系统可靠性分析

1、 (0)1; ( )0RR ( )()F tP Tt (0)0;()1FF (2)失效概率密度失效概率密度是产品在包含是产品在包含t的单的单 位时间内发生失效的概率，是累积失效位时间内发生失效的概率，是累积失效 概率对时间概率对时间t的导数，记作的导数，记作f(t)。可用下式。可用下式 表示：表示： 0 ( ) ( )( )( )( ) t dF t f tF tF tf x dx dt ；或 tn(t) F(t)= N 到 时刻失效的产品数 累积失效概率为： 试验产品总数 (|)P tTtt Tt (|)P tTtt Tt 失效率定义：t时刻完好的产品，在(t,t+ t)时间内失效的概率 (

2、 ) ( ) ( ) F t t R t 失效率: 00 00 0 (|) ( )lim( ,)lim ()() limlim ()() ()( )( ) lim ( )( ) tt tt t P tTtt Tt ttt t P tTttTtP tTtt P TttP Ttt F ttF tF t R ttR t ( ) ( )( ) dF t f tF t dt ( )( )( )( ) ( ) ( )1( )( )( ) F tF tf tR t t R tF tR tR t 失效率: 0 ( )exp( ) t tt dt重要关系式:R 0 ( ) 0 ( )/( ) ( ) ( ) (

3、 ) ( )ln( )( ) t t t dt tR t dR t t dt R t t dtR tR te 由 (t)=-R可得： 将两边积分得： 即： ( )1( )R tF t ( ) ( )( ) dF t f tF t dt 0 ( ) ( ) t t dt t R tee 0 ( )tf t dt 000 0 00 ( )( )( ) ( )|( )( ) tf t dttdF ttdR t tR tR t dtR t dt 1 1 n i i MTTFt n 11 1 j n n ij ij MTTFt N 1 1 N i i t N 所有产品总的工作时间 总的故障数 2 222

4、 00 ( )( )f t dtt f t dt (t- ) 1 22 1 1 1 1 () n i i n i t n t n 2 1 1 1 () n i t n 1 ( )( )t rRr 1 (0.5)(0.5)tR 111 ()()t eRe 习题习题1：一组元件的故障密度函数为：一组元件的故障密度函数为： 0.25 ( )0.25() 8 f tt 式中：式中：t为年。为年。 求：累积失效概率求：累积失效概率F(t)，可靠度函数，可靠度函数 R(t)，失效率，失效率(t)，平均寿命，平均寿命MTTF， 中位寿命中位寿命T(0.5)和特征寿命和特征寿命T(e-1)。 习题习题2：已知

5、某产品的失效率为常数，已知某产品的失效率为常数， (t)=(t)=0.25=0.251010-4 -4/h /h。 求：可靠度求：可靠度R=99%的可靠寿命，平均的可靠寿命，平均 寿命寿命MTTF，中位寿命，中位寿命T(0.5)和特征寿和特征寿 命命T(e-1)。 习题习题3：50个在恒定载荷运行的零件，个在恒定载荷运行的零件， 运行记录如下表：运行记录如下表： 求：求：(1)零件在零件在100h和和400h的可靠度；的可靠度；(2)100h和和 400h的累积失效概率；的累积失效概率；(3)求求10h和和25h时的失效时的失效 概率密度；概率密度；(4)求求t=25h和和t=100h的失效率

6、。的失效率。 时间时间h1025501001502504003000 失效数失效数n(t)42375343 累积失效数累积失效数n(t)4691621242831 仍旧工作数仍旧工作数N-n(t) 4644413429262219 习题习题1 1：一组元件的故障密度函数为：一组元件的故障密度函数为： 0.25 ( )0.25() 8 f tt 式中：式中：t为年。求：累积失效概率为年。求：累积失效概率F(t)，可靠度函数，可靠度函数R(t)，失效率，失效率 (t)，平均寿命，平均寿命 ，中位寿命，中位寿命T(0.5)和特征寿命和特征寿命T(e-1)。 答案 解：解： 2 0 2 2 2 00

7、0.25 ( )( )0.25() 16 0.25 ( )1( )1 0.25 16 ( )2 0.25 ( ) ( )8 20.125 0.25 ( )(1 0.25) 16 t F tf x dxtt R tF ttt f tt t R ttt R t dttt dt 8 2 0 0.25 (1 0.25)2.667 16 tt dt 年 上式中不知道上式中不知道是多少，但有是多少，但有R()=0R()=0，即：，即： 2 0.25 1 0.250 16 tt 解得解得t t1 1=t=t2 2=8=8年，表明年，表明8 8年后元件将全年后元件将全 部失效部失效 2 0.5R r 为中位寿

8、命，即： 0.25 0.5=1-0.25r+ 16 解得解得r r1 1=2.243=2.243年年(r(r2 2=13.66=13.66 年年88年舍去年舍去) )。 2 0.368R r 为特征寿命，即： 0.25 0.368=1-0.25r+ 16 解得解得r r1 1=3.147=3.147年年(r(r2 2=12.85=12.85 年年88舍去舍去) )。 习题习题2 2：已知某产品的失效率为常数，已知某产品的失效率为常数， (t)=0.25(t)=0.251010-4 -4/h /h。 求：可靠度求：可靠度R=99%的可靠寿命，平均寿命的可靠寿命，平均寿命 ，中，中 位寿命位寿命T

9、(0.5)和特征寿命和特征寿命T(e-1)。 解：解：0 ( ) ( ) 1 ln( ) t t dt t R tee tR t 4 4 1 4 00 1 (0.99)ln(0.99)402 0.25 10 1 (0.5)ln(0.5)27725.6 0.25 10 1 ()ln(0.368)40000 0.25 10 1 ( )40000 t th th t eh R t dtedth 可靠性寿命 中位寿命 特征寿命 平均寿命： 习题习题3 3：5050个在恒定载荷运行的零件，运行记录如下表：个在恒定载荷运行的零件，运行记录如下表： 求：求：(1)零件在零件在100h和和400h的可靠度；的

10、可靠度；(2)100h和和400h的累积失效概率；的累积失效概率； (3)求求10h和和25h时的失效概率密度；时的失效概率密度；(4)求求t=25h和和t=100h的失效率。的失效率。 时间h1025501001502504003000 失效数n(t)42375343 累积失效数n(t)4691621242831 仍旧工作数N-n(t) 4644413429262219 解：解：(100)34 (100) 0.68 50 ( 400)22 (400) 0.44 50 (100) (100) 16/500.32 (400) (400) 28/500.56 Nn t R N Nn t R N n

11、 F N n F N 3 3 3 3 (10)2 (10) 2.67 10 / 50(25 10) (25)3 (25) 2.4 10 / 50(50 25) (25)3 (25) 2.7 10 / (25)44(50 25) (100)5 (100) 2.9 10 / (100)34(150 100) n fh N t n fh N t n h Nnt n h Nnt 要点：要点：f(t)f(t)、 (t)(t)是研究是研究t t时间后单位时间的失效产品数，时间后单位时间的失效产品数， f(t) f(t) 是除是除 以试验产品总数，以试验产品总数，(t)(t)是除以是除以t t时仍正常工作的

12、产品数。注意单位。时仍正常工作的产品数。注意单位。 维修性定义：维修性定义：维修性是指在规定的条件下使用的维修性是指在规定的条件下使用的 可维修产品，在规定的时间内，按规定的程序和可维修产品，在规定的时间内，按规定的程序和 方法进行维修时，保持或恢复到能完成规定功能方法进行维修时，保持或恢复到能完成规定功能 的能力。的能力。-对应产品应可靠性对应产品应可靠性 维修性特征量有三个：维修性特征量有三个： 维修度维修度M(t)M(t)； 修复率修复率(t)(t)； 平均修复时间平均修复时间MTTRMTTR。 把产品维修时间把产品维修时间Y Y所服从的分布称为维修分布，所服从的分布称为维修分布， 记为

13、记为G(t)G(t)。维修度是指在规定的条件下使用的产品。维修度是指在规定的条件下使用的产品 发生故障后，在规定的时间发生故障后，在规定的时间(0(0，t)t)内完成修复的概内完成修复的概 率，记为率，记为M(t)M(t)。 ( )()( )M tP YtG t 维修度维修度(Maintainability)(Maintainability)定义定义 维修度是时间维修度是时间(维修时间维修时间t)的函数，故又称为维修度函数的函数，故又称为维修度函数 M(t)，它表示当它表示当t=0时，处于失效或完全故障状态的全部产品时，处于失效或完全故障状态的全部产品 在在t时刻前经修复后有百分之多少恢复到正

14、常功能的累积概率。时刻前经修复后有百分之多少恢复到正常功能的累积概率。 所以维修度所以维修度M(t)对应产品的累积失效概率对应产品的累积失效概率F(t) ( ) ( ) dM t m t dt 修复率指修理时间已达到某一时刻但尚未修复修复率指修理时间已达到某一时刻但尚未修复 的产品在该时刻后的单位时间内完成修理的概率，的产品在该时刻后的单位时间内完成修理的概率， 可表示为可表示为(t)(t)。-对应于产品的失效率对应于产品的失效率(t)(t)。 ( ) 1( )( ) 1( )1( ) t t dM tm t M tdtM t 时刻单位时间的维修度(M(t) 尚未修复部分(1-M(t) 修复率

15、定义修复率定义 维修度维修度M(t)对应产品的累积失效概率对应产品的累积失效概率F(t) ，m(t)为维修时为维修时 间的概率密度函数。间的概率密度函数。-对应于产品的失效概率密度对应于产品的失效概率密度f(t)。 ( )1, 1( ) ( ) 1( ) t M te dM t t M tdt 如果服从指数分布 平均修复时间是指可修复的产品的平均修理时间，其估计平均修复时间是指可修复的产品的平均修理时间，其估计 值为修复时间总和与修复次数之比，记作值为修复时间总和与修复次数之比，记作MTTR(Mean Time To MTTR(Mean Time To Repair)Repair)。-对应于可

16、修产品的平均工作时间对应于可修产品的平均工作时间( (平均寿命平均寿命)MTBF)MTBF。 0 ( )MTTRtdM t 平均修复时间平均修复时间(MTTR)定义定义 1 MTTR 如果维修时间服从指数分布 0 ( )MTBFR t dt 0 ( ), 1 ( ) t R te MTBFR t dt 如果服从指数分布 两个重要规律两个重要规律 ( )1 t M te 如果M(t)服从指数分布, 项目项目可靠度可靠度维修度维修度 累积分布函数累积分布函数可靠度函数可靠度函数R(t)1-M() 不可靠度函数：不可靠度函数：F(t)维修度函数：维修度函数：M() 密度函数密度函数失效密度失效密度f

17、(t)=dF(t)/R(t)维修概率密度维修概率密度 m()=dM()/d (单位时间单位时间)率率失效率失效率(t)=f(t)/R(t)修复率修复率 ()=m()/1-M() 可靠度与维修度之间的关系可靠度与维修度之间的关系 R(t)及F(t) (%) 100% R(t) F(t) M(t) M(t) 100% 可靠度或不可靠度可靠度或不可靠度维修度维修度 平均修平均修 复时间复时间 例题： 有效性定义：有效性定义：有效性也称可用性，表示可维修产品在规有效性也称可用性，表示可维修产品在规 定的条件下使用时具有维持规定功能的能力。规定条件包定的条件下使用时具有维持规定功能的能力。规定条件包 括

18、产品的工作条件和维修条件。有效性是一个反映可维修括产品的工作条件和维修条件。有效性是一个反映可维修 产品使用效率的广义可靠性尺度。产品使用效率的广义可靠性尺度。 2.2.3 有效度和可用度有效度和可用度 有效度定义：有效度定义：有效度有效度(也叫可用度也叫可用度)是指可维修的产品在是指可维修的产品在 规定的条件下使用时，在某时刻具有或维持其功能的概率。规定的条件下使用时，在某时刻具有或维持其功能的概率。 对于不可维修的产品，有效度等于可靠度。对于不可维修的产品，有效度等于可靠度。 有效度是时间的函数，故又可称为有效度函数，记为有效度是时间的函数，故又可称为有效度函数，记为 A(t)。它又分为瞬

19、时有效度、平均有效度、稳态有效度和。它又分为瞬时有效度、平均有效度、稳态有效度和 固有有效度四形式。固有有效度四形式。 1 、瞬态有效度、瞬态有效度 瞬态有效度定义：瞬态有效度定义：瞬态有效度指在某一特定瞬时，可维瞬态有效度指在某一特定瞬时，可维 修的产品保持正常工作的概率，又称瞬时利用率，记为修的产品保持正常工作的概率，又称瞬时利用率，记为A(t)。 瞬时有效度常用于理论分析，而不便用于实践。瞬时有效度常用于理论分析，而不便用于实践。 平均有效度定义：平均有效度定义：平均有效度是指可维修产品在一时间平均有效度是指可维修产品在一时间 区间的平均值。区间的平均值。又称任务有效度又称任务有效度。

20、2 、平均有效度、平均有效度 0 0, ( ) t t A t dt 在时间的有效度为： 1 A(t)= t 2 1 12 1 , ( ) t t t t A t dt t 2 在时间的有效度为： 1 A(t)= t 3 、稳态有效度、稳态有效度 稳态有效度定义：稳态有效度定义：稳态有效度是时间稳态有效度是时间t趋近于趋近于的瞬时有的瞬时有 效度。记为效度。记为A()或或A，又称为时间有效度或可工作时间比。，又称为时间有效度或可工作时间比。 ( ) UMTBF AA UDMTBFMTTR 可工作时间 可工作时间不能工作时间 U可维修产品平均能正常工作的时间，单位为可维修产品平均能正常工作的时间

21、，单位为h；D产品平均不能工作的产品平均不能工作的 时间，时间，h；MTBF可修产品平均无故障工作时间；可修产品平均无故障工作时间；MTTR可修产品的平可修产品的平 均修理时间，即平均修复时间。均修理时间，即平均修复时间。 t e A - t 指数分布可靠度：R(t)=,维修度：M(t)=1-e， 稳态有效度为： 1 MTTR 0 1 ( )MTBFR t dt 4 、固有有效度、固有有效度 固有有效度是事后维修，它分析的是实际不能工作的固有有效度是事后维修，它分析的是实际不能工作的 时间。时间。 MTBF A MTBFMADT 可工作时间 可工作时间实际不能工作时间 MADT(mean ac

22、tive down time)平均实际不能工作的时间。平均实际不能工作的时间。 其与稳态有效度的区别：其与稳态有效度的区别：稳态有效度是时间稳态有效度是时间t趋近于趋近于的的 瞬时有效度。瞬时有效度。 ( ) UMTBF AA UDMTBFMTTR 可工作时间 可工作时间不能工作时间 瞬时有效度、平均有效度瞬时有效度、平均有效度(即任务有即任务有 效度效度)和稳态有效度之间的关系。和稳态有效度之间的关系。 习题习题4：一设备从以往的经验知道，平均无故障时一设备从以往的经验知道，平均无故障时 间为间为20天，如果出了故障需天，如果出了故障需2天方能修复，假定该天方能修复，假定该 设备发生故障时间

23、及修复时间服从指数分布。设备发生故障时间及修复时间服从指数分布。 求：求：(1)该设备该设备5天和天和15天的可靠度各为多少天的可靠度各为多少?； (2)该设备的稳态有效度为多少该设备的稳态有效度为多少? 1 MTTR 如果维修时间服从指数分布，有 0 ( ), 1 ( ) t R te MTBFR t dt 如果服从指数分布 提示：提示： 习题习题4答案：答案：一设备从以往的经验知道，平均无故障时间一设备从以往的经验知道，平均无故障时间 为为20天，如果出了故障需天，如果出了故障需2天方能修复，假定该设备发生天方能修复，假定该设备发生 故障时间及修复时间服从指数分布。故障时间及修复时间服从指

24、数分布。 求：求：(1)该设备该设备5天和天和15天的可靠度各为多少天的可靠度各为多少?；(2)该设备该设备 的稳态有效度为多少的稳态有效度为多少? 解：解： (1)该设备平均无故障时间时间为该设备平均无故障时间时间为20天，即天，即MTBF=20 因因MTBF=1/，=1/20； 同理平均修复时间为同理平均修复时间为2天，天，MTTR=1/，=1/2 R(5)=exp(- t)=exp(-5/20)=0.779 R(15)=exp(- t)= exp(-15/20)=0.472 (2)A= /(+)=0.909或或A=MTBF/(MTBF+MTTR)=20/22=0.909 稳态有效度定义稳

25、态有效度定义 ( ) UMTBF AA UDMTBFMTTR 可工作时间 可工作时间不能工作时间 2.4.1 随机事件随机事件 随机事件的定义：随机事件的定义：凡是事先不能确定结果的现象称凡是事先不能确定结果的现象称 随机现象，我们将一定条件下可能发生也有可能不发生随机现象，我们将一定条件下可能发生也有可能不发生 的事件称为随机事件。随机事件的一个基本结果称为基的事件称为随机事件。随机事件的一个基本结果称为基 本事件，随机事件的若干个结果也可组成一个事件，这本事件，随机事件的若干个结果也可组成一个事件，这 种事件称为复合事件种事件称为复合事件(如从扑克牌中抽一张，抽出如从扑克牌中抽一张，抽出1

26、、 2、.、或、或13等都是基本事件，抽出偶数牌是复合事件等都是基本事件，抽出偶数牌是复合事件)。 在一定的条件下，必然会发生的事件是必然事件，在一定的条件下，必然会发生的事件是必然事件， 记为记为 ；一定不可能发生的事件为不可能事件，记为；一定不可能发生的事件为不可能事件，记为 。 2.4.2 随机事件的概率随机事件的概率 概率的统计定义：概率的统计定义：假定在相同条件下进行假定在相同条件下进行n次重复试验，次重复试验， 事件事件A发生了发生了k次，当试验次数次，当试验次数n趋向无穷时，发生频率的极趋向无穷时，发生频率的极 限定义为事件限定义为事件A发生的概率，记为发生的概率，记为P(A)。

27、 随机事件就其单独一次试验的结果是无法确定的，但只随机事件就其单独一次试验的结果是无法确定的，但只 要同样的试验在同一条件下重复多次，各种结果出现的次数要同样的试验在同一条件下重复多次，各种结果出现的次数 占总次数的比例将会趋近于一个稳定的数值，占总次数的比例将会趋近于一个稳定的数值，这是平稳随机这是平稳随机 过程及随机现象的一个重要特征。过程及随机现象的一个重要特征。 ( )lim n k P A n 2.4.3 事件间的关系与运算事件间的关系与运算 1、事件间的关系、事件间的关系 如果事件如果事件A包含事件包含事件B，且事件，且事件B包含事件包含事件A，则称事件，则称事件A 与与B相等。记

28、为相等。记为A=B。 BAAB或 (1)包含与相等关系：如果事件包含与相等关系：如果事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生，发生， 则称事件则称事件B包含事件包含事件A，即：，即： (2)事件的和：事件的和：“n个事件个事件A1，A2，An中至少有一个发生中至少有一个发生” 这一事件，称为这一事件，称为Al，A2，An的和事件。记为：的和事件。记为： 12nk AAAA n k=1 ，简记为： (3)事件的积：事件的积：“n个事件个事件A1，A2， An同时发生同时发生”，称为，称为Al，A2，An的的 积事件。记为：积事件。记为： 12nk AAAA n k=1 ，简记为： (4)事件

29、的差：事件的差：“事件事件A发生，但事发生，但事 件件B不发生不发生”，称为事件，称为事件A与与B的差。的差。 记为：记为：A-B (5)对立事件或逆事件：对立事件或逆事件：“事件事件A不不 发生发生”，称为事件，称为事件A的对立事件或逆的对立事件或逆 事件。记为：事件。记为： A AAAA (6)互斥事件或互不相容事件：互斥事件或互不相容事件： “如果事件如果事件A和事件和事件B不能同时发不能同时发 生生”，称事件，称事件A与与B是互不相容事是互不相容事 件件(互斥事件互斥事件)，有，有AB= 。 事件间的运算规律事件间的运算规律 1、概率的加法公式、概率的加法公式 设设A与与B是任意两个事

30、件，则是任意两个事件，则 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 特别地：特别地： (1)()1( )AAP AP A若 是 的对立事件，则： (2)当当A与与B为互不相容事件：为互不相容事件：P(AB)=P( )=0，P(A+B)=P(A)+P(B) 推广到推广到n维，若维，若A1、A2、A3、An为互不相容事件，有：为互不相容事件，有： 12 1 ()() n nk k P AAAP A 例题：例题： 2、条件概率公式、条件概率公式 设设A与与B是任意两个事件，如果是任意两个事件，如果P(B)0，P(A|B)(在事在事 件件B发生的条件下，发生的条件下，A事件发生的概率事件发生的概率

31、)为为 () (|) ( ) P AB P A B P B 特别地：特别地： (|)( )ABP A BP A如果，有 3、概率的乘法公式、概率的乘法公式 设设A与与B是任意两个事件，如果是任意两个事件，如果P(B)0，由条件概率公，由条件概率公 式：式：P(A|B)=P(AB)/P(B)， ()( ) (|)P ABP B P A B 对于对于A，B，C 三个事件：三个事件： ()( ) ( )P ABP A P B ()( ) (|) (|)P ABCP A P B A P CAB 特别地：特别地： (1)如果如果A与与B相互独立相互独立(事件事件A的发生不受事件的发生不受事件B的影响，的

32、影响， 事件事件B的发生也不受事件的发生也不受事件A的影响的影响)， (2)当事件当事件A1,A2,An相互独立，概率的乘法公式可相互独立，概率的乘法公式可 推广到推广到n维维 1212 (.)() (). () nn P A AAP A P AP A 概率概率 乘法乘法 公式公式 例题： 例题： 4、全概率公式、全概率公式 如果事件如果事件A1,A2,An满足：满足： (1) A1,A2,An两两互不相容，且两两互不相容，且P(Ai)0(i=1,2,n) (2) A1+A2+An= 即即A的全事件的全事件 对于任一事件对于任一事件B都有：都有： 1 ( )() (|) n ii i P BP

33、 A P B A 全概率公式的常用形式：全概率公式的常用形式： ( )( ) (|)() (|)P BP A P B AP A P B A 重要重要 公式公式 在实际应用中，如果能分析一个事件的发生是由几种原因引起的，或在实际应用中，如果能分析一个事件的发生是由几种原因引起的，或 者说该事件的发生受到几种因素的影响，并且这几种原因或因素构成了一者说该事件的发生受到几种因素的影响，并且这几种原因或因素构成了一 个完备事件组，那么可考虑使用全概率公式。只要知道了各种原因个完备事件组，那么可考虑使用全概率公式。只要知道了各种原因Ai发生发生 条件下事件条件下事件B发生的概率，该事件发生的概率，该事件

34、B的概率就可通过全概率公式求得。的概率就可通过全概率公式求得。 5、贝叶斯公式、贝叶斯公式(逆概率公式逆概率公式) 设事件设事件 A1,A2,An为一完备事件，为一完备事件，B为任一事件，且为任一事件，且 P(B)0，则：，则： 1 () (|) (|) () (|) jj jn ii i P AP B A P AB P A P B A 证明：证明： () (|) ( ) P AB P A B P B 由条件概率公式： () (|) ( ) j j P A B P AB P B :()( ) (|)P ABP B P A B乘法公式 () ( ) j P BA P B ()()P ABP BA

35、交换律： () (|) ( ) jj P AP B A P B 1 () (|) () (|) jj n ii i P AP B A P A P B A 1 ( )() (|) n ii i P BP A P B A 全概率公式： 贝叶斯公式所解决的技术问题贝叶斯公式所解决的技术问题 1 () (|) (|) () (|) jj jn ii i P AP B A P AB P A P B A 贝叶斯公式解决：贝叶斯公式解决：如果已知各种原因的概率如果已知各种原因的概率(A(Aj j) )，设在，设在 随机试验中该事件随机试验中该事件B B已发生，问在这个条件下，各种原因已发生，问在这个条件下，

36、各种原因A Aj j 发生的概率是多少发生的概率是多少? ? 如在可靠性工程中，已知某产品有如在可靠性工程中，已知某产品有n n种故障模式种故障模式A1A1， A2A2，AnAn，知道各故障模式发生的概率，知道各故障模式发生的概率P(AP(Aj j) )，现在该，现在该 产品发生了故障产品发生了故障( (事件事件B)B)，那么是故障模式，那么是故障模式A Ai i引起的概率引起的概率 是多少是多少? ?在这在这n n种故障模式中，最大可能的是哪种故障模式种故障模式中，最大可能的是哪种故障模式 引起的引起的? ? 例题： 贝叶斯公式贝叶斯公式 1 () (|) (|) () (|) jj jn

37、ii i P AP B A P AB P A P B A 概率运算公式汇总表概率运算公式汇总表 2.5 随机变量的概率分布及其数字特征随机变量的概率分布及其数字特征 2.5.1 随机变量的概念随机变量的概念 在实际问题中，常用的随机变量有在实际问题中，常用的随机变量有离散型随机变量离散型随机变量和和连连 续型随机变量续型随机变量两种类型：两种类型： (1)如果随机变量所可能取的值能够一一列出来，即它的如果随机变量所可能取的值能够一一列出来，即它的 取值是有限个或无限个但可列出来，则称取值是有限个或无限个但可列出来，则称X为离散型随机变为离散型随机变 量。如掷骰子，出现的点数量。如掷骰子，出现的

38、点数X是能够一一列出来的是能够一一列出来的(X=1， X=2，X=6)，X是一个离散型随机变量。是一个离散型随机变量。 (2)如果随机变量如果随机变量X的所有可能取值充满某个区间的所有可能取值充满某个区间(a,b）。）。 a可以是可以是-，b可以是可以是+ ，则称，则称X为连续型随机变量。如一为连续型随机变量。如一 批零件的测量直径，规定其偏差不超过批零件的测量直径，规定其偏差不超过1mm，则偏差是一个，则偏差是一个 连续型随机变量。连续型随机变量。 2.5.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 1、分布律、分布律 对于离散型随机变量对于离散型随机变量X，其概率分布就是指它的概

39、率，其概率分布就是指它的概率 分布律，简称分布律。离散型随机变量分布律，简称分布律。离散型随机变量X的一个可能取值，的一个可能取值， 它取该值的概率为它取该值的概率为pi，则，则X的分布律可用下式表示：的分布律可用下式表示： () ii P Xxp 离散型随机变量离散型随机变量X的分布律满足以下两条性质：的分布律满足以下两条性质： (1)X的每个取值的概率的每个取值的概率A非负；非负； (2)X的所有可能取值对应的概率之和为的所有可能取值对应的概率之和为1，即，即pi=1。 判断离判断离 散型随散型随 机变量机变量 的条件的条件 例题例题 ,1,2,3,;0 ! k CCk k k 取什么值，

40、实数列p 成为分布律？ 解：必须满足两个条件解：必须满足两个条件: (1)pk 0； (2) 1 k k p 110 1 1 1(1)(1) ! (1)0 (1) kk k KKk k pCCC e kk Cep Ce 得；且 即其条件是 0 ! k k e k 2、累积分布函数或分布函数、累积分布函数或分布函数 累积分布函数定义：累积分布函数定义：X取值不大于取值不大于x的概率为累积分布函数的概率为累积分布函数 或分布函数，离散型随机变量或分布函数，离散型随机变量X的分布函数可表示为：的分布函数可表示为： ( )()() i i xx F xP XxP xx 离散型随机变量的分布函数离散型随

41、机变量的分布函数F(x)具有以下三条性质：具有以下三条性质： (1)F(x)是不连续的，是一个非减的跳跃函数；是不连续的，是一个非减的跳跃函数； (2)F(- )=0，F(+ )=1; (3) 0F(x)1。 例如：例如： 2.5.3 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布 1、分布密度函数、分布密度函数 连续型随机变量的取值充满某个区间连续型随机变量的取值充满某个区间(a，b)，可，可 以证明：连续型随机变量取任一确定值的概率为以证明：连续型随机变量取任一确定值的概率为0，即，即 P(X=c)=0，c(a,b)。因此连续型随机变量的概率分布。因此连续型随机变量的概率分布 就不能用分

42、布律来描述。实际上，所以我们只有知道就不能用分布律来描述。实际上，所以我们只有知道 X在任一区间上取值的概率，才能掌握其概率分布规在任一区间上取值的概率，才能掌握其概率分布规 律，所以必须引入分布密度函数的概念。律，所以必须引入分布密度函数的概念。 例题：如何根据试验得出系统分布密度函数例题：如何根据试验得出系统分布密度函数 移移0.5避免落在边界上避免落在边界上 例题：如何根据试验得出系统分布密度函数例题：如何根据试验得出系统分布密度函数(续续) 连续型分布密度函数的性质连续型分布密度函数的性质(判断密度函数的条件判断密度函数的条件) (1)( )0 (2)( )1 f x f x dxf

43、xx ，即概率密度曲线 ( )与 轴所形成的面积为1 分布密度函数分布密度函数f(x)在任一点在任一点xo 处的函数值处的函数值f(xo)不是概率而是分布不是概率而是分布 密度。密度。 随机变量随机变量X落在一个区间落在一个区间a,b 上的概率等于分布密度函数上的概率等于分布密度函数f(x)在在 该区间上的定积分，即该区间上的定积分，即 ()( ) b a P aXbf x dx 2、连续型随机变量分布函数、连续型随机变量分布函数 ( )()( ) x F xP Xxf t dt 由右图不难得出：由右图不难得出： ()( ) 22 xx P xXxf xx ()( )( )( ) b a P

44、aXbf t dtF bF a 如果如果x x较小较小 2.5.4 随机变量的数字特征随机变量的数字特征-均值与方差均值与方差 在可靠性工程中，常用的数字特征为数在可靠性工程中，常用的数字特征为数 学期望学期望(平均值平均值)与方差。如平均寿命与方差。如平均寿命MTBF就就 是产品寿命的平均值，寿命方差是产品寿命与是产品寿命的平均值，寿命方差是产品寿命与 平均寿命之间的离差。数学期望反映了随机变平均寿命之间的离差。数学期望反映了随机变 量取值的平均值，而方差则反映了随机变量的量取值的平均值，而方差则反映了随机变量的 各个取值与平均值的离散程度。各个取值与平均值的离散程度。 2、数学期望、数学期

45、望(均值均值) 设设X是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为P(X=xi)=pi (i=1，2，)，如果和，如果和xipi存在，则称存在，则称xipi为为X的数学的数学 期望，记为期望，记为E(X)。即。即: ()() iiii ii E Xx P Xxx p 设设X X是连续型随机变量，其分布密度为是连续型随机变量，其分布密度为f(x)， (f(x) 0)，如果：，如果： ( )( )xf x dxxf x dxX 存在，则称为 的数学期望 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 2、方差与标准差、方差与标准差 设

46、设X是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为P(X=xi)=pi (i=1，2，)，则，则X的方差的方差D(X)为为: 22 ()()()() iiii ii D XxE XP XxxE Xp 设设X X是连续型随机变量，其分布密度为是连续型随机变量，其分布密度为f(x)， (f(x) 0)，则，则X X的方差为：的方差为： 2 ()()( )D XxE Xf x dx 离散型随机变量的方差与标准差离散型随机变量的方差与标准差 连续型随机变量的方差与标准差连续型随机变量的方差与标准差 D(x)的平方为的平方为X的标准差或均方差。无论是离散型随机变的标准差或均方差。无论是离散型随

47、机变 量或连续型随机变量，计算方差有一个较为简便的公式。量或连续型随机变量，计算方差有一个较为简便的公式。 22 ()()( ()D XE XE X 例题例题 2 方差计算 简易公式 2.6 可靠性中常见的概率分布可靠性中常见的概率分布 2.6.1 二项分布二项分布(离散型离散型) 二项分布所解决的问题：二项分布所解决的问题： 二项分布适用于一次试验中只能出现两种结果的场合，二项分布适用于一次试验中只能出现两种结果的场合， 如成功与失败，或命中与未命中，次品与合格品等，这两种如成功与失败，或命中与未命中，次品与合格品等，这两种 结果的事件分别用结果的事件分别用A与与 表示，设它们发生的概率分别

48、为表示，设它们发生的概率分别为 P(A)=p，P( )=1-p，现在独立地重复做，现在独立地重复做n次试验，那么在次试验，那么在n 次试验中事件次试验中事件A恰好发生恰好发生k次的概率是多少次的概率是多少? 可靠性中常见的概率分布有：二项分布，泊松分可靠性中常见的概率分布有：二项分布，泊松分 布，指数分布，正态分布，截尾正态分布，对数正态布，指数分布，正态分布，截尾正态分布，对数正态 分布和威布尔分布七种，其中二项分布和泊松分布是分布和威布尔分布七种，其中二项分布和泊松分布是 离散型概率分布，后面五种是连续型概率分布。离散型概率分布，后面五种是连续型概率分布。 A A 例如例如 如果用如果用X

49、表示在表示在n次重复试验中事件次重复试验中事件A发生发生 的次数，显然，的次数，显然，X是一个随机变量，是一个随机变量，X的可能取的可能取 值为值为0,1,2,n，则随机变量，则随机变量X的分布律为：的分布律为： ( )( )1( )1 kkn k nn P kC p qpP AqP Ap 随机变量随机变量X的取值不大于的取值不大于k次的累积分布函数为：次的累积分布函数为： 0 ( )() k rrn r n r F kP XkC p q 二项分布的随机变量二项分布的随机变量X的均值和方差为：的均值和方差为： 0 2 0 ()() ()()() n k n k E XkP Xknp D XkE

50、 XP Xknpq 二项分布是一种离散型分布，广泛应用于可靠性二项分布是一种离散型分布，广泛应用于可靠性 和质量控制领域。和质量控制领域。 常用于常用于“有放回有放回”地抽取，进行地抽取，进行 重复试验重复试验(无放回地抽取不是重复试验，如果试验品无放回地抽取不是重复试验，如果试验品 数目大无放回抽取可近似看成是有放回试验数目大无放回抽取可近似看成是有放回试验)，如检，如检 验一批产品是否合格常用二项分布来计算。验一批产品是否合格常用二项分布来计算。 例题例题 2.6.2 泊松分布泊松分布(离散型离散型) () (0,1,2,3,0) ! np ek k n k 在二项式分布中，如果lim常数

51、 ，则二项式分布变为： P(X=k)=， (0,1, ) ! 200.5 k kn k npp qekn k npnp k n 当 很大， 很小时，有：C 其中：，实践表明，当，时，近似程度比较好 随机变量随机变量X的取值不大于的取值不大于k次的累积分布函数为：次的累积分布函数为： 0 ( )() ! r k r F kP Xke r 泊松分布随机变量泊松分布随机变量X的均值和方差是：的均值和方差是： 0 2 0 ()() ()()() k n k E XkP Xk D XkE XP Xk 在可靠性分析中，常用下式在可靠性分析中，常用下式 () ()0,1,2,0 ! k t t P Xkek

52、 k ， 将泊松分布引入与时间的关系，且单位时间产将泊松分布引入与时间的关系，且单位时间产 品失效次数为常数。品失效次数为常数。 例题例题 05次的累次的累 积分布函数积分布函数 习题习题6 6 1 k n Xb aaq q k n n=0 设离散型随机变量 的分布律为P(X=k)=p k=1,2,3, ，则b, 必须满足什么条件？ 提示：等比级数：(aq) 习题习题7 7 1 121 23 11 ()(1),1,2,3,(01) ()() 11 ,| 1,| 1 (1)(1) k nn nn X P Xkppkp E XD X x nxxn xx xx 设随机变量 的分布律为： 求：均值和方

53、差。 习题习题6 6 1 k n Xb aaq q k n n=0 设 离 散 型 随 机 变 量的 分 布 律 为 P(X=k)=p k=1,2,3,， 则 b, 必 须 满 足 什 么 条 件 ？ 提 示 ： 等 比 级 数 ： (aq) 解：必须满足两个条件解：必须满足两个条件: (1)pk 0； (2) 1 k k p 01,2,3, 0 (1) 1 1 1 1 1 k k kk pbk b b b b k i=1i=1i=0 因对所有的成立，故必须b0 且。又 1=pb且必须0 1 故 和0 Y， 表明储备无效，系统也失效，此时系统的寿命就是工作单元表明储备无效，系统也失效，此时系统

54、的寿命就是工作单元 1的寿命的寿命X1；当工作的单元；当工作的单元1失效时，储备单元失效时，储备单元2未失效，即未失效，即 X120%；B级是有时发生的，级是有时发生的，10%K 20%；C级是偶然发生的，级是偶然发生的，1K10%；D级是很少发级是很少发 生的，生的，0.1%K1%；E级是极少发生的，级是极少发生的，K1，所，所 以以系统在考虑了相关故障之后，系统在考虑了相关故障之后， 系统的平均寿命通常会减少，系统的平均寿命通常会减少， 可靠性也通常降低可靠性也通常降低。 相同单元组成的并联系统相同单元组成的并联系统 考虑不同故障模式影响的可靠性分析考虑不同故障模式影响的可靠性分析 当考虑

55、了两种故障模式当考虑了两种故障模式(如短路或断路如短路或断路)，若不，若不 采取适当的防护措施，则某种故障模式可能会影采取适当的防护措施，则某种故障模式可能会影 响工作单元。例如串联电路中，断路模式可能会响工作单元。例如串联电路中，断路模式可能会 使工作单元不工作，而并联电路中，短路模式会使工作单元不工作，而并联电路中，短路模式会 使工作单元不工作。使工作单元不工作。 考虑不同故障模式影响的可靠性分析考虑不同故障模式影响的可靠性分析 考虑不同故障模式影响的可靠性分析考虑不同故障模式影响的可靠性分析 考虑不同故障模式影响的可靠性分析考虑不同故障模式影响的可靠性分析 考虑不同故障模式的并联系统，当

56、每个单元都相同，不同考虑不同故障模式的并联系统，当每个单元都相同，不同p0， 不同不同Ps时，系统可靠度模拟分析：时，系统可靠度模拟分析： 考虑故障模式影响时，并联考虑故障模式影响时，并联 单元个数与系统可靠度规律单元个数与系统可靠度规律 结论：结论：系统中引系统中引 入短路和断路模入短路和断路模 式后，增加并联式后，增加并联 单元可能会降低单元可能会降低 系统的可靠度。系统的可靠度。 3 典型的系统可靠性模型典型的系统可靠性模型 典型系统的可靠性模型有串联结构、并联结构、串并典型系统的可靠性模型有串联结构、并联结构、串并 混合结构、表决及复杂结构等多种类型。混合结构、表决及复杂结构等多种类型

57、。 串并联基本模型的对偶性串并联基本模型的对偶性 串联模型和并联模型是两种最基本的可靠性模型。可串联模型和并联模型是两种最基本的可靠性模型。可 以看出，串联系统和并联系统恰好构成一个互逆的关系，以看出，串联系统和并联系统恰好构成一个互逆的关系， 也称为相互对偶性。也称为相互对偶性。 例题：复杂结构可靠性分析例题：复杂结构可靠性分析 已知下图中各部件可靠度均为已知下图中各部件可靠度均为R0=0.9，用全概率分解，用全概率分解 法求系统的可靠度。法求系统的可靠度。 全概率公式全概率公式 ()( ) (|)() (|)P KP A P KAP A P KA 4.3 可靠性指标分配可靠性指标分配 4.

58、2.1 概述概述 可靠性指标分配是可靠性设计中不可缺少的一部分，可靠性指标分配是可靠性设计中不可缺少的一部分， 也是可靠性工程的决策性问题。它使工程技术人员明确自也是可靠性工程的决策性问题。它使工程技术人员明确自 己所负责设计的产品应该达到的可靠性指标并从一开始设己所负责设计的产品应该达到的可靠性指标并从一开始设 计就应将相应的保证产品可靠性指标的措施计就应将相应的保证产品可靠性指标的措施“设计设计”到产到产 品中去。品中去。 1、可靠性指标分配的定义、目的、可靠性指标分配的定义、目的 可靠性指标分配是指根据系统设计任务书中规定的可可靠性指标分配是指根据系统设计任务书中规定的可 靠性指标靠性指

59、标(经过论证和确定的可靠性指标经过论证和确定的可靠性指标)，按照一定的分，按照一定的分 配原则和分配方法，合理的分配给组成该系统的各分系统、配原则和分配方法，合理的分配给组成该系统的各分系统、 设备、单元和元器件，并将它们写入相应的设计任务书或设备、单元和元器件，并将它们写入相应的设计任务书或 经济技术合同中。经济技术合同中。 可靠性指标分配的目的可靠性指标分配的目的 可靠性指标分配的目的就是使各级设计人员明确产可靠性指标分配的目的就是使各级设计人员明确产 品可靠性设计的要求，将产品的可靠性定量要求分配到品可靠性设计的要求，将产品的可靠性定量要求分配到 规定的层次中去，通过定量分配，使整体和部

60、分的可靠规定的层次中去，通过定量分配，使整体和部分的可靠 性定量要求协调一致。并把设计指标落实到产品相应层性定量要求协调一致。并把设计指标落实到产品相应层 次的设计人员身上，用这种定量分配的可靠性要求估计次的设计人员身上，用这种定量分配的可靠性要求估计 所需的人力、时间和资源，以保证可靠性指标的实现。所需的人力、时间和资源，以保证可靠性指标的实现。 可靠性指标分配实质可靠性指标分配实质 2、可靠性指标分配准则、可靠性指标分配准则 如果对分配没有任何约束条件，上式有无数个解。在进行可靠性如果对分配没有任何约束条件，上式有无数个解。在进行可靠性 分配时需遵循下面几条准则，通过一定的约束实现唯一解或