精心设计精彩生成

1、精心设计 精彩生成“解一元二次方程”例案分析单位：江苏省丹阳市导墅中学 姓名：史东良 邮编：2123611 教学现状初中学生在数学学习过程中往往注重计算的结果，而忽略对方法的选择，因而有些学生在计算过程中花费了大量的时间，计算过程也非常复杂，甚至未能完成正确的解题。学习数学提高学生的运算能力固然重要，而培养学生的思维能力和对解决问题方法的选择更具有意义和价值。在课堂上对于有些问题，有时只要老师或同学稍稍点拔一下，学生便豁然开朗。有些师生相信熟能生巧，但通过一定的训练后，效果并不明显。这种熟能生巧观点不仅加重了学生的负担，同时也加重了老师的负担，这种做法与减负提效是相违背的，不符合新课程改革发展

2、需要。因此，在课堂教师的干预下需要尽可能的解决好这一问题。在苏科版义务教育课程标准实验教科书九年级上册第四章第2节“一元二次方程的解法”教学过程中，学生对于方法的选择始终觉得是一个难点。笔者在讲解如何选择适当的方法解一元二次方程时，引导学生从一元二次方程的形式入手。一元二次方程共有三种形式：一般形式ax2+bx+c=0（a0），缺少一次项的形式ax2 +c=0（a0）和缺少常数项的形式ax2+bx =0（a0），这三种形式溶合了所有的一元二次方程及其解法。如何选择适当方法，是解决一元二次方程问题的关键。2 教学设计义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简称课标（2011年版）课程基本理念：

3、教学内容的设计要符合学生的认知规律，要有利于学生体验与理解、思考与探索，要重视直观与抽象的关系，要凸现内容的层次性和多样性。2.1 简单问题深刻化 从形式上构建数学解题模型教学片断1教师：方程x2-4=0从形式上看属于哪一种类型？可以选择用什么方法解？学生：缺少一次项属于ax2 +c=0（a0）的形式。移项得：x2=4，可用直接开平方法解。教师：方程（x+1）2-4=0又该如何来解？学生：方程（x+1）2-4=0不属于一元二次方程的三种基本形式，可以先化简，再求解。教师：能够从一元二次方程的形式上选择方法，很好（对学生回答作出肯定）。有没有不同意见的呢？（激发学生再思考）学生：若把（x+1）看

4、作是一个整体，那么方程（x+1）2-4=0也属于缺少一次项ax2 +c=0（a0）的形式，同样可以选择用直接开平方法解。教师：非常好。这种整体考虑的思想在数学解题中称为整体思想。教师：请同学们归纳，哪种形式的方程可用直接开平方法解？学生：当一元二次方程满足(x+ h)2=k（k0）的形式时，（h和k分别表示常数，）即可运用直接开平方法解。学生：因为k0，所以当k表示一个含有x的完全平方式时，也可以用直接开平方法来解，如：(x+ h)2=（x+m）2，该方程同样也可以选择用直接开平方法解。教师：真的可以吗？请同学们试一试，例如：解方程(x+ 2)2 =（x+3）2学生：只有一个解：x=-。教师：

5、为什么只有一个解呢？（学生思考）学生：方程(x+ 2)2 =（x+3）2化简后是一元一次方程，所以只有一个解。（教师观察，还有学生有发言的欲望）学生：当k表示成x2时，得(x+ h)2= x2也可以用直接开平方法解。学生：当k表示为x时，也可以用直接开平方法解？学生：当k表示为x时，不能确定x是否大于等于零，所以不能用直接开平方法解。学生：当k表示为x时，即使x0，也不能用直接开平方法解，因为用直接开平方法解，方程中就含有，方程就变得更加复杂了。教师：大家分析的很透彻，那么对于方程(x+ h)2= x不适合用直接开平方法解，选用什么方法就比较适合呢？学生：可以先把它化为一般形式，再选择适当的方

6、法解。教学分析：通过学生的共同参与、合作交流，对于一元二次方程(x+ h)2=k（k0），(x+ h)2=（x+m）2和(x+ h)2= x的形式有了更深刻的理解。在整个教学过程中，充分体现了学生主体性和教师的主导作用，这样的教学设计不仅能激发学生兴趣，调动学生积极性，同时更能引发学生的数学思考，培养学生的创新思维。教学片断2教师：方程x2-4x =0从形式上看属于哪一种类型？可以选择用什么方法解？学生：缺少常数项属于ax2+bx =0（a0）的形式，可选择用提公因式法来解。教师：通过刚才对问题的讨论，你觉得还有什么类型的方程也可以选择用提公因式法来解？（学生思考）学生：运用整体思想，对于方程

7、a(x+ h)2+b(x+ h)=0的形式，也可以用提公因式法解。教学分析：学生通过对一元二次方程基本形式的变形，提高了对用字母表示数和整体思想的理解，促进了学生在解一元二次方程过程中对方法的选择。2.2 复杂问题简单化 从方法上探究解题策略教学片断3教师：观察用适当的方法解下列一元二次方程。（学生动手实践）x2-4x+4=0，x2-5x+4=0，x2-6x+4=0，x2-7x+4=0学生：以上四个方程均属于一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的一般形式。学生：方程x2-4x+4=0，等号的左边是一个完全平方式，化简得：（x-2）2=0，再运用直接开平方法来解。学生：方程x2-5x+4=0

8、，等号左边的二次三项能够用十字相乘法因式分解，化简得：（x-1）（x-4）=0，可选用因式分解法解。学生：方程x2-6x+4=0和问题x2-7x+4=0，等号左边的二次三项式不能直接因式分解。比较这两个方程，唯一不同的是一次项系数，一个是奇数，一个是偶数。为了便于计算，当一次项系数为偶数时，可选择用配方法解；当一次项系数是奇数时，可选择用一元二次方程的求根公式解。教师：对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c =0（a0），如何选择适当的方法解呢？学生：当ax2+bx+c是完全平方式，可先用完全平方公式因式分解，再用直接开平方法解。当ax2+bx+c能用十字相乘法因式分解时，可用十字相乘法因

9、式分解来解。当ax2+bx+c不能因式分解时，可利用等式的性质，先把二次项系数化为1，然后根据一次项的系数来选择解一元二次方程的方法。若一次项系数为偶数，可选择用配方法解，若一次项系数为奇数，可选择用一元二次方程求根来解。教学分析：这几个一元二次方程，从形式上看都属于一元二次方程的一般形式，唯一不同的是一次项系数。笔者在教学设计时有两方面的意图：（1）虽然这四道题只有一次项系数不同，但它蕴涵了不同的解题方法和解题策略。对于一般形式的一元二次方程，首先考虑是二次三项式能否因式分解，如果能因式分解首选因式分解法解；若不能因式分解可考虑先把二次项系数化为1,再根据一次项系数的奇、偶性选择适当的方法。

10、（2）通过类比的方法，此四题虽然只有一次项系数不同，但在方法选择上各不相同。课标（2011年版）指出：动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。本题的设计不仅能很好的引导学生进行自主探索与合作交流，同时又能激发学生的兴趣，提高了学生的求知欲。2.3 问题探究弹性化 从内容上拓展解题思维教学片断4教师：探究方程x2-8x+4=0，二次三项式x2-8x+4和函数y= x2-8x+4之间有何关系？学生：一元二次方程x2-8x+4=0，因为b2-4ac=（-8）2-4140，所以方程x2-8x+4=0有两个不相等的实数解。根据上面的对解一元二次方程方法的选择，可运用配方法求出该方程的两个解。学

11、生： x2-8x+4是二次三项式，因为x是一个变量，所以二次三项式x2-8x+4的值也是一个变量，但通过配方法可把二次三项式x2-8x+4变形为（x-4）2-12。因为（x-4）20，所以二次三项式x2-8x+4有最小值-12。学生：对于函数y= x2-8x+4，因为代数式x2-8x+4可变形为（x-4）2-12，有最小值-12。所以对于等式左边的y也有最小值-12 。即函数y= x2-8x+4有最小值y= -12。教学分析：配方法在数学学习过程中是一种重要的方法，笔者在教学设计时，以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，引导学生积极的独立思考和主动探索，帮助学生巩固已有的知识，提高学生运用知

12、识的能力。在教学过程中，注重启发式教学，引导学生掌握必要的数学思想和方法，积累基本的数学活动经验和技能。2.4 知能结构显性化 从整体上领悟解题方法在一元二次方程的学习过程中，公式法配方法直接开平方法一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a0）缺少常数项的形式ax2+bx =0（a0）缺少一次项的形式ax2 +c=0（a0）解一元二次方程 提公因式法因式分解法 平方差公式 完全平方公式 十字相乘法学生对于解一元二次方程方法的掌握并不感觉是一个难点，难点是在解方程过程中对于方法的选择。通过知能结构图的分析，既能提高学生对章节知识的整体认识，又能提高学生对方程解法的选择，引导学生画知能结构图有其积极的意义。知能结构如图所示：3 教学反思在数学教学设计过程中，不仅要重视学生获得知识技能，而且要重视激发学生的学习兴趣。本节课笔者的教学设计从x2-4=0到x2-4x=0到x2-4x+4=0到x2-5x+4=0到x2-6x+4=0到x2-7x+4=0最后到x2-8x+4=0与二次三项式x2-8x+4和函数y= x2-8x+4之间关系。通过一步一“字”变化，引导学生独立思考、合作交流，有效的激发了学生数学