2013高数下复习题及样卷

1、样卷2013 级少学时高数（下）复习题及样卷一、填空题（每小题 3 分，共 18分）7551. 已知 f x dx 8 ， f x dx 3，则 f x dx 3372. 微分方程 y y 0 的通解为 .3.点 M ( 1, 2,1)到平面 x 2y 2z 5 0的距离是4.22曲面 z x2 y2 1在点（ 2， 1，4）处的切平面方程为5.由二重积分的几何意义，二重积分2 1 x2 yx2 y2 16.xn幂级数 n 02xn 的收敛半径为二、单选题（每小题 3 分，共 18 分）1. 下列第一类反常积分中收敛的是（2xA. e 2xdx B.exdx0C.).x2dx1 x2D.cos

2、 xdx2.列微分方程中既是可分离变量微分方程又是线性微分方程的是（A. dy x ydx）.3.4.5.B.C. y x2y 2x yD.dy dx dy dxxy yx(y x)与向量 （ 1,1, 0）垂直的单位向量是11 A( 2 , 2 ,0)设 z x x21A. 1 12）y2B.11B (12,12,0)z，则y(1, 1)12 C.）(1,1,0) ( 1,1, 0)D.重积分 dx x2 f （x,y）dy 交换积分次序后成为 （041 4yA. 0dy 0 f (x, y)dx）.B.1201dy 24y f ( x, y)dx21C. 0dy 4y f(x,y)dx6下

3、列级数中，收敛的级数是(D.).2 4y0 dy 1 f ( x, y)dxA. 1 12n 1 n n2B.11 n 1 nC.11 n3 n 1 3 nD.n12n 31n3n三、解答题(每小题 5 分，共 50 分)1x1. 计算 xexdx02.求微分方程 y ex y满足初始条件 y|x 0 0的特解 .3. 求过点y4(3,1, 2)且平行于直线 x54 y23 1z和 x332z 1 的平面方1程4.求过点(0,2,4)且与两平面 x 2z 1,y 3z 3平行的直线方程5.设函数w f (x, xy,xyz) ，求 w ， w xy6.设zf(x, y) 由方程 sin(x 2

4、z) xyz确定，求 z, z xy227. 计算二重积分2 1 所围区域e (x y )dxdy，其中D是由 x 0,y 0，x2 y D8. 计算二重积分 I sinyd ，其中 D由 y x,y x 围成. Dyn9判别级数nn 的收敛性n 1 3nn!2n 110. 求幂级数 x 的收敛域。n 0 2n 1五、应用题(每小题 7 分，共 14分)1. 求由直线 y x， y 2及曲线 xy 1所围成平面图形面积 .2. 要设计一个容量为 8m3 的长方体无盖水箱 , 问长、宽、高为多少时用料最省？复习题一、填空题3 2 21. y (y ) xy x 为阶微分方程dyx2. 微分方程

5、dx 的通解为 3. 微分方程 y 4y 0的通解为 .4微分方程 y 6y 10y 0 的通解为 5. 点 M ( 1, 2,1) 到平面 x 2y 2z 5 0 的距离是.6. 空间点 M(4, 4,2) 关于 xoy平面的对称点坐标为7. y0z 平面的曲线 z y a 绕 z轴旋转生成的曲面方程为 8. 通过 z 轴且过点 M(1, 1,1) 的平面方程为 .9. 三单位向量 a,b,c 满足 a b c 0 ，则 a b b c c a .10. 已知 a (2,1, 1), 若向量 b 与向量 a 平行，且 a b =3， b _11. 函数z ln x2 y2 1 4 x2 y2

6、 的定义域为.ln(x y)的定义域为13. 设函数 z ex y ，则 dz= .14.1 yxdz 2 ex (xdy ydx) 设22z2，则 y15.曲面22z x2y2 1在点( 2， 1，4)处的切平面方程为2316. 曲线 x t,y t ,z t 在点( 1， 1， 1)处的切线方程为 1 x2 y2 d17. 由二重积分的几何意义，计算二重积分x2 y2 12. 函数 z 1xdx 2 f (x, y)dy18. 改变积分次序 0x219. 在直角坐标系下将二重积分化为累次积分，其中D为x 1 1 ， y 1 围成的区域，f (x,y)dxdy则D20.设 D是由 y x,x

7、y 1及x 2所围成的区域，则I f (x,y)d 的先积 x后积 y 的 D累次积分为 I121. 级数1 的和为n 1 n(n 1)22. 级数 ( 1)2 n 1 (2n 1)2绝对收敛 or 条件收敛)3n23.幂级数 3 xn 的收敛半径为 n 1n 124.xn幂级数 x n 的收敛半径为 n 1 n3n25.ddx o dx o2xtetdt26. 反常积分01x2 4x 5 dx二、选择题1.设 f (x),g(x)分别是连续的奇函数和偶函数 ,则 f x g x dx =( ).A. f (a) B. g (a) C.2. 下列定积分中积分值为 0 的是a) )D. 2 f

8、( a)xx1 e ee e dx21 e e dx12/2 3C(x cosx)dx/22 (x2 sin x)dx223. 微分方程 y2dx (1 x)2dy 0 是(微分方程 .A. 一阶线性齐次B.一阶线性非齐次C. 可分离变量D.二阶线性方程4. 下列微分方程中，通解为y e2 x (C1 cos x C2 sin x)的方程是 ()..2.13.Ay 4y 5y 0y 4y 5y 02xC y 2y 5y 0 D y 4y 5y e与向量 （ 1,1, 0） 垂直的单位向量是 （ ）( 1 , 1 ,0)A( 2, 2 ,0)12,12,0)(1,

9、1,0)( 1,1, 0)xyz直线 3 2 7 与平面 3x 2y 7z 8 的位置关系是 （ ）.A. 线与面平行但不相交 B. 线与面垂直 C. 直线在平面上 D. 线与面斜交22方程 x y z 3 表示的曲面是 （ ）A.旋转抛物面 B.圆柱面C.圆锥面 D.下列曲面方程为抛物柱面方程的是（）A222 x y z2B x2y2 z22 aC222 x y z2 D y4x 2等式（ ）是正确的 .A.00a 1 （ a 是单位向量 ）B.|a b| a |b | cos(a,b)C.2 2 2(a b)2 (a)2(b)21D.|a b| |a|b|sin(a,b)函数 ln（x y

10、） 的定义域是（）.球面A. (x,y)|x y 0 B. (x,y) |x y 0C. (x,y)|x y 1 D.(x, y)|x y 0且x y 1函数 f （x,y） x3 y3 3x2 3y2 9x的极大值点是 （ ）A. (1,0) B.(1,2) C.( 3,0) D. ( 3,2)z设z xx2 y2，则 y(1, 1)）A.12B.C.11 2 D.A. 2yeydy ；B. ( 2sin xcosx)dx 2yeydy ;y 2 yC. ( 2sin xcos x)dx (2 ye y e )dy ; D. ( 2sin xcos x)dxx14. 曲线 1 t1t yz

11、t2对应 t = 1 的点处的切向量为().8.19.1A. (21,2,1) ； B.(1,4, 8)； C. (1,1,1)； D. (1,2,3).22函数 z x y 当 xA. 0.20 B.1,y 1, x 0.2, y 0.1时的全微分为 ( ) .0.20 C.0.1664D.0.1664以 z 4 x y 为顶，).A.d r 4 r 2dr002 1 2C. 0 d 0r 4 r 2drx2d重积分 1 x2 y2 4dr3 cos2 drA. 0 12 4 x2 2 C. 2dx 4 x2 x2dy22z 0为底，侧面为柱面 x y 1 的曲顶柱体体积

12、是22 d 0 r 4 r2drB.D.可表达为累次积分210 dx x2 f (x,y)dy重积分 41 4yA. 0dy 0 f (x, y)dx21C. 0dy 4y f(x,y)dx列级数中，112 1n 2n发散的级数是(112 1 n1 n24 02 d 0 r).B.D.drr 3dr cos2 d011 1 y2 21dy 1 y2 x2dx交换积分次序后成为().B.D.).120dy 4y f ( x, y)dx2 4y0 dy 1 f (x, y)dxn 1 31nn13( n 1 n)n1A. B.C.D.20. 下列级数中 , 收敛的级数为()1n1nA. B.13n

13、 1 n2C.21. 下列说法不正确的是).nxA. n 1 n 的收敛域为 1, 1|un|C. 若 n 1 收敛，则unn1收敛 ；4n n 1 n!D.1ln(1 ) n 1 nB.D.kann1an与 n 1 同时发散 ；(3x)n 1 3 的收敛半径是 3 .三、解答题1.0cos( x 1)dx4.5.3.求微分方程求微分方程(1 ex )dy yexdx 的通解 .y sinx dx tanxdy 0的通解 .6.求微分方程y sin xy 的通解 . xx7.求微分方程y e 满足初始条件 y|x 0 0 的特解 .t212.te 2 dtx 2y 4z 7 08.9求过点 (

14、2,0, 3) 且与直线 3x 5y 2z 1 0 垂直的平面方程求过点 (0,2,4)且与两平面 x 2z 1,y 3z 3平行的直线方程10设平面通过点 (2,1, 1)且在 y 轴、 z轴的截距分别为 2和 1，求此平面方程11求通过点 (2,3, 8)且垂直于平面 x y 2z 11 0 的直线方程12与 z轴垂直的直线 l 在平面 x y 1上且过点 (2, 1,4) ，求其方程13求过点 (2,1, 1) 且平行于直线 x 4 y 3 z 1 和 x 3 y z 3 的平面方程3 2 1 5 2 7.28.

15、29.30.14求通过 z轴且过点 M (1, 1,1)的平面方程设函数 w f (x, xy, xyz) ，求wwwxy设函数z xy f (x2y2)，求 z ， z xy设zf(x2 y2, y)x，其中f 是可微函数，设zeusinv，而 u xy,v x y，试求z, zxyzy方程 ez x2 yz 0确定二元函数 z f (x,y) ，求 dz设z f(x,y)由方程 sin(x 2z) xyz 确定，求 z, zxy求 u x sin y eyz 的全微分2求 z x y 的全微分22计算二重积分 e (x y )dxdy ，其中 D 是由 x 0, y 0 ， x2 y2 1

16、所围区域 D求二重积分 xy dx dy, 其中D 是曲线 y x,y x 2所围成的闭区域 .D计算 (2x y 1) dxdy ，其中 D是由直线 x 0， y 0及2x y 1围成的区域 D2计算二重积分 x2 d , 其中D由直线 x 2,y x,xy 1所围成 .D y2计算二重积分 I sin y d ，其中 D 由 y=x, y x 围成 .Dy计算 arctanDy dxdy ，其中 D 为圆周 x2x224 和 x2 y2 1 及直线 y 0,y x所围成的在第一象限的区域计算 (1 x2 y2)dxdy ，其中 D 是平面区域 x2 y2 1D判别级数 ( n 1 n) 的收敛性 n1nn31判别级数n 的收敛性n 1 3nn!132判别级数ln(1 ) 的收敛性n 1 n4n33判别级数的收敛性n 1 n!34.求幂级数的收敛域 .n11x35. 求幂级数12( x )n的收敛域 .n 1 n 236. 求幂级数 1 x2n 1 的收敛域 . n 0 2n 11n37. 幂级数 1 (x 1)n 的收敛域 n 1 n五、应用题1. 求曲线 y 4x x2与直线 y x所围图形的面积 .212. 求由曲线 y x2 ， y与直线 x 4所围平面图形的面积x23. 求由曲线 y x2 与直线 y x 2 所围平面图形的面积