题解图 当APAQ时， ()若点P在x轴上方的直线AB上，APt，BP2t， BPAPAB， t2t4， 解得t . ()若点P在x轴下方的直线AB上， APBPABAQ， 2t4t， 解得t4； 4 3 当PAPQ时，如解图，过点P作PEAO于点E. 则AE AQ t， 在RtPEA中，PE AE t. AP2PE t. BPAPAB， 2t t4. 解得t

10、. 综上所述，当APQ为等腰三角形时，t的值为84 或 或4或 ； 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 244 3 11 3 4 3 244 3 11 第2题解图 (3)如解图，过点P作PFAO于点F，延长FP交抛物线于点T，连接AT. PF为APQ底边AQ上的高 AP42t，BAO30， PF AP2t. SAPQ AQPF t(2t) (t1)2 . 当t1时，APQ的面积最大 此时点P为AB的中点，且P(，1) 连接OP，则OPAPBP， 点P(，1)，点T的横坐标为 ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 第2题解图 33 将x 代入抛物线的解析式，得y3. TPO

11、P2. 在RtTFA中，由勾股定理可知：TA2， AOTA. APTAPO. 存在点T，使APTAPO， 点T的坐标为(，3) 3 3 3 类型六切线问题类型六切线问题 (遵义2015.27(3)；铜仁2015.23(3) 【方法指导】【方法指导】抛物线中有关圆的切线的问题，一般为两种类型：已知直 线与圆相切的相关计算；已知直线与圆相切，求直线解析式对这两种 问题，一般解题方法如下： 已知圆与直线相切时，连接切点与圆心，得到垂直，再结合题干中的已 知条件，利用直角三角形或相似三角形的性质进行计算；若判断抛物线对 称轴与圆的位置关系，只要根据圆心到对称轴距离与圆半径大小关系即可 确定；若已知圆与

12、直线相切，需根据题意分析，切线只存在一条，还是 两条，若为两条，常要进行分类讨论计算，然后根据勾股定理或相似列方 程求出点坐标，得到直线解析式 典例精讲典例精讲 例例如图，抛物线与x轴交于点A(4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2) (1)求抛物线的解析式； 【思维教练】根据题意设抛物线的顶点式， 将C(0，2)代入即可得解 例题图 解：解：抛物线过点A(4，0)，B(2，0)， 设抛物线解析式为：ya(x4)(x2)，把C(0，2)代入，得 2a4(2)，即a， 所求抛物线的解析式为 y(x4)(x2)x2x2； 1 4 1 4 1 4 1 2 (2)若点D为该抛物线上的一个动点，

13、且在直线AC上方，当以A、C、D三点 为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积； 【思维教练】求解此题，关键是用D的坐标表示 出ACD的面积，且由题意知yD0，将ACD 拆分成同底，且以点A、C为顶点的两个三角 形求解 例题图 解：解：依题意可设D(x，x2x2)(4x0)， 如解图，连接AC，过点D作DFx轴交AC于点F， 设直线AC的解析式为ykxb(k0)，将点A(4，0)，C(0，2)代入， 得，解得， 直线AC的解析式为yx2， F(x，x2)， 1 4 1 2 40 2 kb b 1 2 2 k b 1 2 1 2 SADCSADFSCDF (xDxA)(yDyF)

14、(xCxD)(yDyF) (xCxA)(yDyF) 4(x2x2x2) x22x (x2)22， 0，4x0，MQEQ，ME5，MQ3， 由勾股定理得EQ4， ，解得或(舍去)， 点Q(，)，同理可得点P(，)， 例题解图 2222 53MEMQ 2 2 22 13 154 mn mn 1 1 7 5 9 5 m n 2 2 17 5 9 5 m n 7 5 9 5 17 5 9 5 设直线l1和直线l2的解析式分别为y1k1xb1，y2k2xb2， 则，解得；，解得. 直线l1、l2的解析式分别是 y1x，y2x. 直线l的解析式是 yx或yx. 11 11 179 55 5 kb kb 1

15、 1 4 3 19 3 k b 22 22 79 55 5 kb kb 2 2 4 3 11 3 k b 4 3 19 3 4 3 11 3 4 3 19 3 4 3 11 3 针对演练针对演练 1. 如图，抛物线yax2bx3(a0)与x轴交于A(3，0)、 B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x1， D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)求证：直线DE是ACD的外接圆的切线 第1题图 1 2 (1)解：解：抛物线的解析式为yax2bx3，对称轴为直线x1， x1，即b2a， 点A(3，0)在抛物线上，9a3b30， 联立得，

16、解得， 抛物线的解析式为yx22x3. 当x1时，y1234， 顶点D的坐标为(1，4)； 2 b a 2 9330 ba ab 1 2 a b (2)证明：点C是抛物线yx22x3与y轴的交点， 点C的坐标为(0，3)， AC3，CD ，AD2， AC2CD2AD2， ACD是直角三角形，且ACD90， AD是ACD外接圆的直径 如解图，过点E作EFCD于点F， tanECD 1， ECD45，EFCF CE ， 225 D DC x yy 1 43 2 2 2 4 第1题解图 CD ，DFCDCF ， tanEDF ， tanCAD tanCDE， CADCDE， CDECDACDACAD

17、90， 即EDA90， DE是ADC的外接圆的切线 22 2 4 2 4 EF DF 2 4 3 2 4 1 3 CD AC 1 3 2 3 2 2. 如图，抛物线yax2bxc(c0)经过x轴上的两点 A(x1，0)、B(x2，0)和y轴上的点C(0， )，P的圆 心P在y轴上，且经过B、C两点，若b a，AB2. (1)求抛物线的解析式； (2)D在抛物线上，且C、D两点关于抛物线的对称轴对 称，问直线BD是否经过圆心P？并说明理由； (3)设直线BD交P于另一点E，求经过点E的P的切线 的解析式 3 2 33 第2题图 解：(1)y轴上的点C(0， )，c ， 由题意知，b a，AB2， 令ax2 ax 0，|x1x2|2， 解得a ，b ； 抛物线的解析式是：y x2 x ； 3 2 3 2 33 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 3 2 (2)直线BD经过圆心P.理由如下： 由(1)知对称轴为x ，D( ， )， 3 2 3 3 2 令 x2 x 0，得x1 ，x2 ， 即A( ，0)，B(，0)， 则直线BD的解析式为y x ， 如解图，连接BP，设P的半径