数学建模第二讲

1、 第第二二讲讲 初等模型初等模型2.1 核军备竞赛核军备竞赛2.2 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效2.3 汽车刹车距离汽车刹车距离严峻的现实严峻的现实q全球约有全球约有23300枚核弹头，枚核弹头，部署于部署于14个国家的个国家的111处设处设施。施。q美国目前可以使用的核美国目前可以使用的核弹头共计弹头共计96009600多个多个 q俄罗斯在俄罗斯在4848处设施中部处设施中部署有署有1300013000枚核弹头枚核弹头q中国的核弹头数量约为中国的核弹头数量约为240枚，分布于全国枚，分布于全国8-14处处设施中（美国评估）设施中（美国评估）2.1 2.1 核军备竞赛核军备竞赛美国总统奥巴

2、马（左）和俄美国总统奥巴马（左）和俄罗斯总统梅德韦杰夫签署新罗斯总统梅德韦杰夫签署新的核裁军条约的核裁军条约 q北京时间北京时间20102010年年4 4月月8 8日日1818时时3030分左右，新条约文件签分左右，新条约文件签署完成。署完成。q目标是双方部署的核弹头目标是双方部署的核弹头数量不得超过数量不得超过15501550枚枚q洲际弹道导弹洲际弹道导弹700700枚枚q潜基弹道导弹潜基弹道导弹700700枚枚q挂载发射核武器的重型轰挂载发射核武器的重型轰炸机炸机700700架架q削减目标须在生效后削减目标须在生效后7 7年内年内完成完成 漫长旅途中的一步漫长旅途中的一步 美国的美国的“核

3、威慑战略核威慑战略” 战略核力量拥有实施大规模破战略核力量拥有实施大规模破坏的绝无仅有的能力，它们应当承坏的绝无仅有的能力，它们应当承担一项威慑对方的特殊任务，使之担一项威慑对方的特殊任务，使之怯于采取任何形式的战略核冲动。怯于采取任何形式的战略核冲动。为了使威慑效力达到最大限度，为了使威慑效力达到最大限度，它它们必须能够在大规模的第一次打击们必须能够在大规模的第一次打击之后生存下来，而且还能够破坏足之后生存下来，而且还能够破坏足够的对方目标够的对方目标，也就是摧毁对于决，也就是摧毁对于决定战争与和平的国家领导人十分敏定战争与和平的国家领导人十分敏感的有效政府、社会和经济，从而感的有效政府、社

4、会和经济，从而消灭对方。消灭对方。前任参谋长联系会议主前任参谋长联系会议主席，马克斯维尔席，马克斯维尔D泰泰勒将军勒将军v 快速的竞争性的军力增快速的竞争性的军力增长是与战争倾向密切相关长是与战争倾向密切相关的的核军备竞赛不能无限核军备竞赛不能无限扩张。扩张。v 针对针对马克斯维尔马克斯维尔D D泰勒泰勒将军提出的美国将军提出的美国“核威慑战核威慑战略略”，多少核武器是够用的？，多少核武器是够用的？v 美国美国马克斯维尔马克斯维尔D D泰勒泰勒和海曼和海曼G G里科弗里科弗将军都指将军都指出：当前的核武库裁减是出：当前的核武库裁减是有可能的。有可能的。核军备竞赛的研究核军备竞赛的研究 假设有两

5、个国家，国家假设有两个国家，国家X和国家和国家Y，致力一场核，致力一场核军备竞赛，而且，每个国家都采取如下的战略：军备竞赛，而且，每个国家都采取如下的战略： 友方战略：友方战略：在大规模第一次核打击后生存下来，在大规模第一次核打击后生存下来，并给予敌人无法承受的打击（人口和工业中心）。并给予敌人无法承受的打击（人口和工业中心）。 敌方战略：敌方战略：进行大规模第一次核打击来摧毁进行大规模第一次核打击来摧毁友方核导弹力量（导弹基地）。友方核导弹力量（导弹基地）。模型假设模型假设核军备竞赛的图表模型核军备竞赛的图表模型在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导

6、弹只能攻击对方的一个核导弹。弹只能攻击对方的一个核导弹。摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。击精度和另一方的防御能力决定。图表模型图表模型y=f(x)表示国家表示国家Y为了实现它的战略所需的最低导弹为了实现它的战略所需的最低导弹数，当时国家数，当时国家X拥有拥有x枚导弹。类似地，枚导弹。类似地， x=g(y)表示表示国家国家X为了实现它的战略所需的最低导弹数。为了实现它的战略所需的最低导弹数。当当 x=0时时 y=y0，y0国家国家Y的的威慑值威慑值y0国家国家X实行第一次打击后已经没有导弹，国家实行第一次打击后已经没有

7、导弹，国家Y为为毁灭国家毁灭国家X工业、交通中心等目标所需导弹数。工业、交通中心等目标所需导弹数。设设x=国家国家X拥有的导弹数，拥有的导弹数， y=国家国家Y拥有的导弹数。拥有的导弹数。下面，我们着手探讨曲线下面，我们着手探讨曲线y=f(x)的性质。的性质。xyy0 xyy00 xyxfyy00)(y=f(x)乙安全线乙安全线对于国家对于国家X增添的每一枚导增添的每一枚导弹，国家弹，国家Y一定需要的附加一定需要的附加导弹数量依赖于国家导弹数量依赖于国家X导弹导弹效力。效力。可以验证，可以验证，函数曲线函数曲线y=f(x)一定落在如右图所示的限一定落在如右图所示的限制线之间。制线之间。为了更加

8、准确地确定图像为了更加准确地确定图像y=f(x)的形状，我们把直线的形状，我们把直线A和和B之间的区域分割成由之间的区域分割成由直线直线x=y，x=2y，x=3y等定等定义的较小的子区域，如右义的较小的子区域，如右图所示。图所示。直线直线A直线直线Bxyy0 xyy00直线直线A直线直线Bx=yx=2yx=3y在每个子区域对在每个子区域对y=f(x)进行近似。进行近似。y=f(x)设国家设国家Y残存率残存率 为为s 国家国家X一枚导弹攻击国家一枚导弹攻击国家Y一枚一枚导弹，导弹未被摧毁的概率。导弹，导弹未被摧毁的概率。情形情形1：xy 国家国家X以以 x攻击国家攻击国家Y的的 y个导弹中的个导

9、弹中的 x个个, sx个导弹未摧毁，个导弹未摧毁，yx个导弹未攻击。个导弹未攻击。 y0=sx+yx情形情形2：x=y情形情形4：x=2y情形情形3：yx2yxssssyy21)2(0y= y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2xy0y0 x=yx=2y从图观察可知，曲线是分段线性的且有递降的斜率。从图观察可知，曲线是分段线性的且有递降的斜率。xyy0直线直线A直线直线Byxasysyy/00 x=a y,y=f(x)xy0y0 x=yx=2y 可以继续分析各种补充，如可以继续分析各种补充，如2yx 车身的平均长度车身的平均长度15英英尺尺(=4.6米米)。“2秒准则秒准则”与与“10英

10、里英里/小时加一车身小时加一车身”规则不同。规则不同。问题一问题一问题二问题二刹车距离与速度有关刹车距离与速度有关制动器作用力、车重、车速制动器作用力、车重、车速、道路道路、气候气候 最大制动力与车质量成正最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。比，使汽车作匀减速运动。常常数数刹刹车车距距离离反应时间反应时间司机司机状况状况制动系统制动系统灵活性灵活性车速车速常数常数反反应应距距离离制制动动距距离离假设与建模假设与建模 1. 刹车距离刹车距离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和2. 反应距离反应距离 d1与车速与车速 v成正比成正比3. 刹车时使用最

11、大制动力刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变作功等于汽车动能的改变vtd11F d2= m v2/2F m21kvvtdt1为反应时间为反应时间21ddd且且F与车的质量与车的质量m成正比成正比22kvd 反应时间反应时间 t1的经验估计值为的经验估计值为0.75秒秒参数估计参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k21kvvtd模模 型型最小二乘法最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间计算刹车距离、刹车时间车速车速(英里英里/小时小时) (英尺英尺/秒秒)实际刹车距离实际刹车距离（英尺）（英尺）计算刹车距离计算刹车距离（英尺）（英尺）刹车时间刹车时间（秒）（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.