圆的一般方程30284资料

1、圆的一般方程教学设计（1课时）一、教材分析教材是在圆的标准方程的基础上得出了圆的一般方程，然后分析方程特点，即讨 论系数在通过配方观察方程何时表示圆、何时不是圆，判断的标准是圆的标准方程， 这样做紧扣圆的几何特征，最后得出二元二次方程表示圆的充要条件，使学生加深对 圆的一般方程的认识与记忆，认识到标准方程与一般方程的联系与区别。并对数学中 分类思想，对比记忆等思想有更深的了解和掌握。教材配备了两个例题，例3利用圆的标准方程求同心圆方程：例 4则是利用待定 系数法通过一般方程解过三点的圆的方程，这是数学中常用的一种方法。二、学情分析学生是在已有知识的基础上能够推导出圆的一般方程，并能初步利用圆的

2、标准方程的特点研究圆的一般方程，学生在利用圆的一般方程x2 y2 Dx Ey = 0解决问题时，常忽略表示圆的条件 D2，E2-4F 0，灵活使用圆的方程的两种形式解决 问题是学生学习的难点。三、本节渗透的数学思想及教学方法分析根据以上教材分析，贯彻以启发性教学原则，教师引导，学生学习为主体的教学 思想，分析与讨论结合。1、经历用待定系数法求圆的方程的过程，它是数学中常用的一种方法，在学习 过程中体会用代数方法解决几何问题的思想。2、圆的一般方程含有三个参变量，需要三个条件（坐标）才能确定圆，树立利用方程的思想求解参数变量。3、引导学生分析两个方程之间的互化关系，选择两个方程解决问题的条件和优

3、 缺点。4、教学中体现了转化、数形结合及方程的数学思想方法。四、教学目标知识与技能：1）.掌握圆的一般方程及一般方程的特点2）.能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径3）.能用待定系数法由已知条件求出圆的方程 过程与方法:1) .通过问题的分析与解决使学生认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般 的化归思想。2) .通过分析，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考 能力。情感态度与价值观：培养学生主动探索、勇于思考、合作交流的意识，在体现数学美的过程中激发学 生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好思维品质。五. 教学重、难点教学重点：1. 圆的一般方程x

4、2 y2 Dx Ey F =0的形式特征。2. 待定系数法求圆的方程。教学难点：1. 方程x2 y2 Dx Ey 0及对D2 E2 -4F分类讨论。2. 根据具体条件，选择圆的方程解决有关问题及待定系数法求圆的方程。 难点突破：通过对D2 E2 -4F的分类讨论，使问题化难为易，难点个个攻破，使课堂教学 显得轻松易学。六学法分析在教学活动中，教师提出疑问，引导学生主动思考，主动探究，讨论交流，在积 极的学习中解决问题，获得知识。贯穿“疑问”一“思索”一“发现”一“解惑”四 个学习环节。七教学过程设计(一) 创设情境，弓I发思考，弓I入新知问题1： A.B两镇相距10km为了响应党的号召,丰富人

5、民的文化生活,现在两镇 之间修建一个文化广场，为方便大部分群众，现要求广场到两镇之间距离的平方和为 60,那么广场应修建在何处？分析：仅仅依据问题中的几个数据无法表示距离，若将这个问题放在直角坐标系 中来考虑，就能很快表示出距离，以 AB两镇所在的直线为x轴，以AB的中点为坐标 原点建立直角坐标系，则A(-5,0),B(5,0)，设P(x,y)为广场所在的位置，则有（x 5）2 y2 （5）2 y2 =60，化简得x2 y2 =5。你能说明这是一个什么方程吗？ 广场应建在什么位置？设计意图：以生活中的实例提出问题，激发学生的学习兴趣，并借此复习学生已 经掌握的圆的标准方程，并为圆方程改写成二元

6、二次方程的形式引出圆的一般方程做 铺垫。问题2：圆的标准方程（x - a）2 （y - b）2 = r2的展开式是什么？：2 2 2 2 2x y - 2ax - 2by a b - r =0由于 a,b,r 均为常数，故设 D=-2a，E =-2b , F = a2+b2-r 2此方程可写成下面的形式：x2 y2 Dx Ey F = 0故任何一个圆的方程都可以用上式表示。思考：形如的方程表示的曲线一定是圆吗？设计意图：在问题1的基础上由圆的标准方程展开问题引发概念，给学生思考、 探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析和解决问题的能力。（二）深入思考，得出结论方整理可得：2 2(

7、x宁(応)一 d 74F比较圆的标准方程（x-a）如果形如的方程表示的曲线是圆，那么由方程可求出圆心和半径。下面我们配2 22- x 22D2/ E 2 D E 4F+(y-b) =r 与(x )(y )的形式224上式表不表示圆，关键跟 D2 E2 -4F的正负有关。1）当D2 E2 -4F 0时，表示以（-D, -旦）为圆心，以R = 1 D2 E2 -4F为半2 2 2径的圆。22DE2）当D2 E4F =0时，方程只有实数解xr，yr即表示一个点D E3）当D2 E4F 0时，方程没有实数解，因而不表示任何图形综上所 述，方 程x2 y2 Dx Ey F =0表示的曲线 不一定 是圆,

8、只有当 D2 E2 4F . 0时，它表示的曲线才是圆，此时 x2 y2 Dx Ey 0叫圆的一般 方程。表示以(_D,_E)为圆心，R = 1 . D2E2匚4F为半径的圆。2 2 2设计意图：通过本过程，学生实现了对圆的方程更深的理解，实现了对圆的一般 方程的理解。引导学生理解圆的一般方程的意义，真正知道什么情况下表示圆，并理 解为什么。(三) 两相对比，加深理解标准方程：(x-a) 2+(y-b) 2=r2明确指出了圆心和半径。一般方程：x2 y2 Dx Ey F =0突出了形式上的特点1. x2和y2的系数相同，且不等于0。2没有xy这样的二次项。2 23. D E -4F 0设计意图

9、：通过比较，不仅复习了以前的知识，增强了记忆。对今天的新课也有 了更深层次的理解。(四) 知识运用，巩固概念例1 判别下列方程表示什么图形，如果是圆，找出圆心和半径。2 2(1) x+y-2x+4y+1=0(2) x2+y2+2by=0 (b0)例2求过点M(-1,1)，且圆心与已知圆x2 y2 -4x 6y 3=0相同的圆的方程。方法一：利用配方法将其变成圆的标准形式，求出圆心后再求半径。方法二：利用圆的一般方程方程形式求解，由于所求圆与已知圆是同心圆，故可 设所求圆的方程为：x2 y4x 6y F =0，然后将M点代入，利用待定系数法求F。设计意图：本题较简单，学生独立求解，然后教师点评。

10、设计目的是让学生应用 新知，巩固知识，强调圆的标准方程与一般方程方程的相互转化及二元二次方程x2 y2 Dx Ey 0表示圆的条件。同时也增强学生自信，提高兴趣 例3求过三点O （0,0）,M i（1,1）, M 2（4,2）,的圆的方程，并指出圆心和半径。设计意图：让学生通过自主解答，发现困难，教师适时引导，总结出用待定系数 法求圆的一般方程的步骤。通过本小题进一步理解待定系数法这一思想。注：用待定系数法求圆的方程的步骤：（1） 根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；（圆的一般方程与圆的标准方 程在运用上的比较，（1）若知道或涉及圆心和半径，我们一般采用圆的标准方程较简单 若已知三点求圆的

11、方程，我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解）（2）根据条件列出关于a、b、r或D E、F的方程；（3）解方程组，求出a、b、r或D E、F的值，代入所设方程，就得要求的方 程。（五）反馈练习，强化概念教材80页，练习1、（ 2）（4）2.（六）课堂小节，形成体系从知识与方法两个方面进行归纳。（学生先归纳总结，教师补充强调）1 .本节课的主要内容是圆的一般方程，其表达式为x2 y2 Dx Ey F =0，其 特点是：（1）x2和y2的系数相同，且不等于0。（2）没有xy这样的二次项（3）D2 E2 -4F 0表示以（-D,-旦）为圆心，R = Jd2 + E2 _4F为半径的圆。2 2 22

12、. 圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较（1）若知道或涉及圆心和半径，我们一般采用圆的标准方程较简单（2）若已知三点求圆的方程，我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解3. 本节课用的数学思想方法：（1）通过特殊认识一般的思想方法。(2配方法(求圆心和半径).待定系数法(求圆的一般方程)(3) 问题转化和分类讨论的思想(原则是不重复，不遗漏)六作业布置：教材85页A组1、2七板书设计：八、课后练习、巩固新知 一一基础题1. 圆x2 y2 Vx-Gy-BrO的圆心坐标和半径分别为 .2. 若方程x2 y2 -2x 4my-5m = 0表示的图形是圆，贝U m的取值范围是.3. 若圆x2 y2

13、 Dx Ey 0 (D2 E4F - 0)的圆心在直线x y =0上，贝U D、E、F的关系有.4. 已知圆x2 y2-4x-4=0的圆心是P , O是坐标原点，贝U | PO F.5. 过点M (-1, 1)且与已知圆C : x2 y2 -2x 4y -3 =0的圆心相同的圆的方程是。6. 若圆x2 y2 2x 2by b2二0上的点关于直线x 0对称，则b =.7. 过三0(0, 0) , M (1, 1) , N(4, 2)的圆的方程是 .二提高题8. 求过三点A(-1,5) , B(5, 5), C(6, -2)的圆的方程.9. 求圆x2 y2 2x-2y 1=0关于直线x - y 3 =0对称的圆的方程.能力题110. 已知点M(x, y)与两个顶点0(0, 0) , A(3, 0)的距离之比为，那么点M的坐标 满足什么关系？画出满足条件的点 M所形成的曲线.九、教学后记本节课采用“问题探讨教学”和“自主探究式教学”相结合，志在体现学生学习 的主体地位，教学中突出数学思想方法的渗透，引导学生运用了 “通过特殊认识一般” 的思想方法探究新知，利用“待定系数法”与“