【精品】复变函数试题及答案

1、、填空题每题2 分1复数 ,12 2i的指数形式是2、 函数w=1将SZ上的曲线x 1 2 y2 1变成SW(w u iv)上z的曲线是3、假设 1 ez 0,那么 z =4、1 i i=2 i25、积分 z 2 dz =2 6、积分 1 Sinzdz2 i H1 zC每一个幕级数在它的收敛圆周上处处收敛D如果v是u的共轭调和函数,那么u也是v的共轭调和函数4、根式31的值之A13i2 25、以下函数在z6、0的去心邻域内可展成洛朗级数的是ABsi n-z1cos-zctg.1z7、幕级数i n zn的收敛半径R=F列积分之值不等于dz1z 320的是( dz z 1 z 12Clzdz2zz

2、 0是函数1ez1奇点7、函数arctan z在z0处的泰勒展式为9、zeRes -nz 1 z 12nn z2n 1(|z1)2n 1 n z2n1. 3.-i2Lnz(z1)dz1 cosz10、将点,i,0二、单项选择题每题2分分别变成0,i,的分式线性变换w2n 1n z2n 1)2n n z2n(z1)设为任意实数，那么1 =2、3、A无意义等于1是复数其模等于18幕级数1)z2n 在 z1内的和函数是F列命题正确的选项是 A i 2iB1C仅存在一个数乙使得-zF列命题正确的选项是 零的辐角是零1z iziA函数f z z在z平面上处处连续B如果f a存在,那么f z在a解析A1B

3、11z2C z21111 z29、设aC:z i =1,C 2 ieicosi10、将单位圆z 1共形映射成单位圆外部| w1的分式线性变换是A w ei z a (la| 1)B w ei z a (|a| 1)1 az1 az 1C w e(a1)D wei z a (la1)z az a三、判断题每题2分1、对任何复数乙z22z|成立2在某一点 z。D 有 fnz。0, n 1,2,证明：f z在D内必为常数2、证明方程ez 5zn 1 0在单位圆| z 1内有n个根一填空题每题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分5_ i1 4e 62、假设a是f z和g z的一个奇点,那么a也是f

4、z g z的奇点3、 方程z7 z3 12 0的根全在圆环1 |z| 2内54、 z=是函数f z z一-的三阶极点1 z5、解析函数的零点是孤立的四、计算题每题6分1、 f z x2 axy by2 i(cx2 dxy y2)在 Sz上解析,求 a,b,c,d 的值2、 计算积分-5z_dzz2zz 123、 将函数f z丄丄在z 1的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围z 14、计算实积分匸0(x2 1)(x24)dx15、求fz 一 在指定圆环2 z i 内的洛朗展式1 z26、求将上半平面Imz 0共形映射成单位圆W 1的分式线性变换w L z ,使符合条件Li 0，L i 0五、证明题

5、每题7分1、设1函数f z在区域D内解析，2u3 (2k+1) i ,(k=0,1,iln 24 2ke e5 丄，6 0, 7312,8可去，9e，1021z二单项选择题每题2分，共20分1 D 2 D 3 A4 A 5 B6 B7 C 8 D9 A 10 A三判断题每题2分，共10分1 2345四计算题每题6分，共36分1 解: u x2 axy by2, v2 cxdxy y23分Ux Vy 2xay dx2yUyVxax 2by2cxdy.5 分6分1解得：a d 2,b c2解：被积函数在圆周的z2内部只有一阶极点z=0(k=0,1, 2)及二阶极点z=1Rze0sf(z)5z_2(

6、z 1)2Rze1sf(z)5z 25z 2zZbl 2i(-2+2)=03解：4解：1=5 解:6解:21 z 1z 1|2)n1 4 n一 z 12被积函数为偶函数在上半z平面有两个一阶极点i,2if(z)2x(x21)(X2i Resf z i(z4严Resf (z)z 2i2 zi)(z24)1(z i)(z i)z22Iz 2i(z21)( z 2i)6分4分6分1分2分3分5分.6 分1分五证明题(每题1证明:设k :L (i)0 k i.z iiz i7分，共14分)ZoR(k由泰勒定理 f(z)由题设f(n)(zo)由唯一性定理2 证明：令 f (z) 5zn ,D)f (z)

7、在Z解析f(n)(z0)(z z0)n (z kD)2分n!f(z)f(z) ， (z kD)4分f(Z)(z D).7分)ez12分on0f(z)(z11(z i)21 -2izi1(D ):2(z i)2n 0(z i)nw =L(i)=kz iz iw2ik(zi)23分z i6分2分3分(1) f z及 z在z 1解析(2) I z 1 上，| f |5z 5|ez 1 ez 1 ez 1 e 1 54 分故在| z 1上I f z i z，由儒歇定理在I z 1内N(f z z, z 1) N(f z , z 1) n7 分一、填空题(每题2分) 21、_cos5_isin5_3的指

8、数形式是cos3 isin32、r =3、 假设 0r1，那么积分ln 1 z dzIz r4、假设v是u的共轭调和函数，那么v的共轭调和函数是5、设z 0为函数f(z)=z3 sin z3的m阶零点，贝U m =6、设z a为函数fz的n阶极点，那么粥fzAx2y2 2xyix2 xyiC 2(x1)yi(y2 x22x)x3iy37、n幕级数乞的收敛半径R=n 0 n!8在以下函数中,9、z 0是函数z5 sin -的 z奇点sin z方程z7120的根全在圆环10、将点,i,0二、单项选择题每题2分分别变成0,i,的分式线性变换wsin zcosz1、假设函数f z在区域D内解析,那么函

9、数f z在区域D内9、设aC:z i =1,zcosz2dzi2、3、4、5、6、7、A在有限个点可导C在无穷多个点可导使z2存在任意阶导数存在有限个点不可导BieieD icosi10、将单位圆z1共形映射成单位圆外部2成立的复数是A不存在 Bcosz ,2 dz z 2(1 z)2A isinl B根式3 i的值之冃sinz砧 z 是 的zA可去奇点 B函数f z唯一的纯虚数实数Awe z _a (a 1) B1 azisinl2 isinlisinl一阶极点C一阶零点本质奇点,在以z0为中心的圆环内的洛朗展式iw1的分式线性变换是C w e，Z(|a|1) Dz aw ei z _a (

10、a 1)1 azwei z - (a 1)z a总分值10得分三、判断题每题2分有m个，贝U m=A 1B以下函数是解析函数的为1、幕级数 zn在| z1内一致收敛n 02、 z=是函数1 cosz的可去奇点z3、 在柯西积分公式中，如果a D，即a在D之外，其它条件1 f z不变，那么积分dz 0, z D2 i Cz actg4、函数f z e z在z 0的去心邻域内可展成洛朗级数5、解析函数的零点是孤立的四、计算题每题6分x y ix2 dz, C: i 1 + i 的直线段1、计算积分2、求函数f2在所有孤立奇点包括 处的留数3、将函数f-1在zz ii的去心邻域内展成洛朗级数，并指出

11、收敛域4、计算积分C z2dz2z1, C:2y 1 ,5、计算实积分(a 1)a cos6、求将单位圆1共形映射成单位圆w 1的分式线性变换w L z使符合条件五、证明题每题7分1、设函数f z在区域D内解析,证明:函数i f z也在D内解析2、证明:在z 0解析，且满足的12n 112n1111 ( n 1,2)的函数f2n2n一填空题不存在每题2分，视答题情况可酌情给1 分,共 20 分)-2k2 e 2(k=0, 土),8本质，9,10单项选择题每题2分，共20分9 A 10 A判断题每题2 分,共10分四计算题每题6分,共 36 分)1解：C的参数方程为：z=i+t, 02 1 2

12、y ix dz = t 1 it 0总分值14得分3解：fdt =1 dz=dt121为f z 阶极点z 1为f z二阶极点ResfResfzRe1sf12i11 z i2i1n;(Ovz i 2)4解：在C内f z有一个二阶极点z = 0和一个一阶极点zRes f zz 0Res f zz i1z211z2(zi)12i所以原式=2 i12i3分6分1分2分3分5分6分2分5分6分.1 分3分5分6分5解：令z eizl1 z z 1 iza 2=2dzi Fl1 z ( a (a21) z ( a Ja21)被积函数在1内的有一个一阶极点Res f (z)z a .a 112 .a216解：wif(z)四个偏导数为比拟f (z )的C R方程且四个偏导数在D内连续v x， V y， -u x， -u yi f (z)也满足C-R方程i f(z)在D内解析l212；于是所求变换五证明题(每题2Ta212112所以k 212z 22z 1z 2 z 27分，共14分)1 证明： 设 f(z)=u (x, y) +iv (x，y)f(z) = u (x，y)-iv (x，y)i f(z) = v (x，y)-i u