Matlab与数学实验

1、Matlab与数学实验讲义第一章 Matlab初步Matlab是Mathworks公司于1984年推出的数值计算软件.其三大核心功能为： 数值计算 符号计算 绘图能够在很多领域进行应用，如： 数值分析 数值和符号计算 工程与科学绘图 控制系统的设计与仿真 数字图像处理技术 数字信号处理技术 通讯系统设计与仿真 财务与金融工程第一节 Matlab的界面与运行一、Matlab的界面Matlab的界面上共有五个窗口：1、命令窗口(Command window)在命令窗口中可以直接输入命令,以实现计算或绘图的功能.2、起始面板(Launch Pad)该窗口中显示Matlab总包和已安装的工具箱的帮助、

2、演示、GUI工具和产品主页4个方面的内容.3、工作空间(workspace)该窗口显示当前Matlab的内存中使用变量的信息，包括变量名、变量数组大小，变量字节大小和变量类型.可以双击变量名，打开数组编辑器窗口(Array Editor)，显示变量的具体内容，也可以修改数据.4、命令历史(Command History)该窗口显示所有执行过的命令.其作用在于：查看曾经执行的命令；重复利用原来输入的命令行.在命令历史窗口中直接双击命令，就可以执行该命令行.5、当前目录(Current Directory)该窗口显示当前工作目录下所有文件的文件名、文件类型和最后修改时间.可以在窗口上方的小窗口中修

3、改工作目录.二、 Matlab的运行方式 两种运行方式：1、命令行方式在命令窗口中输入命令，按回车键程序将运行.这种方式的缺点是难以处理比较复杂的问题和有大量数据的问题.2、M文件方式M文件方式是指一个以m为扩展名的M文件中输入一系列命令和数据，然后让Matlab来执行.建立M文件的步骤为：1. 点击FileNew M-file；2. 在M文件编辑窗口中输入程序内容；3. 点File Save，以m为扩展名存盘.注意：1、M文件名有两种类型：脚本M文件和函数M文件.其中函数M文件的文件名必须与函数名一致(在后面将具体讲解).2、M文件可以在命令行中随时调用执行，也可以在M文件编辑窗口中的Deb

4、ug菜单中选择Run执行.第二节 简单数学运算一、运算表加法运算，适用于两个数或两个同阶矩阵相加. 减法运算*乘法运算.*点乘运算，用于数组(或矩阵)之间的运算，表示对应元素相乘/除法运算./点除运算，用于数组(或矩阵)之间的运算，表示对应元素相除乘幂运算.点乘幂运算，用于数组(或矩阵)之间的运算，表示对应元素作幂运算反斜杠表示左除，用于矩阵之间的运算在计算中“( )”表示运算优先级。例1 作数学运算: 100(1/4)*(1/9)(-1/2)+8(-1/3)*(4/9)(1/2) %表示回车键注意：命令中的%及其后面的内容不必输入，它是对命令的解释和说明。二、数学函数Matlab提供了若干函

5、数，在编写程序时可以直接按照以下格式调用，注意其中的括号不能省略.函数名 称函数名 称abs(x)x绝对值sqrt(x)开平方exp(x)以e为底的指数log(x)自然对数log2(x)以2为底的数log10(x)以10为底的数min(x)最小值max(x)最大值sum(x)元素的总和sign(x)符号函数rem(x,y)x除以y的余数fix(x)取整round(x)最接近x的整数gcd(x,y)整数x，y的最大公因数g,c,d=gcd(x,y)求g,c,d满足g=cx+dylcm(x,y)整数x，y的最小公倍数sin(x)正弦函数asin(x)反正弦函数cos(x)余弦函数acos(x)反余

6、弦函数tan(x)正切函数atan(x)反正切数sinh(x)双曲正弦asinh(x)反双曲正弦cosh(x)双曲余弦acosh(x)反双曲余弦tanh(x)双曲正切atanh(x)反双曲正切real(z)复数z的实部imag(z)复数z的虚部abs(z)复数z的模conj(z)复数z的共轭angle(z)复数z的幅角factorial(n)求n的阶乘combntns(x,m)列举出从n个元素中取出m个元素的组合。其中，x是含有n个元素的向量perms(x)给出向量x的所有排列nchoosek(n,m)从n各元素中取m个元素的所有组合数prod(n:m)求排列数：m*(m-1)*(m-2)*(

7、n+1)*n例2、作数学运算sin(1/10)+24+exp(3)+3*log(2+sqrt(5) 三、Matlab中的数1、实数Matlab中的实数只有一种数据格式，那就是双精度数值，其有效值是十进制16位，范围是10的308次幂，即2.225110 3081.797710+308实数有七种显示格式，以为例，见下表:Matlab 命令显 示 形 式说 明formatlong3.1415926535897916位十进制数formatlong e3.14159265358979e+016位十进制加指数formatshort e3.1416e+0005位十进制数加指数formatshort 3.1

8、416二位整数, 四位小数 formatbank3.14两位小数formathex400921fb54442d1816位十六进制数formatrat355 / 113 有理数分数近似Matlab在默认情况下以format short格式显示.2、复数虚数符号Matlab启动时定为i,j，连写在数字后面可以不用乘号.例如a=1+2i，b=cos(2)+sin(2)*i如果用户在程序中另外給i,j赋值，则它们的虚数意义就失效.例3 在不同的数据显示显示下计算5+sin7 5+sin(7) ans=5.6570format rat5+sin(7) ans=3117/551format long5+s

9、in(7) ans=5.65698659871879第三节 变量一、变量Matlab中参与计算的数据需要存放在一个储存空间中，每个储存空间都给予一个名称，就是变量的名称。Matlab中变量的命名规则是：（1）变量名必须是不含空格的单个词；（2）变量名区分大小写；（3）变量名最多不超过19个字符；（4）变量名必须以字母打头；（5）变量名中不允许使用标点符号；（6）不要使用内部函数名。变量赋值格式：变量名=数给变量赋值时满足新值代替旧值的规则.二、特殊变量(常量) 在Matlab中一些特殊的变量，如下：特殊变量取 值ans用于结果的缺省变量名pi圆周率eps计算机的最小数，和1相加时产生一个比1大

10、的数flops浮点运算数inf无穷大，如1/0NaN不定量，如0/0i，ji=j=nargin所用函数的输入变量数目nargout所用函数的输出变量数目realmin最小可用正实数realmax最大可用正实数三、常见基本操作：Matlab命令解释who 变量名查询变量的信息whos查询所有变量的信息clear删除所有变量save 变量名保存指定变量load载入数据文件中的变量clc察除所有命令shift +enter换行编写命令，但不执行命令四、标点符号标点符号需要在英文状态下输入，常见的有，命令分隔符号，显示的结果；命令分隔符号，不显示的结果%它后面为注释文字续行符号（使用时前面加空格）(

11、)运算优先级 例1 a=20;b=3;c=a+b,d=a*b运行结果：c = 23d = 60例2 交换两个变量的取值a=1;b=2; c=a; a=b; b=c; a,b 运行结果：a = 2 b = 1第四节 符号运算数值运算是指实数之间的运算。在运算中，如果有变量不被赋值像字母一样运算，这种运算为符号运算.符号运算需要先将变量符号化。一、创建符号变量命令格式1：sym(变量)命令格式2：syms 变量1 变量2 变量n 例1 sqrt(2) ans =1.4142sqrt(sym(2) ans =2(1/2)二、创建符号表达式方法1：sym(表达式)方法2：先创建符号变量，再用符号变量及

12、运算符表示表达式例2 建立符号表达式ax2+by+c，并求x=1，y=2的值syms a b c x yu=a*x2+b*y+c,x=1;y=2;eval(u) 运行结果： u = a*x2+b*y+c ans = a+2*b+c其中命令eval表示计算符号表达式的值，但并不改变u本身的值.三、符号表达式的运算1、四则运算与幂运算与数值的运算一致.2、合并同类项命令格式：collect(S) %其中S为符号表达式,以默认变量(离x最近的变量)作为输出变量collect(S,v) %以变量v作为输出变量例3 syms x y s=x2*y+y*x-x2-2*x;collect(s) ans =(

13、y-1)*x2+(y-2)*xcollect(s,y) ans =(x2+x)*y-x2-2*x3、因式分解命令格式:factor(S)说明：其中S为符号表达式.例4 syms a b x y s=5*a*x+5*b*x+3*a*y+3*b*y; factor (s) ans =(a+b)*(5*x+3*y)4、符号表达式的简化命令格式: simple(S)说明：其中S为符号表达式，有些时候要用两次.例5 syms xS=2*cos(x)2-1; simple(S) 运行结果：simplify:2*cos(x)2-1radsimp:2*cos(x)2-1combine(trig):cos(2*

14、x)factor:2*cos(x)2-1expand:2*cos(x)2-1combine:cos(2*x)convert(exp):2*(1/2*exp(i*x)+1/2/exp(i*x)2-1convert(sincos):2*cos(x)2-1convert(tan):2*(1-tan(1/2*x)2)2/(1+tan(1/2*x)2)2-1collect(x):2*cos(x)2-1ans =cos(2*x)5、复合运算命令格式:compose(f,g)计算fg(x)例6 syms xf=1/(1+x2);g=sin(x);compose(f,g) ans =1/(1+sin(x)2)

15、6、反函数运算命令格式:finverse(f) 或者finverse(f，v)说明： finverse(f，v)中，返回变量为v的函数f的反函数，未指定时，默认为x.例7 syms xf=x2;finverse(f) Warning: finverse(x2) is not unique. In D:matlabtoolboxsymbolicsymfinverse.m at line 43ans =x(1/2)7、替换求值命令格式:subs(S,old,new) 或者subs(S, new)说明：将符号表达式S中的变量old用new代替.若没有指定变量old，则默认将x代替为new.例8 sy

16、ms x ys=x2*y+x*sin(y); subs(s,x,2) ans =4*y+2*sin(y) subs(s,y,pi) ans =x2*pi四、符号型与数值型数据的显示命令格式1：x=double(S)说明：显示符号表达式S的双精度数值型数据，不改变S本身的值.命令格式2：s=sym(x，选型)说明：显示数值型数据的符号型数据，不改变x本身的值. 选项可以是：r或f或e，它们分别表示有理数形式，双精度形式，指数显示.例9 a=sym(2/5) a =2/5 double(a) ans = 0.4000 sym(0.007,r) ans =7/1000命令格式3：vpa(S,n) %

17、显示表达式S的n个有效数字，S是符号型或数值型例10 vpa(pi,20) ans =3.1415926535897932385五、建立函数的4种方法Matlab中常用的函数类型有4种，不同的命令适用不同的函数，效果也不一样。1、函数M文件函数M文件是M文件类型之一，它的作用是定义新函数.函数M文件建立步骤如下：1. 点击FileNew M-file；2. 在M文件编辑窗口中输入程序内容；3. 点File Save，以m为扩展名存盘，且文件名等于函数名.其中在M文件编辑窗口中，程序第一行格式为： function 因变量名=函数名(自变量名)下面各行为从自变量计算因变量的语句，并将最终结果赋给

18、因变量.例11 定义函数，并求第一步建立函数：在M文件编辑窗口中输入程序：function yy=ff(x)yy=sqrt(x-20)2+1002)+sqrt(x-120)2+1202)以ff.m为文件名存盘.第二步计算在Matlab命令窗口中输入程序：ff(120) 2、符号函数符号函数就是关于自变量x的符号表达式例12 建立函数，并求当时，的值。syms xy=x2+x+1;x=1;eval(y) ans = 33、字符串函数字符串量本质上就是以符号量为元素的向量。例13 建立函数，并求当时，的值。syms xy=x2+x+1; %y是一个字符串量x=1;eval(y) ans = 34、

19、inline函数建立格式：函数名=inline(函数表达式，自变量1，自变量2)函数名=inline(函数表达式) %自变量默认为x注：inline函数与函数M文件基本一致，优点在于更方便。例14 建立函数，并求当时，的值。ff=inline(x2+x+1);ff(1) ans = 3第五节 数组与矩阵初步本节仅介绍数组与矩阵的创建和简单运算，其更深入的介绍见附录线性代数部分. Matlab的基本运算单位是矩阵，即便是一般实数也是一行一列的矩阵，所以对矩阵的处理很重要。一、基本概念定义：称m行n列的数表为矩阵，称1行n列的数表或者n行1列的数表为数组(或向量)。数组是特殊的矩阵。二、创建1、数

20、组的创建有两种方式：（1）直接输入例1 x=1，2，3，5，-5，8 %元素之间也可以用空格隔开x = 1 2 3 5 -5 8（2）等差元素数组数组的元素构成等差数列，则使用下列命令：x=a：b %创建从a开始，以1为公差，到b结束的行向量x=a：d：b %创建从a开始，以d为公差，到b结束的行向量x=linspace(a，b，n） %创建从a开始，到b结束，有n个元素的行向量例2 a=2:5a = 2 3 4 5b=2:3:10b = 2 5 8 c=linspace(1,5,3) c = 1 3 52、矩阵的创建逗号或空格用于分隔某一行的元素，分号用于区分不同的行. 除了分号，在输入矩阵

21、时，按Enter键也表示开始新一行. 输入矩阵时，严格要求所有行有相同的列. 例3 A=1 2 3 4；5 6 7 8；9 10 11 12 B=1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B = 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3三、运算设a=a1,a2,an, c是标量，则a+c=a1+c,a2+c,an+ca.*c=a1*c,a2*c,an*c a./c= a1/c,a2/c,an/c (右除） a.c= c/a1,c/a2,c/an (左除） a.c= a1c,a2c,anc c.a= ca1,ca2,can设

22、a=a1,a2,an, b=b1,b2,bn，则a+b= a1+b1,a2+b2,an+bn a.*b= a1*b1,a2*b2,an*bna./b= a1/b1,a2/b2,an/bna.b=b1/a1,b2/a2,bn/ana.b=a1b1,a2b2,anbn矩阵之间的、.*、./、.运算与数组一致。凡点运算都是指对应元素分别运算。例4 a=1,2,3;b=4,5,6; a+b,a.*b,a.bans = 5 7 9ans = 4 10 18ans = 1 32 729 c=1,2,3;4,5,6;d=4,5,6;7,8,9; c+d,c.*d,c.dans = 5 7 9 11 13 1

23、5ans = 4 10 18 28 40 54ans = 1 32 729 16384 390625 10077696四、元素的调用1、数组元素的调用x(i) %表示数组x的第i个元素.x(a,b,c) %表示数组x中第a个、第b个、第c个元素组成的数组2、矩阵元素的调用A(i) %表示矩阵A的第i个元素，矩阵元素的顺序为从第一列的元素开始计数，然后第二列，依次类推A(i,j) %表示矩阵A的第i行，第j列元素A(i，：) %表示矩阵A的第i行元素A(：，j) %表示矩阵A的第j列元素A(a:b,c:d) %表示矩阵A的第a行至第b行，第c列至第d列组成的新矩阵第二章 程序设计对于简单的问题，

24、可以直接调用命令解决，但对于复杂一些，特别是计算过程较长的问题，就需要编程计算了。Matlab可以像c语言一样进行程序编写和设计.一、关系与逻辑关系操作符说明逻辑操作符说明小于且大于否定=大于或等于= =等于=不等于利用关系与逻辑的符号，可以编写很多数学表达式.二、循环语句循环语句最好以M文件的方式编写和运行.1、for循环命令格式：orx=数组命令串；end 在for和end语句之间的命令串按数组中的每一列执行一次. 在每一次迭代中，x被指定为数组的下一列，即在第k次循环中，x=数组中的第k个元素. 例1 对n=1,2,20,分别求xn=的值.程序如下：for n=1:20x(n)=sin(

25、n*pi/10); %将每一次的运算值付给向量的一个元素，以方便调用endx例2 求数列的前100项和。s=0;n=100; for k=1:n s=s+1/k2; end s运行结果：s = 1.6350例3 建立一个求阶乘的函数M文件，并求。在M文件窗口中输入：function y=jc(x)p=1;for k=1:x p=p*k;endy=p;以jc为文件名保存，在命令窗口中输入： s=0;n=10; for k=1:n s=s+jc(2*k); end s运行结果：s = 2.4393e+0182、While循环命令格式：while 条件 命令串；end只要条件为真，就执行while和

26、end语句之间的命令串. 它与for循环以固定次数求一组命令相反，while循环以不定的次数求一组语句的值.例4 求满足不等式的最小n的值。 s=0;n=0;while s1 y=x2+1;endif xx= 0：0.001：2*pi; %0.001为向量元素的公差，越小越点越多，图形越真实y1=sin(x);y2=cos(x);plot(x,y1,r,x,y2, co) 例2 在上画y=cos x的图形.程序如下：ezplot(cos(x) ,0,pi) 也可以这样编写：syms xy=cos(x);ezplot(y,0,pi) 例3 在上画，星形图.程序如下： ezplot(cos(t)3

27、,sin(t)3,0,2*pi) 例4 在-2，0.5，0，2上画隐函数的图.程序如下：ezplot(exp(x)+sin(x*y),-2,0.5,0,2) 例5 在区间画出函数的图形.程序如下：fplot(sin(1/x),-1,1) 例6 作出极坐标方程为的曲线的图形.程序如下：t=0:0.1:2*pi;r=2*(1-cos(t);polar(t,r) 例7 分别作出取整函数和函数的图形程序如下：subplot(1,2,1),ezplot(fix(x),subplot(1,2,2),ezplot(x-fix(x) 例8 画幂函数的图像.程序如下： hold on,x=-1:0.1:4;fo

28、r k=1:4y=x.k;plot(x,y),endhold off例9 作出分段函数的图形程序如下：x1=-2:0.1:0;x2=0:0.1:2;y1=cos(x1);y2=exp(x2)+10;plot(x1,y1,x2,y2)为画出分解点出的情况，可以继续输入命令：hold on,plot(0,cos(0),ro),plot(0,exp(0)+10,ro),plot(0,5,r*) 也可以先建立函数M文件，在调用fplot命令绘图(对于函数图像跳跃程度比较剧烈的必须使用这种方法)。第二节 三维绘图基本命令：1、plot3 plot3 (x,y,z,s) % x,y,z是维数相同的向量，它

29、们的元素分别表示空间点的坐标，s表示连线的颜色、线形和点的形状.plot3(x,y,z) %x,y,z同型矩阵，对应每一列表示一条曲线，可以做出若干条曲线.2、meshgridU,V=meshgrid(x,y) %x，y为向量，x，y可以构成网格点阵，命令产生的矩阵U的元素为点阵的横坐标，V的元素为点阵的纵坐标，见下图所示x的5个值与y的4个值产生45的两个点阵U,V，其矩阵元素分别来自x，y3、meshmesh(X,Y,Z) %X,Y,Z是维数相同的矩阵，它们的元素分别表示空间点的三个坐标，所得曲面是将点用平面连接的曲面(网格曲面).meshc(X,Y,Z) %除了mesh (X,Y,Z)的

30、功能外，还在曲面下方画出等高线4、surfsurf(X,Y,Z) % X,Y,Z是维数相同的矩阵，它们的元素分别表示空间点的坐标，所得曲面是将点用平滑的曲面连接的曲面.surfc(X,Y,Z) %除了surf(X,Y,Z)的功能外，还在曲面下方画出等高线5、ezmesh和ezsurfezmesh(f(x,y) %画出函数z=f(x,y)，这是字符串型函数绘图ezsurf(f(x,y) %同上ezmesh(x,y,z) %作出参数曲面x=x(s,t),y= y(s,t),z= z(s,t),其中s，t默认范围是-2*pis2*pi，-2*pit2*pi,x，y，z都是符号表达式ezmesh(x,

31、y,z,s1 s2 t1 t2) %作用同上，只是s，t的范围改为s1ss2，t1t7)那么输出结果ii =2 4 6 7 8 9 10例1 在区间0，10画出参数曲线 x=sint,y=cost,z=t. 程序如下： t=0:pi/50:10*pi; plot3(sin(t),cos(t),t,ro) 例2 作出函数的图像,并作出10条等高线. 程序如下： x=-3:0.1:3;y=x; X,Y=meshgrid(x,y); Z=X.2+Y.2; subplot(1,2,1),mesh(X,Y,Z), subplot(1,2,2), clabel(contour(X,Y,Z,10) 例3 作

32、出椭球面的图形程序如下：x=2*cos(s)*sin(t);y=3*cos(s)*cos(t);z=sin(s);ezmesh(x,y,z) 注意：没有直接作出曲面F(x,y,z)=0图像的命令。 例4 作出单叶双曲面的图形程序如下：x=-3:0.01:3;y=-3:0.01:3;x,y=meshgrid(x,y);z=sqrt(9*(x.2+y.2/4-1); ii=find(imag(z)=0); % imag(z)表示z的虚部z(ii)=NaN; z1=-z;mesh(x,y,z), hold on,mesh(x,y,z1) 注意：本例也可以用例12的方法来做。例5 作出锥面和相交的图形

33、程序如下：x,y=meshgrid(-2:0.01:2);z1=x.2-2*y.2;z2=x.2+y.2-5;mesh(x,y,z1);hold onmesh(x,y,z2);ii=find(abs(z1-z2)n=1:100;y=n.(1./n);plot(y,ro) 图像如下：可以看出极限是1.从数值计算来看：for n=1:1:10 x(n,1)=n;x(n,2)=n(1/n);x(n,3)=n(1/n)-1; endx运行结果(x的第二列是数列的项，第三列是项与1的差)：x = 1.0000 1.0000 0 2.0000 1.4142 0.4142 3.0000 1.4422 0.4

34、422 4.0000 1.4142 0.4142 5.0000 1.3797 0.3797 6.0000 1.3480 0.3480 7.0000 1.3205 0.3205 8.0000 1.2968 0.2968 9.0000 1.2765 0.2765 10.0000 1.2589 0.2589例2、数列计算数列的前30项的近似值. 作散点图, 观察点的变化趋势.程序如下：x(1)=sqrt(2);for n=1:30x(n+1)=sqrt(2+x(n);endplot(x,ro) 可以看出数列取值趋近于2.例3、求极限程序如下：syms a b x;y=x*(1+a/x)x)*sin(

35、b/x);limit(y,x,inf) 例4、求极限程序如下：syms x;y=(exp(x3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x);limit(y,x,0,right) 例5 函数，求syms xy=sin(x)/(x2+4*x+3); y1=diff(y), y3= diff(y,3) 例6 求函数的一阶导数. 并求syms x a by=sin(a*x)*cos(b*x);y1=diff(y),x=1/(a+b);y11=eval(y1) 例7 函数，求syms a b x y z=a*x2*y3+b*sin(x*y); zxx=diff(z,x,2), zyy=diff(z

36、,y,2), zxy=diff(diff(z,x),y) 例8 参数式函数,求syms a t x=a*(t+sin(t);y=a*(1-cos(t); diff(y,t)/diff(x,t) 例9 隐函数，求syms x y z=exp(x*y)+x+y-1; -diff(z,x)/diff(z,y) 例10 求下列积分（1）; （2）; (3) . syms x ay1=1/(sin(x)2*cos(x)2);y2=1/(x2-a2);y3=1/(x2*sqrt(1+x2);i1=int(y1,x),i2=int(y2,x),i3=int(y3,x,1,sqrt(3) 例11 计算积分。

37、方法一： y=exp(-x.2);quad(y,0,1) 方法二：x=0:0.01:1;y=exp(-x.2);trapz(x,y) 例12 计算重积分是由圆周及坐标轴在第一象限围成的闭区域。syms x yz=sqrt(1-x2-y2)/(1+x2+y2); int(int(z,y,0,sqrt(1-x2),x,0,1)显示结果：Warning: Explicit integral could not be found.换为极坐标下计算：syms t rz=sqrt(1-r2)/(1+r2)*r;int(int(z,r,0,1),t,0,2*pi) 例13 计算的近似值。下载quad2dggen.m及相关文件(可在机房老师处拷贝)装到matlab/work目录下. 命令格式：quad2dggen(fun,x1,x2,y1,y2) %计算积分quad2dggen(fun,x1,x2,y1,y2,c) %同上，c为精度注意：该命令只能计算y-型区域的二重积分。其中fu