10.3.2相互独立事件的概率乘法公式

1、2021/3/10讲解：XX1 概 率 统计 统计 概率 10.3.2相互独立事件的相互独立事件的概率乘法公式概率乘法公式 2021/3/10讲解：XX2 甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2 个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个 球，它们都是白球的概率是多少？ 我们把“从两个坛子里分别摸出1个球，且从 甲坛子里摸出白球”，叫做事件A,把“从两个坛 子里分别摸出1个球，且从乙坛子里摸出白球”， 叫做事件B。很明显，从一个坛子里摸出的是白 球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率 没有影响。 2021/3/10讲解：XX3 于是有如下定义： 事件A（或B）是否发生对事件B(或A）

2、发生的 概率没有影响，这样的两个事件叫做 。 在上面的问题里，事件 指的是：A “从两个坛子里分别摸出1个球，且从甲坛子里 摸出黑球”； ? 事件 指的是：B “从两个坛子里分别摸出1个球，且从乙坛子里 摸出黑球”； 2021/3/10讲解：XX4 ? “从两个坛子里分别摸出l个球，都是白球”是一个事 件，它的发生就是事件A，B同时发生，我们将它记做 AB。于是需要研究，两个相互独立事件A，B同时发生 的概率P(AB)是多少？ 从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙 坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果。于是从两个坛 子里各摸出1个球，共有5*4种等可能的结果，如下图所 示。 B B

3、AAB 显然， 事件A与 ， 与B， 与 也都是相互独立的. 一般地， 如果事件A与B相互独立，那么A与 ， 与B, 与 也都是相互独立的。 B A A 2021/3/10讲解：XX5 （注：其中每个结果左、右分别表示从甲、乙 坛子里取出球的颜色。） 2021/3/10讲解：XX6 在上面54种结果中，同时摸出白球的结果有 32种，因此，从两个坛子里分别摸出1个球，都 是白球的概率是 P(AB)=（32）/(54) 另一方面，从两个坛子里分别摸出1个球，甲 坛子里摸出白球的概率是 P(A)=3/5 从两个坛子里分别摸出1个球，乙坛子里摸出 白球的概率是 P(B)=2/4 由于（32）/(54)

4、= （3/5）（ 2/4） 2021/3/10讲解：XX7 于是我们就得到 P(AB) = P(A) P(B) 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概 率，等于每个事件发生的概率的乘积。 例2 甲、乙2人各射击1次，如果2人击中目标的 概率都是0.6，求2人都击中目标的概率。 2021/3/10讲解：XX8 解： 记“甲、乙2人各射击1次，甲击中目标” 为事件A， “甲、乙2人各射击1次， 乙击中目标” 为事件B。由于甲（或乙）是否击中，对乙（或甲） 击中的概率是没有影响的。因此A与B是相互独立 事件，又“两人各射击1次，都击中目标”就是事 件AB发生，根据相互独立事件的概率乘法公式， 所求的

5、概率是 P(AB) = P(A) P(B) = 0.6 0.6 = 0.36 答：2人都击中目标的概率是0.36. 2021/3/10讲解：XX9 例3 在一段线路中并联着3个独立控制的常用开 关， 只要其中有1个开关闭合，线路就能正常工作。 假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7， 计算在这段时间内线路正常工作的概率。 分析： 在一段线路中并联着3个独立控制的常 用开关， 只要其中有1个开关闭合，这可以包括恰 有其中1 个开关闭合、恰有其中2个开关闭合、恰有 其中3个开关闭合3种互斥的情况，逐一求其概率较 为麻烦，为此，我们转而先求3 个开关都不闭合的 概率，从而求得其对立事件3个开关至少有1个 能够闭合的概率。 2021/3/10讲解：XX10 解：分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为 事件A，B，C。如下图所示，由题意，这段时间 内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据 独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都 不能闭合的概率是 JB JC JA )()()()(CPBPAPCBAP )(1)(1)(1CPBPAP 2021/3/10讲解：XX11 027. 0 7 . 017 . 017 . 01 于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从 而使线路能正常工作的概率是 973. 0027. 01)(1CBAP 答