2021新高考数学二轮总复习专题突破练17空间中的平行垂直与空间角含解析20201124273.docx
2021新高考数学二轮总复习专题突破练含解析打包28套
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专题突破练17空间中的平行、垂直与空间角1.(2020海南海南中学月考,18)已知直四棱柱abcd-abcd,四边形abcd为正方形,aa=2ab=2,e为棱cc的中点.(1)求三棱锥c-abd的体积;(2)求证:aebd;(3)求异面直线de与ab所成角的余弦值.2.(2020海南海口模拟,19)如图,在三棱锥d-abc中,abac,abd是正三角形,且平面abd平面abc,ab=ac=4,e,g分别为ab,bc的中点.(1)证明:eg平面abd;(2)若f是线段de的中点,求ac与平面fgc所成角的正弦值.3.(2020山东潍坊三模,18)如图,点c是以ab为直径的圆上的动点(异于a,b),已知ab=2,ae=7,eb平面abc,四边形bedc为平行四边形.(1)求证:bc平面acd;(2)当三棱锥a-bce的体积最大时,求平面ade与平面abc所成的二面角的余弦值.4.(2020山东日照二模,19)如图所示,在四棱锥p-abcd中,底面abcd为矩形,pa平面abcd,pa=ad=2,m,n分别是ab,pc的中点.(1)求证:mn平面pcd;(2)若直线pb与平面abcd所成角的余弦值为255,求二面角n-dm-c的余弦值.5.(2020山东青岛一模,19)在如图所示的四棱锥e-abcd中,四边形abcd为平行四边形,bce为边长为2的等边三角形,ab=ae,f,o分别为ab,be的中点,of是异面直线ab和oc的公垂线.(1)证明:平面abe平面bce;(2)记ced的重心为g,求直线ag与平面abcd所成角的正弦值.6.(2020天津,17)如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,cc1平面abc,acbc,ac=bc=2,cc1=3,点d,e分别在棱aa1和棱cc1上,且ad=1,ce=2,m为棱a1b1的中点.(1)求证:c1mb1d;(2)求二面角b-b1e-d的正弦值;(3)求直线ab与平面db1e所成角的正弦值.7.(2020山东潍坊一中月考,19)在四棱锥s-abcd中,底面abcd为长方形,sb底面abcd,其中bs=2,ba=2,bc=,的可能取值为=14,=12,=32,=32,=3.(1)求直线as与平面abcd所成角的正弦值;(2)若在线段cd上能找到点e,满足aese,则可能的取值有几种情况?请说明理由;(3)在(2)的条件下,当为所有可能情况的最大值时,线段cd上满足aese的点有两个,分别记为e1,e2,求二面角e1-sb-e2的大小.专题突破练17空间中的平行、垂直与空间角1.(1)解四棱柱abcd-abcd为直四棱柱,aa平面abcd,又aa=2,bc=cd=1,vc-abd=va-bcd=13sbcdaa=1312112=13.(2)证明以d为原点,da,dc,dd所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则d(0,0,0),b(1,1,0),e(0,1,1),a(1,0,2),ae=(-1,1,-1),db=(1,1,0),aedb=-1+1=0,aebd.(3)解由(2)得,de=(0,1,1),ab=(0,1,-2),|cos|=|deab|de|ab|=125=1010,即异面直线de与ab所成角的余弦值为1010.2.(1)证明因为e,g分别为ab,bc的中点,所以egac.因为abac,平面abd平面abc,平面abd平面abc=ab,所以ac平面abd,所以eg平面abd.(2)解因为abd是正三角形,所以deab.由(1)知eg平面abd,所以eg,ab,de两两垂直,则以e为坐标原点,分别以eb,eg,ed的方向为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系e-xyz.因为ab=ac=4,abd是正三角形,所以e(0,0,0),a(-2,0,0),b(2,0,0),g(0,2,0),d(0,0,23),c(-2,4,0).因为f是de的中点,所以f(0,0,3).ac=(0,4,0),fg=(0,2,-3),gc=(-2,2,0).设平面fgc的法向量为m=(x,y,z),所以mfg=0,mgc=0,即2y-3z=0,-2x+2y=0,令x=1,则y=1,z=233,所以平面fgc的一个法向量m=1,1,233.设ac与平面fgc所成的角为,则sin=|cos|=|mac|m|ac|=441+1+43=3010.3.(1)证明因为四边形bedc为平行四边形,所以cdbe.因为eb平面abc,所以cd平面abc,所以cdbc.因为acb是以ab为直径的圆上的圆周角,所以bcac.又因为accd=c,所以bc平面acd.(2)解在abc中,设ac=x,bc=4-x2(0x2),所以sabc=12acbc=12x4-x2.因为ae=7,ab=2,所以be=3.所以va-bce=ve-abc=13sabcbe=36x4-x2=36x2(4-x2)36x2+4-x22=33,当且仅当x2=4-x2,即x=2时,等号成立.故三棱锥a-bce体积的最大值为33.以c为坐标原点,以ca,cb,cd为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图,则c(0,0,0),a(2,0,0),d(0,0,3),e(0,2,3),所以ad=(-2,0,3),de=(0,2,0).易知平面abc的一个法向量n1=(0,0,3).设平面ade的法向量n2=(x,y,z),可得n2ad=0,n2de=0,所以-2x+3z=0,2y=0,令x=3,可得平面ade的一个法向量n2=(3,0,2),所以cos=n1n2|n1|n2|=635=105.4.(1)证明取pd中点e,连接en,ae.因为m,n,e分别为ab,pc,pd的中点,所以enam,en=am=12ab,所以四边形amne是平行四边形,故mnae.因为pa平面abcd,所以pacd.又因为cdad,adpa=a,所以cd平面pad,所以平面pcd平面pad.因为pa=ad,e为中点,所以aepd,所以ae平面pcd,所以mn平面pcd.(2)解因为pa平面abcd,所以pba即为直线pb与平面abcd所成的角,所以cospba=255,所以sinpba=55.因为pa=ad=2,ab=4,分别以ab,ad,ap为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则d(0,2,0),m(2,0,0),c(4,2,0),p(0,0,2),n(2,1,1),则dm=(2,-2,0),mn=(0,1,1).设平面ndm的法向量n1=(x,y,z),则n1dm=0,n1mn=0,即2x-2y=0,y+z=0,取x=1,则y=1,z=-1,即平面ndm的一个法向量n1=(1,1,-1).易得平面dmc的一个法向量n2=(0,0,1),所以cos=n1n2|n1|n2|=-33,由图可知,二面角n-dm-c为锐角,所以二面角n-dm-c的余弦值为33.5.(1)证明因为o为be的中点,所以在等边bce中,ocbe.又因为of是异面直线ab和oc的公垂线,所以ocof.又因为ofbe=o,所以oc平面abe.因为oc平面bce,所以平面abe平面bce.(2)解因为f,o分别为ab,be的中点,所以ofae.又因为of是异面直线ab和oc的公垂线,所以ofab,aeab,所以abe为等腰直角三角形.连接ao,ab=ae=2,oa=1,因为oabe,oa平面abe,平面abe平面bce,且平面abe平面bce=be,所以oa平面bce.以o为原点,分别以oe,oc,oa所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则a(0,0,1),b(-1,0,0),c(0,3,0),e(1,0,0).因为四边形abcd为平行四边形,设d(x0,y0,z0),因为bc=ad,所以(1,3,0)=(x0,y0,z0-1),所以d(1,3,1).设平面abcd的法向量为n=(x,y,z),ba=(1,0,1),bc=(1,3,0),则nba=0,nbc=0,即x+z=0,x+3y=0,令y=-1,则x=3,z=-3,所以平面abcd的一个法向量n=(3,-1,-3).因为c(0,3,0),e(1,0,0),d(1,3,1),所以cde的重心g的坐标为23,233,13,ag=23,233,-23,设直线ag与平面abcd所成角为,则sin=|cos|=nag|n|ag|=2337253=10535.6.解依题意,以c为原点,分别以ca,cb,cc1的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得c(0,0,0),a(2,0,0),b(0,2,0),c1(0,0,3),a1(2,0,3),b1(0,2,3),d(2,0,1),e(0,0,2),m(1,1,3).(1)证明:依题意,c1m=(1,1,0),b1d=(2,-2,-2),从而c1mb1d=2-2+0=0,所以c1mb1d.(2)依题意,ca=(2,0,0)是平面bb1e的一个法向量,eb1=(0,2,1),ed=(2,0,-1).设n=(x,y,z)为平面db1e的法向量,则neb1=0,ned=0,即2y+z=0,2x-z=0.不妨设x=1,可得n=(1,-1,2).因此有cos=can|ca|n|=66,于是sin=306.所以,二面角b-b1e-d的正弦值为306.(3)依题意,ab=(-2,2,0).由(2)知n=(1,-1,2)为平面db1e的一个法向量,于是cos=abn|ab|n|=-33.所以,直线ab与平面db1e所成角的正弦值为33.7.解(1)因为sb底面abcd,所以sab即为直线as与平面abcd所成的角,在rtsba中,sinsab=sbsa=22.(2)以b为坐标原点,以bc,ba,bs的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则b(0,0,0),a(0,2,0),d(,2,0),s(0,0,2).设e(,x,0)(0x2),所以se=(,x,-2),ea=(-,2-x,0).由seea可得-2+x(2-x)=0,解得2=x(2-x).因
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