生物统计学参数估计

1、第五节 参数的区间估计 一、参数的区间估计 利用样本统计量，以一定的概率做保证，估计出参数可能在 内的一个区间或范围，这个区间，就称为参数的置信区间； 区间的下限和上限称为参数的置信下限 L1 和置信上限 L2； 保证参数在该区间的概率，一般以 P = 1- 表示，称为置信水 平或置信度； 以上这种估计，就称为参数的区间估计。 置信半径置信半径 二、区间估计的原理 在一个正态总体 N（， 2）中，抽取含量为 n 的样本，样本 平均数 服从正态分布 ，x n x u ),( 2 n N 标准化随机变量 服从N N（0 0，1 1）分布。 u u 落在区间（-1.96-1.96，1.961.96）

2、内的概率，可以从下式中算出。 96. 196. 196. 196. 1uP 95. 0025. 0975. 0 也就是： 95. 0)96. 196. 1( n x P 对对 96. 196. 1 n x 变换，各项同乘变换，各项同乘 /n， n x n 96. 196. 1 则：则： , 各项同减各项同减 ，x 则：则： x n x n 96. 196. 1 , 各项同乘各项同乘 -1， 则：则： n x n x 96. 196. 1 因此有：因此有：95. 096. 196. 1 n x n xP ,96. 1 1 n xL （L1，L2）为）为 的的 95% 置信区间置信区间 n xL

3、96. 1 2 ,96. 1 1 n xL （L1，L2）为）为 的的95%置信区间，它的意义为：置信区间，它的意义为： 在（在（L1，L2）区间内，包含）区间内，包含 的概率为的概率为95%。 在在 为已知时，为已知时， 的的 1- 置信区间可由下式确立：置信区间可由下式确立： 1 2/2/ n ux n uxP 所以：所以： n uxL 2/2, 1 n xL 96. 1 2 三、几种情况下参数的置信区间三、几种情况下参数的置信区间 ( (一一) )、 的区间估计的区间估计 1 1、在、在 为已知时，为已知时， 的的 1-1- 置信区间：置信区间： 1 2/2/ n ux n uxP n

4、uxL 2/2, 1 n s txL n 1, 2/2, 1 1 1,2/1,2/ n s tx n s txP nn 2、在在 为未知时，为未知时， 的的 1-1- 置信区间：置信区间： （二）、平均数差（二）、平均数差（1-2）的置信区间）的置信区间 1、在在 i 为已知时，为已知时，（1-2）的的 1- 置信区间：置信区间： 2 2 2 1 2 1 2/212, 1 )( nn uxxL 2 2、 i 为未知但相等时，为未知但相等时，（1-2）的的 1- 置信区间：置信区间： 2121 2 22 2 11 2/212, 1 11 2 11 nnnn snsn txxL 若若n1- n2

5、= n，则：，则： n ss txxL 2 2 2 1 2/212,1 其中，其中，df = n1+ n2 - 2 3、 i 为未知且不相等时，为未知且不相等时，（1-2）的的 1- 置信区间：置信区间： 2 2 2 1 2 1 2/212, 1 n s n s txxL t分布的自由度： 2 2 1 2 1 1 df k df k df df 取整数，不 4 舍 5 入。 其中 df1= n11, df2= n2 1, 2 2 2 1 2 1 1 2 1 n s n s n s k （三）配对数据（三）配对数据 d d 的 的 1-1- 置信区间：置信区间： , 1,2/2, 1 n s t

6、dL d n 1 ndf （四）二项分布参数 p 的1-置信区间： 1、利用正态分布进行近似的估计 二项分布的总体参数为： = p ， 2 = pq ，当我们以n为样本 容量进行抽样时，在 n 次试验中某类型的结果出现了 x 次, 且 ，则有： n x p n pp upL ) 1 ( 2/2, 1 ， 其中其中n 30，np 5，nq 5 。 2、利用二项分布p的置信区间表进行估计 附表 8 给出了二项分布 p（）的置信区间，在相应的 n 和 x 下，就能求出p 的置信上限和置信下限。 （五） 的1-1- 置信区间： 2 2 2 1 1 sn n 1 1 2 2/ 2 2 2 2/1 sn

7、P 1 11 2 2/1 2 2 2 2/ 2 snsn P 1 11 2 2/1 2 2/ n s n sP 所以 的1-1-的置信区间为： 2 2/1 2 1 n sL 2 2/ 1 1 n sL （六）标准差比（六）标准差比 1/ 2的的1-1-的置信区间：的置信区间： 2 2 2 2 2 1 2 1 2,1 s s F dfdf 2 1 2 2 2 2 2 1 2, 1 s s F dfdf 1 2/, 2, 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2/1 , 2, 1dfdfdfdf F s s FP 1 2/, 2, 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2/1 , 2, 1 2 1 2

8、 2 dfdfdfdf F s s F s s P 1 2 1 2/, 2, 1 2 2 2 1 2 2 2/, 1, 2 2 1 2 2 s Fs Fs s P dfdf dfdf 1 1 2/, 2, 12 1 2 2/, 1, 21 2 s Fs Fs s P dfdf dfdf 1 2 2/, 1, 21 2 1 2/, 2, 12 1 s Fs Fs s P dfdf dfdf 由上式可以得出 1 1/ / 2 2 的 1- 1- 的置信区间为： 2/, 2, 12 1 1 dfdf Fs s L 2 2/, 1, 21 2 s Fs L dfdf 四、显著性测验和区间估计的关系 1

9、、应用实例 例1：用实验动物做实验材料，要求动物的平均体重0 = 10.00g 若 10.00g，则应淘汰。 已知 =0.40g，现从该动物群体中抽出含量为 n = 10 的样本， 并已经计算出了样本平均数为10.23g， 问该批动物 的 95% 的置信区间是什么？该批动物可否用于实验？ 解：当 已知时， 的 95%的置信区间为： 10 4 . 0 96. 123.10 2/2, 1 n uxL L1 = 9.98 , L2 = 10.48 ， 的的 95%的置信区间为（的置信区间为（9.98，10.48）。）。 解：解： H0： = 0 ， HA： 0 = 0.05 82. 1 10 40.

10、 0 00.1023.10 n x u u 0.05/2 = 1.96 | u | u 0.05/2 接受接受H0 ： = 0 = 10.0g 因为在 的 95%的置信区间（9.98，10.48）内，包含 = 0 = 10.0g ， 所以，接受H0 ： = 0 = 10.0g。 例2：二个小麦品种从播种到抽穗所需天数见下表，问两者 所需的天数差异是否显著？ 1 - 2的 95%的置信区间是什么？ 品种甲：101，100，99，99，98，100，98，99，99，99 品种乙：100，98，100，99，98，99，98，98，99，100 解： 先作数据处理， ,84. 0, 2 .99 2

11、 11 sx I：做方差的齐性检验，确定 1 与与 2 是否相等。是否相等。 假设假设：H0： 1 = 2， HA： 1 2 ， = 0.05 , 1 . 1 2 2 2 1 s s F ,026. 4 9 , 9 , 2/05. 0 F 025. 0975. 0 FFF 接受H0： 1 = 2 ，方差具有齐性。 248. 0 975. 0 , 9 , 9 F 77. 0, 9 .98 2 22 sx II：平均数的显著性测验 H0：1-2 = 0， HA：1-2 0, 0.05 n ss xx t 2 2 2 1 21 18, 2/05. 0 tt 接受接受H0：1-2 = 0， 结论是两个

12、品种从播种到抽穗的天数差异不显著。 10 77. 084. 0 9 .982 .99 75. 0 ,101. 2 18, 2/05. 0 t 1 - 2的的 95%的置信区间为：的置信区间为： n ss txxL 2 2 2 1 2/212, 1 L1 = - 0.54 , L2 = 1.14 。 即即 (1 - 2) 的的 95%的置信区间为的置信区间为(- 0.54, 1.14)。 因为在因为在(1 - 2) 的的 95%的置信区间的置信区间(- 0.54, 1.14) 内包含内包含 “1-2 = 0” ， 所以接受所以接受H0：1-2 = 0 10 77. 084. 0 10. 29 .

13、982 .99 例3：研究两种激素类药物对肾脏组织切片的氧的消耗的影 响，结果是： ;673.8,92.27, 9:)1 ( 2 111 sxn 问两种药物对肾切片氧消耗的影响差异是否显著？ 1 - 2 的 95% 的置信区间是什么？ 解：显著性测验 I：做方差的齐性检验，确定1 与2 是否相等。 假设：H0： 1 = 2， HA： 1 2 ， = 0.05 71. 4 843. 1 673. 8 2 2 2 1 s s F ,757. 6 5 , 8 , 2/05. 0 F 025. 0 FF 接受H0： 1 = 2 ，方差具有齐性。 843. 1,11.25, 6: )2( 2 222 s

14、xn ,160. 2 025. 0,13 t 拒绝H0：1-2 = 0，接受HA：1-2 0 结论：两种药物对肾切片氧消耗的影响差异是显著的。 168. 2 269. 1 11.2592.27 21 21 xx s xx t 296. 1) 11 ( 2 ) 1(1 2121 2 22 2 11 21 nnnn snsn s xx II：平均数的显著性测验 H0：1-2 = 0， HA：1-2 0, 0.05 025. 0 tt 1 - 2的 95%的置信区间为： 296. 1160. 29 .982 .99 21 2/212, 1 xx stxxL L1 = 0.01 , L2 = 5.61

15、 , (1 - 2) 的 95%的置信区间为( 0.01, 5.61)。 因为在(1 - 2) 的 95%的置信区间( 0.01, 5.61 ) 内，不包 含 “1-2 = 0” ，所以拒绝H0：1-2 = 0，接受HA：1-2 0 2、显著性测验和区间估计的关系： （1）对于假设 “ H 0 ： = 0 ”： 若（L1，L2）包含 0 ，则接受H 0 ： = 0 。 若（L1，L2）不包含 0，且 L1 和 L2 均大于 0，则拒绝 H 0 ： = 0 ，接受HA： 0 。 若（L1，L2）不包含 0，且 L1 和 L2 均小于 0，则拒绝 H 0 ： = 0 ，接受HA： 0 。 （2）对

16、于假设：H0：1-2 = 0， 若（L1，L2）异号，则接受H 0 ：1-2 = 0。 若（L1，L2）同号，且 L1 0，L2 0 ，则拒绝 H 0 ： 1-2 = 0 ，接受HA：1 - 20。 若 （L1，L2） 同号，且L1 0， L2 0 ，则拒绝 H 0 ： 1-2 = 0 ，接受HA：1 - 2 0。 3、关于置信区间的长度 与有关，与样本容量n有关。加大样本容量，可以缩 短置信区间的长度，使区间估计更可靠。 3.3.复习思考题：复习思考题： 显著性测验与参数区间估计的关系？显著性测验与参数区间估计的关系？ 差异显著性测验 单个样本 两个样本 变异性（稳定性）： 2 2 2 1

17、s n 平均数 配对数据：t t检验 自由度 = n - 1= n - 1 已知：u u 检验 n x u n s x t 未知：t t检验 变异性（稳定性）：F检验（方差的齐性分析） 平 均 数 成组数据 已知时： u u 检验 未知、但相等：t t 检验（自由度不校正） 未知且不相等：t t 检验（自由度要校正） 6.1 n s txL 14, 2/05. 02, 1 15 3 . 0 160. 28 . 2 2, 1 L 6.2 n s txL df , 2/05. 02, 1 265 077. 0 96. 157. 1 2, 1 L n s uxL 2/05. 02, 1 因为n 20

18、0 6.3 n s tdL d df ,2/2,1 6.4 第一种方式： n s tdL d df ,2/2,1 第二种方式： 2121 2 22 2 11 2/212, 1 11 2 11 nnnn snsn txxL 6.5 n pp upL ) 1 ( 2/2, 1 896 48. 052. 0 96. 152. 0 （L1, L2 ）是否包含）是否包含 50%? n pp upL 1 2/2, 1 6.5 6.7 查查 附附 8：当：当 n = 30，x = 5 时，时，L1 = 6%，L2 = 35% 5.8 , 1 2/2, 1 n pp upL 21 2/212, 1 11 1)

19、( nn ppuppL 2 2 2 1 1 1 21 21 , n x p n x p nn xx p 21 21 nn xx p 作业：作业：P 93，5.6 P 94, 5.7 P 94, 5.12 P 102, 6.1 P 102, 6.5 测 验: 1、在进行统计假设测验时，如果抽样的样本容量不 变，当我们将由0.05提高到0.01时,II型错误1会 发生什么趋势的变化? 2、写出 P102-6.6 的求解公式。 测 验: 1 1、在进行统计假设测验时，如果抽样的 样本容量不变，当我们将 由 0.050.05提 高到 0.010.01时,II II 型错误 1 1 会发生什 么趋势的变

20、化? 2 2、一种农药的杀虫率为 95% 95% ，在一次 实验中，要求对总体的估计不超过 3% 3% 的范围，问至少需要多大的样本才能满 足要求？ n pp upL 1 2/2, 1 03. 0 1 2/ n pp u 2 2 2/ 03. 0 1ppu n 2037 .202n 第五节 参数的区间估计 一、参数的区间估计 利用样本统计量，以一定的概率做保证，估计出参数可能在 内的一个区间或范围，这个区间，就称为参数的置信区间； 区间的下限和上限称为参数的置信下限 L1 和置信上限 L2； 保证参数在该区间的概率，一般以 P = 1- 表示，称为置信水 平或置信度； 以上这种估计，就称为参数的区间估计。 置信半径置信半径 3、 i 为未知且不相等时，为未知且不相等时，（1-2）的的 1- 置信区间：置信区间： 2 2 2 1 2 1 2/212, 1 n s n s txxL t分布的自由度： 2 2 1 2 1 1 df k df k df