[工学]电路原理第九章：拉普拉斯变换法、积分法和状态变量法总复习总结

1、第九章第九章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换、卷积积分卷积积分、状态方程状态方程 主要内容主要内容: (1) 拉氏反变换方法拉氏反变换方法(分解定理分解定理); (2) 运算电路及初始条件的转换运算电路及初始条件的转换; (3) 网络函数及零极点分析网络函数及零极点分析; (4) 卷积积分卷积积分; (5) 状态方程状态方程 613 245 ss F s s sss 例例9-1 求求 的拉普拉斯反变换式。的拉普拉斯反变换式。 F s 031 0 2 1 00 22 6139 24520 613 24 5 5 1 2 42 SS SS ss Ks F s sss s KKKK F s ss s KsF

2、 s ss ss s 2 9 4 K 3 16 5 K 解：解： 的部分分式展开式为：的部分分式展开式为： 同理可得：同理可得： 1245 91916 1 20245 ttt LF seeet 于是：于是： 2222222 312 ( ) 25(1 1 ( 2 (1)212)2 ss F s s sssss ( )cos2sin2 1( ) tt f tetett 22 cos () t s et s 22 sin () t et s 例例9-2 则：则： 上述方法可简化计算。上述方法可简化计算。 利用利用频域位移定理频域位移定理: ( )()()()u ti t RU SRI S 运算电路法

3、运算电路法时域电路转换为对应的运算电路时域电路转换为对应的运算电路 电阻元件电阻元件 R u i R U(s) I(s) 运算阻抗运算阻抗:R 9-4 动态线性电路拉氏变换求解动态线性电路拉氏变换求解 ( )( )() CC I SSCUSCuo 11 ( )( )(0 ) CC USI su SCS 电容元件电容元件 时域电容元件转换为频域电容元件加附加电压源（时域电容元件转换为频域电容元件加附加电压源（初始条件初始条件）。）。 iC C C uC 1 SC ( ) C IS ( ) C US (0 ) C U S ( ) ( ) C dut i tC dt () C uo 等效电路等效电路

4、 运算阻抗运算阻抗: 1 SC 受控源电路受控源电路 R iR r r iR R ( )I S r r ( )I S ( ) ( ) () L LL di t UtLio dt ( )( )() LLL UsLSIsLi o 电感元件电感元件 时域电感元件转换为频域电感元件加附加电压源（时域电感元件转换为频域电感元件加附加电压源（初始条件初始条件）! L iL uL SL( ) L IS ( ) L US (0 ) L Li 运算阻抗运算阻抗:SL 直流电路计算的规律均可应用于运算电路！直流电路计算的规律均可应用于运算电路！ 运算电路仍遵守运算电路仍遵守KCL和和KVL规律规律: 用运算电路解

5、过渡过程问题用运算电路解过渡过程问题: : ( )0I S ( )0U S 1). 画运算电路画运算电路; 2). 激励电源拉氏变换激励电源拉氏变换; 3). 利用利用KVL和和KCL计算电路响应计算电路响应; 4). 利用分解定理解反变换利用分解定理解反变换. ,1 ,( )1( )1( 2 , 1 CS UUCFVttRo ( ) C it( ) C Ut 例例1： 求求 和和。 1 ( ) S Us S 解：运算电路如图解：运算电路如图 iC(t) R Us C C uC () ( ) ( ) 1 C S Uo Us S I S R SC 111 22 ( ) 1 1 1 SS I S

6、S S 1 ( )1( ) 2 C t itet ( ) C IS uC(0-) R Us(S) S SC C 1 1 Uc(S) s s 注意：电容电压应包含初始值部分！注意：电容电压应包含初始值部分！ 1 ( )1 1( ) 2 C t Utet ()1 ( )( ) C C Uo USI S SCS 111 11 222 ( ) (1)(1) C US S SSSS ( ) C IS uC(0-) R Us(S) S SC C 1 1 Uc(S) s s ( )( ),(0 )0 SL Utti ( ),( ). LL u ti t 例例2，求，求: R uL iL L ( ) t 解：

7、运算电路如图解：运算电路如图 R ( ) L I S 1 1 SL UL(S) ( )111 ( ) S Us I S R RSLRSLL S L 1 ( )1( ) L Rt L i tet L （冲击激励情况）（冲击激励情况） ( )( )1 L SLR UsI sSL RSLSLR 1 ( )1, ( )( )1( ) R t L LL R Uttet L R US R L S L R ( ) L I S 1 1 SL UL(S) ( ) ( ) ( ) R S H s E S 9.5 网络函数网络函数 (1) 网络函数的定义：网络函数的定义：电路在单一的独立电路在单一的独立 源激励下，

8、其源激励下，其零状态响应零状态响应( )r t ( )R S ( )e t( )E s ( )H s 的象函数的象函数 与激励源与激励源的象函数的象函数 之比之比 定义为该电路的网络函数定义为该电路的网络函数，即有，即有 H(S)E(S)R(S) 网络函数是信号处理和控制系统中一个十分重要的概念网络函数是信号处理和控制系统中一个十分重要的概念. 网络函数网络函数完全决定了完全决定了系统的输出响应系统的输出响应特性和特性和系统的稳定性系统的稳定性. 1( ) u t 2( ) u t 2 1 1 ( )11 ( ) 11 ( ) US SC H s U SRC RS SCRC 例例1：设：设 为

9、输入，为输入， 为输出，为输出， 图示电路网络函数为图示电路网络函数为 U1(S)U2(S) R 1 SC ( ) t ( )( )( )( ) 1( )R SH SE SH SH S 1）由网络函数定义知，网络函数等于当激励（输入）为单）由网络函数定义知，网络函数等于当激励（输入）为单 位冲击源位冲击源时，输出响应的象函数。时，输出响应的象函数。 2）已知网络函数）已知网络函数 时，任意激励的响应象函数可直接时，任意激励的响应象函数可直接 写出，写出， ( )H S ( )( )( )R SH SE S （经拉氏逆变换可求出响应值）（经拉氏逆变换可求出响应值）. ( )H ssj3）推论）推

10、论1：网络函数：网络函数中令中令，则网络函数，则网络函数 表示了正弦交流稳态电路的输入输出相量关系。表示了正弦交流稳态电路的输入输出相量关系。（频率特性频率特性） 讨论：网络函数完整反映系统的输入输出关系，包含了稳讨论：网络函数完整反映系统的输入输出关系，包含了稳 态和暂态二部分响应特征。态和暂态二部分响应特征。 ( )H s 0s 4）推论）推论2：当：当 中中 令令 时，时， 反映了直流稳态关系。反映了直流稳态关系。 2 1 ( )11 ( ) 1 ( ) 11 1 US H s U SSC R SC RC S RC U1(S)U2(S) R 1 SC 解解: 1 ( ) 1 E S S

11、22 10(1) ( ) (1)4 S R S S 网络函数网络函数 22 ( ) ( ) ( ) 10 (1)4 R S ES H S S 冲击响应冲击响应 2222 1054 (1)42 (1 ( )( ) ( ) )4 R SH S S E S S 5 ( )sin4 1( ) 2 t r ttte 22 ()S sin t et 已知线性系统在已知线性系统在 激励下输出响应为激励下输出响应为 ，求系统的网络函数和冲击响应，求系统的网络函数和冲击响应.( )10cos4 1( ) t r ttte ( )1( ) t e tte例例5： (3) 利用利用网络函数的计算网络函数的计算 P

12、P 1 1 1 2 2 2 1 1( (t t) ) u uo o( (t t) ) ( )i t P P 1 1 1 2 2 2 ( ) t 50 ( )5 t i teA 40 ( )5, t S UteV ( )i t 例例7：如图电路，：如图电路， 100 0( ) (1)1( ) , t U tet V ，若，若 30R 求电阻上电流求电阻上电流 。 ( ) S Ut ( )i t P P 1 1 1 2 2 2 R 1 ( ) S US S 0 11100 ( ) 100(100) Us sss s 0( ) 100 ( ) ( )100 S US H S USS 解：由图（解：由

13、图（a）知，）知， 时，时， 电压转移比电压转移比 5 ( ) 40 S US S 01 500 ( )( )( ) (100)(40) s UsH s Us ss 则则 当当 时，时，开路电压为开路电压为 ( )i t P P 1 1 1 2 2 2 ( ) t 入端运算阻抗为入端运算阻抗为 0( ) ( ) ( ) S US H S US ( )1 S US 0 100 ( ) 100 US S ( )1 S US 5 ( ) 50 D IS S 0( ) 20(50) ( ) ( )100 D USS Z S ISS 又由又由 知，当知，当 时，时， 开路电压开路电压 由图（由图（b）

14、时，短路电流时，短路电流 01 500 (100)(40 2 1 ( 0(50) ( ) 30 ) 100 ) U SSZ S I S S R S 则在图（则在图（c）时输出电流）时输出电流 ( ) S Ut ( )i t P P 1 1 1 2 2 2 R 500500 ( ) (40)303000201000(40)(504000) I S SSSSS 11 44 ( ) 4080 I S SS 4080 1 ( )() 1( ) 4 tt i seet A 10 (40)(80)SS 1 1012 0 1 1012 ()()()( ) ( ) ( )()()() mm mmm nn nn

15、n b sb sbs z s zs zR S H SH E Sa sa sasp spsp i z i p 0 m n b H a 网络函数的零点和极点分析网络函数的零点和极点分析 线性系统网络函数的一般描述线性系统网络函数的一般描述: 为为零点零点，为为极点极点，为为增益系数增益系数。 H(S)E(S)R(S) 1 ,1,1RLH CF 0 22 13 2 ( ) ( )1/ 11 () 13 () 222 S USR USRSLSC RCSS LCSRCS i SS S SiS ( ) S SU R SL 0( ) SU SCSC 1 1 1 1 1 1 -1-1 +j+j 零极点图零极点

16、图 极点极点 零点零点 0 i z 13 22 i pi 0 1H 零点零点: 极点极点: 增益系数增益系数: 9.8 网络函数与输出响应网络函数与输出响应 1( ) t ( )1 ( ),( )( ) ( ) R S H SR SH S E SS 0 ( )lim( )(0) p s rrS R SH 0 ( )(0) s H SH 一、网络函数与稳态响应关系一、网络函数与稳态响应关系 1）单位阶跃）单位阶跃 稳态响应稳态响应 由由 由终值定理由终值定理 单位阶跃激励的稳态响应值为单位阶跃激励的稳态响应值为 E(S) H(S) R(S) 直流稳态解直流稳态解(单位电源激励下单位电源激励下)

17、( ) S SU R SL 0( ) SU SCSC 1 1 0 22 ( ) ( ) ( )1/ 11 S USR H S USRSLSC RCSS LCSRCSSS 1 ,1,1RLH CF 直流稳态解直流稳态解(单位电源激励下单位电源激励下) S U R L 0 U C C 0 (0)0UHV ( )2sin()u tt (1)H jR j ( )2si()n()E jUu tUt ()()()R jH jE j 2）单位正弦激励）单位正弦激励的稳态响应的稳态响应 稳态响应相量（复数）形式为稳态响应相量（复数）形式为 一般正弦激励时一般正弦激励时 有有: E(S) H(S) R(S) (

18、 ) S SU R SL 0( ) SU SCSC 1 1 0 22 ( ) ( ) ( )1/ 11 S USR H S USRSLSC RCSS LCSRCSSS 1 ,1,1RLH CF SU R 0U 1 j C j L 单位正弦激励稳态响应单位正弦激励稳态响应: 0 ( )2sin(30 ) S utt 稳态响应为稳态响应为: 0 0 0 2 (1 1 300 ) 1 3 1 (U j j j j H j 0 0( ) 2sin(30 )u tt 0 0 10 0 120 0 ( )( ) ()(0) ( )( ) ()( ) ()() t tt t r teh tdtt r teh

19、 tdeh tdtt 1( ) e t t t t t0 0 2( ) e t 2 0 0 3 02 ( ) 0 t ett e t tt ( ) C ut 例：图示电路，例：图示电路， R1 R2 C C Uc e e( (t t) ) t t t t0 0 ( )e t 12 3 ,6 ,0.5 ,RRCF 求求 的零状态响应。的零状态响应。 9.9 卷积积分卷积积分 2() 000 2 ( )( ) ()32 3 ttt tt c U teh tdeedee d 2 0 22(1)2() 1( ) tttttt eeeeeet (02)t 2 2()2 00 2 ( )( ) ()321 3 t tt c U teh tdeedee 1.731( ) t et (2)t R1 R2 C C Uc e e( (t t) ) ( )h t 12 1212 12 1 21 ( ) 11 31 RR H s R R CSRRS SC RR 2 ( )1( ) 3 t h tet 解：求解：求，由运算电路求，由运算电路求( )H S 1 0 11 C CL L CLS dU Ui dtC diR UiU dtLLL 整理后整理后 （标准方程）（标准方程） () () C L L LCS K dU iC dt di RiL C UU t L KV