一元函数积分学-二重积分概念

1、一元函数积分学-二重积分概念 一元函数积分学一元函数积分学 多元函数积分学多元函数积分学 重积分重积分 曲线积分曲线积分 曲面积分曲面积分 二 重 积 分 推广推广 一元函数积分学-二重积分概念 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 二重积分的概念与性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学-二重积分概念 1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: Dyxyxfz),(, 0),( 底面：底面： xoy 面上的有界闭域 D 顶面顶面: 连续曲面 侧面：侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的

2、柱面 求其体积. D ),(yxfz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 “分割, 近似, 求和, 取 极限” 解法解法: 类似于定积分中求曲边梯形面 积的思想： 一元函数积分学-二重积分概念 D ),(yxfz 1)“分割” 用任意曲线网将区域D分成 n 个区域 n , 21 以它们为底面将曲顶柱体分为 n 个 2)“近似” 在每个 k , ),( kk 3)“求和” n k k VV 1 n k kkk f 1 ),( ),( kk f ),2, 1(),(nkfV kkkk 中任取一点 小曲顶柱体， k ),( kk 机动 目录 上页 下页 返回 结束 体积记作), 2 , 1(,nkV

3、k 则 （用平顶柱体体积近似小曲顶柱体体积） 一元函数积分学-二重积分概念 4)“取极限” 的直径为定义 k kk ,PPPPd 2121 ,max)( 令 )(max 1 k nk d n k kkk fV 1 0 ),(lim ),(yxfz ),( kk f k ),( kk 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学-二重积分概念 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , ,)0)(,(为连续函数yx计算该薄片的质量 M . 度为 ),(),(常数若yx设D 的面积为 , 则 M 现在),(yx非常数 , 仍可用 其面密 “分割,近似,求和, 取极限” 思想解决 1

4、)“分割” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 , 21n 相应地把薄片也分为n 块。 D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x 解： 一元函数积分学-二重积分概念 2)“近似” 中任取一点 k 在每个 ),( kk 3)“求和” n k k MM 1 n k kkk 1 ),( 4)“取极限” )(max 1 k nk d 令 n k kkk M 1 0 ),(lim k ),( kk ),2, 1(),(nkM kkkk 则第 k 小块的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x （用质量均匀分布的薄片质量近似小薄片质量） 一元函数积分学-二重积分概念 两个问题的共性共性： (

5、1) 解决问题的步骤相同 (2) 结果形式相同 “分割, 近似, 求和,取极限” n k kkk fV 1 0 ),(lim n k kkk M 1 0 ),(lim 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学-二重积分概念 k kkk f ),( )(max 1 k nk 记 定义定义:),(yxf设 （）分割：用光滑曲线网将区域 D 任意分成 n 个小区域 ),2,1(nk k （）求和： ,),( kkk n k kkk f 1 ),( 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 小区域面积也记为 作乘积（）近似：任

6、取 （）取极限： 取极限令，0, 若不论区域D 的分法、点),( kk 的取法，和式 ）同一极限值(),( 0 1 If n k kkk 一元函数积分学-二重积分概念 n k kkk D fyxf 1 0 ),(limd),( 积分域被积函数 积分表达式 面积元素 DyxfIDyxf在极限值可积上在闭域则称),(),(称为， D yxfVd),( 即记作上的二重积分,. ),( D yxf 积分和 称为积分变量yx, 引例1中曲顶柱体体积: 引例2中平面薄板的质量: D yxMd),( 一元函数积分学-二重积分概念 任意的. )的取法必须是,的划分，点(对闭域定义中,1 kk D、 必存在.则

7、二重积分 D f(x,y) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ，）、上连续在有界闭域若可积的充分条件2Dyxf),( 则的面积,为上若在DyxfD, 1),(. 3 n k k DD 1 0 limdd1 一元函数积分学-二重积分概念 值。表示曲顶柱体体积的负当 D dyxfyxf),(0),(， 表示曲顶柱体体积。当 D dyxfyxf),(0),(， dyx yx 4 22 22 4：例如 3 16 2 3 4 2 1 3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学-二重积分概念 D yxfkd),(. 1( k 为常数) D yxgyxfd),(),(. 2 21 d),(d)

8、,(d),(. 3 DDD yxfyxfyxf ),( 2121 DDDDD D yxfkd),( DD yxgyxfd),(d),( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学-二重积分概念 特别地, 由于),(),(),(yxfyxfyxf DD dyxfyxf),(d),(则有 则 DD dyxgyxf),(d),( 4. 若在D上),(),(yxgyxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 设),(min),(maxyxfmyxfM DD D 的面积为 , Myxfm D d),( 则有 （二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式） 一元函数积分学-二重积分概念 6. (

9、二重积分的中值定理二重积分的中值定理) 上在闭区域设函数Dyxf),( 使则至少存在一点的面积为连续,),(DD， ),(),(fdyxf D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学-二重积分概念 d)(,d)( 32 DD yxyx 其中 2) 1()2( : 22 yxD 解解: 积分域 D 的边界为圆周 1 yx 3 32 )()(yxyx 2) 1()2( 22 yx 它与 x 轴交于点 (1,0) , .1相切与直线 yx而域 D 位 , 1 yx从而 d)(d)( 32 DD yxyx 于直线的上方, 故在 D 上 1 y 2 xo 1 D 机动 目录 上页 下页 返回

10、 结束 一元函数积分学-二重积分概念 d面积元素1、 因此面积元素这里划分区域, kkk yxD dxdyd （一）直角坐标系下二重积分的计算 线网可用平行于坐标轴的直上可积,在由于Dyxf),( DD dxdyyxfdyxf),(),( , 从而 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学-二重积分概念 2、积分区域的分类 X型区域：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相 交不多于两个交点. Y型区域：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相 交不多于两个交点. 其他一般区域 边界的交点至多为2个平行坐标轴的直线与简单区域 区域 ： ：D 简单区域进一步可分为 机动 目录 上页 下页

11、返回 结束 一元函数积分学-二重积分概念 )( 2 xy a b D )( 1 xy D b a )( 2 xy )( 1 xy X X型区域型区域 X型区域可表示为： )()(,| ),( 21 xyxbxayxD 。上连续在区间其中,)(),( 21 baxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学-二重积分概念 Y Y型区域型区域 Y型区域可表示为： )()(,| ),( 21 yxydycyxD 。上连续在区间其中,)(),( 21 dcyy c d )( 2 yx )( 1 yx D )( 2 yx )( 1 yx D c d 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数

12、积分学-二重积分概念 若区域如图， 3 D 2 D 1 D 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 则必须分割. . 321 DDDD 的计算积分 D dxdyyxf),(3、 思路：转化为二次积分进行计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学-二重积分概念 为顶的曲顶柱体的体积以曲面 为底，的值等于以由于型区域设 ),( ),( yxfz DdyxfXD D ，为 应用计算应用计算“平行截平行截 面面积为已知的立面面积为已知的立 体求体积体求体积”的方法的方法, , a 0 x b z y x )( 0 xA ),( yxfz )( 1 xy )( 2 xy .),(),( )

13、( )( 2 1 b a x xD dyyxfdxdxdyyxf 得得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学-二重积分概念 则有型区域为同理若，YD .),(),( )( )( 2 1 d c y yD dxyxfdydxdyyxf 则有型区域也是型区域为既是若，YXD 机动 目录 上页 下页 返回 结束 .),( ),(),( )( )( )( )( 2 1 2 1 d c y y b a x xD dxyxfdy dyyxfdxdxdyyxf 一元函数积分学-二重积分概念 计算二重积分的一般步骤：计算二重积分的一般步骤： 1、画出积分区域的图形； 2、判断区域D的类型，选择相

14、应的积分次序； 3、划线定限（积分限从小到大），转化为累次 积分； 4、计算积分值； 一元函数积分学-二重积分概念 转化为累次积分.上，将在下列区域 D f(x,y)dD .),( ),(),( 00 0 y Y xD X dxyxfdy dyyxfdxdxdyyxf 型 型 例例2 解：积分区域如图 10,0| ),() 1 (yyxyxD )0 ,(),(),0 , 0(交点 xy y x y o 一元函数积分学-二重积分概念 所围成的闭区域及直线是由抛物线2)2( 2 xyxyD 解解: 积分区域如图积分区域如图 D xy 2 2 xy 2 1 4 o y x y 机动 目录 上页 下页

15、 返回 结束 交点(0,0)，(1,-1)，(4,2) 2 1 2 2 12 1 0 2 ),( ),(),( ),( y y Y x x x x X D dyyxfdx dxyxfdxdxyxfdx dxdyyxf 型 型 一元函数积分学-二重积分概念 ,d D yx其中D 是抛物线xy 2 所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, xyx d D yxd 2 1 dy 2 1 2 2 2 1 d 2 yyx y y 2 1 52 d)2( 2 1 yyyy 1 2 6 1 2 3 4 42 1 623 4 yyy y 8 45 D xy 2 2 xy 2 1 4

16、o y x y 2 y 2y 2 xy 及直线 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学-二重积分概念 但是对某些函数，我们只能选择一种特定的积分顺序 否则可能导致计算无法正常进行。 10 , 1| ),(. 2 xyxyxDde D y 其中计算例例4 解：积分区域如图（既是X型也是Y型） 交点(0,0)，(1,1)，(1,0) （无法计算） 型 . 1 0 1 22 x y D X y dyedxde 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy 1y x y o 一元函数积分学-二重积分概念 1 00 22 y y D Y y dxedyde 型 1 0 2 1 0 1 0 0

17、 222 2 1 |dyeydyedyxe yyyy sin, ln 1 ,sin, 2 2 等一类“不可求积”通常遇到形如 x a x xee x a x )1 ( 2 1 | 2 1 11 0 2 ee y 分次序，积分时，需慎重选取积函数的二重积分或二次 .否则，将导致无法计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学-二重积分概念 ，次序的二次积分对于选择了错误的积分 ., sin 1 2 行计算必须交换积分次序，进例如 1 0 y dxxdy 交换积分次序的解题步骤： (1) 根据积分限画出积分区域的图形 (2) 将原积分转化为二重积分，重新选择积分次序， 转化为新的二次积分进行计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学-二重积分概念 2 xy 2 yx 2 xy 2 yx .),() 1 ( 1 0 x x dyyxfdxI 例例5 交换下列积分的积分次序交换下列积分的积分次序 解：积分区域如图 交点(0,0)，(1,1) .),(),( 1 0 2 y yD dxyxfdydxdyyxfI 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学-二重积分概念 xy 2 2 2xxy 解：积分区域如图 交点(0,0)，(1,1)，(2,0) .),(),( 1 0 2 11 2 y yD