高考数学总复习 6.2 等差数列及其前n项和课件 文 新人教B版

1、1 16.2等差数列及其前等差数列及其前n项和项和考纲要求考纲要求1.理解等差数列的概念理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通掌握等差数列的通项公式与前项公式与前n项和公式项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差了解等差数列与一次函数、二次函数的关系数列与一次函数、二次函数的关系2 21等差数列的有关概念等差数列的有关概念(1)等差数列的定义等差数列的定义一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前项起，每一项与它的前一项的差等于一项的差等于_

2、，那么这个数列就叫做等差数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_表示，表示，定义表达式为定义表达式为_或或_2同一个常数同一个常数danan1d(常数常数)(nN*，n2)an1and(常数常数)(nN*)3 34 43等差数列的常用性质等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：通项公式的推广：anam_ (n，mN*)(2)若若an为等差数列，且为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则则_(3)若若an是等差数列，公差为是等差数列，公差为d，则，则a2n也是等差数列，也是等差数列，公差为公差为_(4)若若an，b

3、n是等差数列，公差为是等差数列，公差为d，则，则panqbn也是也是等差数列等差数列(nm)dakalaman2d5 5(5)若若an是等差数列，公差为是等差数列，公差为d，则，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为是公差为_的等差数列的等差数列(6)数列数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列也是等差数列(7)S2n1(2n1)an.md6 6【思考辨析思考辨析】判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”“”或或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列是常数，

4、则这个数列是等差数列()(2)数列数列an为等差数列的充要条件是对任意为等差数列的充要条件是对任意nN*，都，都有有2an1anan2.()7 7(3)等差数列等差数列an的单调性是由公差的单调性是由公差d决定的决定的()(4)数列数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为为等差数列的充要条件是其通项公式为n的的一次函数一次函数(5)数列数列an满足满足an1ann，则数列，则数列an是等差数列是等差数列()(6)已知数列已知数列an的通项公式是的通项公式是anpnq(其中其中p，q为常为常数数)，则数列，则数列an一定是等差数列一定是等差数列()【答案答案】 (1)(2)(3)(4)(5)(

5、6)8 81(2015重庆重庆)在等差数列在等差数列an中，若中，若a24，a42，则，则a6等于等于()A1B0C1 D6【解析解析】 由等差数列的性质，得由等差数列的性质，得a62a4a22240，选，选B.【答案答案】 B9 92(2016全国卷全国卷)已知等差数列已知等差数列an前前9项的和为项的和为27，a108，则，则a100()A100 B99C98 D97【解析解析】 设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，因为，因为an为等差为等差数列，且数列，且S99a527，所以，所以a53.又又a108，解得，解得5da10a55，所以，所以d1，所以，所以a100a595d98，

6、选，选C.【答案答案】 C10103在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a4a816，则该数列前，则该数列前11项和项和S11等于等于()A58 B88C143 D176【答案答案】 B11114设数列设数列an是等差数列，若是等差数列，若a3a4a512，则，则a1a2a7等于等于()A14 B21C28 D35【解析解析】 a3a4a53a412，a44，a1a2a77a428.【答案答案】 C12125已知数列已知数列an对任意的对任意的p，qN*满足满足apqapqq，且且a26，那么，那么a10等于等于()A165 B33C30 D21【解析解析】 由由apqapaq，得，得an

7、1ana1，数列数列an成等差数列，且公差成等差数列，且公差da1.a2a1d6，得得a1d3，a1039(3)30.【答案答案】 C1313题型一等差数列基本量的运算题型一等差数列基本量的运算【例例1】 (1)(2016浙江温州五校上学期开学测试浙江温州五校上学期开学测试)已知已知等差数列等差数列an中第中第2项为项为606，前，前4项和项和S4为为3 834，则该数列，则该数列第第4项为项为()A2 004B3 005C2 424 D2 01614141515【答案答案】 (1)D(2)A1616【方法规律方法规律】 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出等差数列运算问题的一般求法是设出首

8、项首项a1和公差和公差d，然后由通项公式或前，然后由通项公式或前n项和公式转化为方项和公式转化为方程程(组组)求解求解(2)等差数列的通项公式及前等差数列的通项公式及前n项和公式，共项和公式，共涉及五个量涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想个，体现了方程的思想1717跟踪训练跟踪训练1 (1)(2015课标全国课标全国)设设Sn是等差数列是等差数列an的的前前n项和，若项和，若a1a3a53，则，则S5等于等于()A5 B7C9 D11(2)(2016江苏江苏)已知已知an是等差数列，是等差数列，Sn是其前是其前n项和项和若若a

9、1a3，S510，则，则a9的值是的值是_1818【答案答案】 (1)A(2)2019192020212122222323【方法规律方法规律】 等差数列的四个判定方法等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数定义法：证明对任意正整数n都有都有an1an等于同一等于同一个常数个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数等差中项法：证明对任意正整数n都有都有2an1anan2后，可递推得出后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列，根据定义得出数列an为等差数列为等差数列2424(3)通项公式法：得出通项公式法：得出anpnq后，得后，得an1anp

10、对任意对任意正整数正整数n恒成立，根据定义判定数列恒成立，根据定义判定数列an为等差数列为等差数列(4)前前n项和公式法：得出项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据后，根据Sn，an的的关系，得出关系，得出an，再使用定义法证明数列，再使用定义法证明数列an为等差数列为等差数列2525跟踪训练跟踪训练2 (2017云南第一次统一检测云南第一次统一检测)已知等比数列已知等比数列an的前的前n项和是项和是Sn，S18S978.(1)求证：求证：S3，S9，S6成等差数列；成等差数列；(2)a7与与a10的等差中项是否是数列的等差中项是否是数列an中的项？如果是，中的项？如果是，是是an中的第几项？

11、如果不是，请说明理由中的第几项？如果不是，请说明理由262627272828题型三等差数列的性质及应用题型三等差数列的性质及应用命题点命题点1等差数列的性质等差数列的性质【例例3】 (1)(2016洛阳统考洛阳统考)在等差数列在等差数列an中，中，a3a927a6，Sn表示数列表示数列an的前的前n项和，则项和，则S11()A18B99C198 D297(2)(2016常德一模常德一模)已知已知an为等差数列，若为等差数列，若a1a2a35，a7a8a910，则，则a19a20a21_29293030【答案答案】 (1)B(2)203131命题点命题点2等差数列前等差数列前n项和的最值项和的最

12、值【例例4】 在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a120，前，前n项和为项和为Sn，且且S10S15，求当，求当n取何值时，取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最取得最大值，并求出它的最大值大值32323333nN*，当当n12或或13时，时，Sn有最大值，且最大值为有最大值，且最大值为S12S13130.方法三方法三由由S10S15得得a11a12a13a14a150.5a130，即，即a130.当当n12或或13时，时，Sn有最大值，且最大值为有最大值，且最大值为S12S13130.【引申探究引申探究】 例例4中，若条件中，若条件“a120”改为改为a120，其他条件不变，求当其他条

13、件不变，求当n取何值时，取何值时，Sn取得最小值，并求出最取得最小值，并求出最小值小值3434353536363737跟踪训练跟踪训练3 (1)等差数列等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，已知，已知a5a74，a6a82，则当，则当Sn取最大值时，取最大值时，n的值是的值是()A5B6C7 D8(2)(2016湖南株洲二中月考湖南株洲二中月考)已知已知Sn是等差数列是等差数列an的前的前n项和，且项和，且S6S7S5，给出下列五个命题：，给出下列五个命题：d0；S110；S120；数列数列Sn中的最大项为中的最大项为S11；|a6|a7|.其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是()A5

14、B4C3 D13838(3)已知等差数列已知等差数列an的首项的首项a120，公差，公差d2，则前，则前n项和项和Sn的最大值为的最大值为_【解析解析】 (1)依题意得依题意得2a64，2a72，a620，a710；又数列；又数列an是等差数列，因此在该数列中，前是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当项起以后各项均为负数，于是当Sn取取最大值时最大值时，n6，选，选B.39394040【答案答案】 (1)B(2)C(3)1104141高频小考点高频小考点6等差数列的前等差数列的前n项和及其最值项和及其最值【典例典例】 (1)在等差数列在等

15、差数列an中，中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前，则此数列前10项的和项的和S10等于等于()A45 B60C75 D90(2)在等差数列在等差数列an中，中，S10100，S10010，则，则S110_4242(3)等差数列等差数列an中，已知中，已知a50，a4a70，则，则an的前的前n项和项和Sn的最大值为的最大值为()AS4 BS5CS6 DS7【思维点拨思维点拨】 (1)求等差数列前求等差数列前n项和，可以通过求解项和，可以通过求解基本量基本量a1，d，代入前，代入前n项和公式计算，也可以利用等差数项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：列的性质：a1ana2an

16、1；(2)求等差数列前求等差数列前n项和的最值，可以将项和的最值，可以将Sn化为关于化为关于n的的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项号变化趋势，找最后的非负项或非正项434344444545【答案答案】 (1)A(2)110(3)B【温馨提醒温馨提醒】 (1)利用函数思想求等差数列前利用函数思想求等差数列前n项和项和Sn的最值时，要注意到的最值时，要注意到nN*；(2)利用等差数列的性质求利用等差数列的性质求 Sn，突出了整体思想，减少，突出了整体思想，减少了运算量了运算量.4646 方法与技巧方法与技巧1在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解的方程组进行求解2证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前项公式法，前n项和公式法判定一个数列是否为等差数列项和公式法判定一个数列是否为等差数列47473等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量4在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，