乘积矩阵的列向量组和行向量组

1、3.乘积矩阵的列向量组和行向量组，设A是m n矩阵B是 n s矩阵.A的列向量组为on, g , otn, B的列向量组为pi,氏, ,ps, AB的列向量组为7, ,黑,则根据矩阵乘法的定义容易看出： AB的每个列向量组为Y=Api,i=1,2,s.即 A( pi, B,民)=(Api, A氏，,Aps). P=(b 1,b 2,b n) T,则 Ap= blOtl + b2Ot2+bnOtn.应用这两个性质可以得到：乘积矩阵AB的第i个列向量乍是A的列向量组为 5, 02, g的线性组合，组合系数就是B的第i个列向量目的各分量类似地，乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合

2、系数就是 A的 第i个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调，但只要对矩阵乘法稍加分析就不难看出.然而它们无论在理论上(有助于了解代数学中各部分内容的联系)和解题中都是很有用的.请读者注意例题中对它们的应用.下面是几个简单推论.用对角矩阵A从左侧乘一个矩阵，相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行 向量；用对角矩阵人从右侧乘一个矩阵，相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各 列向量.单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.数量矩阵kE乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幕只需把对角线上的每个作同次方幕.4.矩阵方程和可逆矩阵(

3、伴随矩阵)矩阵方程矩阵不能规定除法，乘法的逆运算是解下面两中基本形式的矩阵方程.(I) AX=B.(II)XA=B其中A必须是行列式不等于0的n阶矩阵，这样这两个方程都是唯一解.当B只有一列时，(1)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它是唯一解.设B有s列, B=( Pi,直，,R),则 X 也有 s 列，记X=02,/s).得到A/i=Pi ,i=1,2,s,这些方程组都是唯一解，从而AX=B唯一解.这些方程组系数矩阵都是 A可同时求解，即得(I) 的解法：将A和B并列作矩阵(A B),对它作初等行变换，使得A边为单位矩阵，此时B边为解X(II) 的解法：对两边转置化为(I)的形式：atXt

4、=Bt.再用解(I)的方法求出乂,转置得X .矩阵方程是历年考题中常见的题型，但是考试真题往往比较复杂 ，要用恒等变形简化为下上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵定义 设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B,使得AB=E BA=E则称A为可逆矩阵. 此时B是唯一的，称为A的逆矩阵，通常记作A-1.矩阵可逆性的判别： n阶矩阵A可逆I A 0.(即 AB=EBA=E.)n阶矩阵A和B如果满足AB=E,则A和B都可逆并且互为逆矩阵 可逆矩阵有以下性质：如果A可逆,则A1 也可逆,并且(A1)-1=A,| A-11=| A-1.A也可逆，并且(AVnat. 当c 0时，c A也可逆，并且(cA) -1=c

5、-1A-1. 对任何正整数k, Ak也可逆，并且()-1 =(A-1)k.(规定可逆矩阵 A的负整数次方幕 A-k=(Ak) -1=(A1)k.如果A和B都可逆，则AB也可逆，并且(AB-IBfA1. 如果A可逆,则A在乘法中有消去律：AB=0B=0. BA=0B=0.ABAC B=C BA=CA B=C.)：如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边AB=CB=A-1C BA=C B=CA.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：(I) AX=B 的解 X=A-1 B ;(II) XA=B 的解 X= BA-1.).这种解法自然好记，但是计算量必初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算(3

6、) 逆矩阵的计算和伴随矩阵 逆矩阵的计算有两种方法. 初等变换法：A-1是矩阵方程AX=E的解,于是对(A|E)用初等行变换把化为E则E化为A-1. 伴随矩阵法A 11 Ac1An1A* =A 12 A22A n21n A2nA规定伴随矩阵不要求=(Aij ).若A是n阶矩阵，记Aj是| A的(i,j)位元素的代数余子式，规定A的伴随矩阵为A可逆.但是在A可逆时，A*和A1有密切关系.基本公式：AAf= A*A= |A|E.于是对于可逆矩阵A,有A-1= A*/| A|,或 A*=| A| A1.因此可通过求 A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较，伴随矩阵法的计算量要

7、大得多，除非n=2, 一般不用它来求逆矩阵. 对于2阶矩阵d -ba b-ca ,c d因此当伴随矩阵的其它性质： 如果A是可逆矩阵，则 A*也可逆，并且(A*)-1= A/| AA1)*. I A*|=| an-1. (at)*=(a*)t. (c A) * =c n-1 A*. (AB*= B*A*； ()*= ( A*)k. (A*)*=| A|n-2 a.练习题二1.设 a=(1,2,3,4)T, P=(1,1/2,1/3/1/4)彳 1/2 02 1 01 1/2 02.设 A=3.设 ot=(1,0,1)4 .设a千p=0已知已知，求*1T, P=(0,1,1) t, P= 1 1

8、 0 0 1 I ih2)t Pg 玄2)I2 0、,b=mP t 求 B.浪=aPT,求An .A= P-1aP TP,求 A20035.6.04丿3 阶行列式 I a, P, 11=3，求 |3 a-屏2Y, -a+P+Y2 a+5p-7 7|.,AB=A+ 2B,求 B .7.已知I0厂01-1已知A=-1l110 -1-2 0B=,X=AX+B，求 X.9.已知B=0 21 1A=10.已知011.设11A =0 -40A=00-25(A-E)B = A,求 A.1-I 11-4，氐Xi乡2X，求X .,二陆+BA,求 BB=(A+E)-1(A-E),则(E-E)-1 =12. a是一

9、个 求I A|.13. 设3阶矩阵,3维向量组汎篦，耳线性无关，满足=篦+丫3, a%=Y1+Y3, am 篦.1A= 0 0 0 ,0I0 -12 0 02 -1X B = B A,求 X 和 X11.14.设 A =(1/2) 0 1 0 2 5 .15.设n阶矩阵A满足A+3A- 2E=O，证明直可逆，并求A和(A+E)16. 设n阶矩阵A满足A；0, (k为一个自然数，证明E可逆.17. 设n阶矩阵A满足A3A+2E-O,并且A不是数量矩阵.问a为什么数时 A-aE可逆?18. 已知 n 阶矩阵(A+B)=AB W 证明 AB=O.19. 设 A, B, C 都是 n 阶可逆矩阵，D=

10、 (ABAC)-*,证明 BACD=CDAB .20. 设A, B都是n阶矩阵，AB+E可逆证明BA+E也可逆，并且(BA+E)=EE(AB+E A .21. A, B都是n阶矩阵，并且 B和E 4AB都可逆，证明：B( E + AE)九=EE(E + AB A .22. 设A B是两个n阶矩阵，则( )是AB可交换的充分必要条件.(A) (A+B)3= A3+3AB +3AE2+E3 .(B)A与E2可交换.(C) A+E与 A-E可交换.(D)() AB2.23. 设A, B是两个n阶矩阵，满足(AB) 2= E则() 成立.(A) AB =E.(B) | A| B|=1.(C) AB=B

11、A.(D BA) =E.24. 设 A, B 是两个 3 阶矩阵,| A-11=2,| B-1 |=3,则 | A* B-1- A-1 B* |=().(A)36.(B)1/36.(C)-6.(D)6.25. 已知3阶矩阵A满足：26.设A, B是两个n阶矩阵，则() 如果A, B都可逆,则AB = BA. 如果 A * B= BA *,贝 U AB = BA. 设 g(-1,-1,2), 参考答案1. 4nA .1 1 13. A = A=-1 -1 -1 .(A)(C)27.成立.(B) 如果AB是非零数量矩阵，则AB = BA. (D 如果(AB) 2= A2B2 则 AB = BA.P

12、=(1,1,0),脸2E+/p , B =E+3P,则 AB- BA =.2.An-1.2 A.1 1 14b5=b=axP t-6 -9 -95. -135.6.百-2 -27.4 -.I-2 32-f +严 2 1 -3-5 -3 9r、&=1 1 -2 ,a3=-3 -2 6,-3 -2G96丿-仃丿求A.:2 0 .1 -11/2 0A= -1/2 1 0 0 11 1 eX 品 C 1 1J 0 1X B = B A,求 X 和 X11.-1 0 1 J0 0 1 .26.27.1(B).- 2 - 2 -2AB- BA=3(邸 a- P a3)=6-2 - 2 -2 .-2 - 2

13、 4 丿102 犷2B=-3 11 1 211. ( B-E)-1= -( A+E)/2.12. 2.13. 设2 -1 0 ,A =0s,则 Pl. p2, Pt 线性,则它们包含的向量个数相等.它表明向量组可以有多大的线性无关的部是它的一个部分组.如果就称(I)为ai, 0C, ots的一个极大无关组.条件可换为：任何a都可用(I)线性表示当 0(1, 02, 价从而包含的向量个数相等.定义 如果8,他 ,as不全为零向量 则把它的极大无关组中所包含向量的个数(是一个正整数 称为01, ofe, ots的秩记作r( ai, 02,快).如果ai,生 ,仏全是零向量 则规定 r( ai, 0

14、2, Os )=0.秩有以下性质：i)ii)也就是(I)与a 1,他 ,ots等价.,Os不全为零向量时、它就存在极大无关组、并且任意两个极大无关组都等5他(可用 8,02,如果 r( ai,02,x,02,q, 02, 如果P1, r( Pi, 如果 Cti, 0t2,r( m, 02,Os线性无关r(,Os线性表示,as )=k,贝y,Os的每个含有多于oti,冬,Os )=s.r( ai, 02, as, P)=r( g, ot, ots).(见例 3.2)k个向量的部分组相关.,Os的每个含有k个向量的无关部分组一定是极大无关组 险 ,R可以用8,P, R) r( cti,Os 和 P

15、i, ft, ,佻)=r( Pi,氏，02, as线性表示，则他,as).R等价，则,R).质仍然成立.4.有相同线性关系的向量组两个向量数相同的向量组oti,昭 ,as和pi,血,向量方程Xi ai+ X 202+,及称为有相同线性关系，如果+x sas=0 和 Xi pi+ X 2 p2+x 4=0同解.(例如，当A经过初等行变换化为 B时，A的列向量组和 当g a, , Os和fV ft, , ft有相同线性关系时，(1) 它们的秩相等.(2) 它们的极大无关组相对应.(3) 它们有相同的内在线性表示关系.5.矩阵的秩定义一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等于是r( A)=0A=0

16、.如果A是m n矩阵，则r( A)Minm,n,当等号成立时，称A为满秩的.如果A是n阶矩阵，则A满秩，即r( A)=nA的行(列)向量组无关IA 0A可逆AX=唯一解齐次方程组AX=0只有零解.命题 初等变换保持矩阵的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.矩阵A的r阶子式：任取A的r行和r列，在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式.命题r(A)就是A的不等于0的子式的阶数的最大值.(即A的每个阶数大于r(A)的子式都为0,都是A有阶数等于r(A)非0子式.)在作矩阵的运算中，矩阵的秩有性质： r( A T)=r( A). 如果c不为0,则r(c A)=r( A). r( AB)r( A)+

17、 r( B). Minr( A),r( B).当 A 或 B)可逆时,r( AB=r( B)(或 r( A). 如果AB=0,n为A的列数(B的行数),则r( A)+r( B)n. 如果r( A)等于列数，则r( AB=r( B).下面给出和在判别向量组的线性相关性和秩的计算问题上的应用.设向量组Oti,Ofe,Ots线性无关，向量组pi,氏，,R可用Oti,02,Otm线性表示，表C,则Pi,氏，,Pt)=r( C).如果t=s (此时C是t阶矩阵),则Pi, ft, Ps线性无关B的列向量组有相同线性关系),称为此矩阵的秩,记作r( A).示矩阵为i) r(ii)(令 r( Pi,ft,C可逆.A=(ai,ofe,Os),B=(Pi,ft,Pt),则B=AC并且r( A)=列数 s,用得到,Ps