2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.5增长速度的比较学案含解析新人教B版必修第二册202012032171.docx
2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包33套新人教B版必修第二册
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2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包33套新人教b版必修第二册,文本
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4.5增长速度的比较学习目标1.能利用函数的平均变化率,说明函数的增长速度.2.比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.自主预习情境引入杰米是百万富翁,一天,他碰到一件奇怪的事,一个叫韦伯的人对他说:“我想和你订个合同,我将在整整一个月中(这个月有31天),每天给你10万元,而你第一天只需给我1分钱,以后你每天给我的钱是前一天的两倍.”杰米说:“真的?你说话算数?”合同开始生效了,杰米欣喜若狂.第一天杰米支出1分钱,收入10万元.第二天杰米支出2分钱,收入10万元,到了第10天,杰米共得100万元,而总共才付出10元2角3分.到了第20天,杰米共得200万元,而韦伯才得1万多元.杰米想:要是合同订二、三个月该多好!可从21天起,情况发生了转变.第22天杰米支出2万多,收入10万,到第28天,杰米支出134万多,收入10万.结果,杰米在一个月(31)天内得到310万元的同时,共付给韦伯2千1百多万元!杰米破产了.问题1写出杰米每天收入y(单位:分)与天数x的函数关系式.问题2写出杰米每天支出y(单位:分)与天数x的函数关系式.三种常见函数模型的增长差异对比三类函数的增长速度,熟记图像变化规律函数性质y=ax(a1)y=logax(a1)y=kx(k0)在(0,+)上的增减性图像的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随k值而不同形象描述指数爆炸对数增长直线上升增长速度y=ax(a1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k0)的增长速度;总存在一个x0,当xx0时,恒有logaxx0时,有课堂探究题型一幂函数的增长速度y=x,当1,x0时,随x的增加,y增加的越来越快,当00时,随x的增加,y增加的越来越慢.例1已知函数y=x2,分别计算函数在区间1,2与2,3上的平均变化率,并说明当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律.训练1已知函数y=x12,分别计算函数在区间0,1与1,2上的平均变化率,并说明,当自变量每增加一个单位时,函数值变化的规律.题型二指数(对数)函数的增长速度y=ax,当a1时,随x的增加,y值增加的越来越快,可以远远超过y=x(1)的增长速度;y=logax,当a1,x0时,y随x的增加而增加,但增加的速度越来越慢例2分别计算函数y=3x在区间1,2与2,3上的平均变化率,并说明函数值变化的规律.训练2计算函数y=log3x在区间1,2与 2,3上的平均变化率,并以此说明函数值变化的规律.题型三不同函数在同一区间上平均变化率的比较例3已知函数f(x)=2x,g(x)=x,h(x)=log2x,分别计算这三个函数在区间a,a+1(a1)上的平均变化率,并比较它们的大小.训练3已知函数y=log3x在a,a+1(0akxlogax课堂探究例1解:因为yx=x22-x12x2-x1=x2+x1,所以y=x2在区间1,2上的平均变化率为3,在区间2,3上的平均变化率为5,不难看出,当自变量大于零时,自变量每增加1个单位,区间的左端点值越大,函数值增加越快.训练1解:因为yx=x212-x112x2-x1=1x212+x112,所以y=x12在0,1上的平均变化率为1,在1,2上的平均变化率为2-1,可以看出自变量每增加1个单位,区间左端点值越大,函数值增加越慢.例2解:因为yx=3x2-3x1x2-x1,所以函数y=3x在区间1,2上的平均变化率为32-312-1=6,在2,3上的平均变化率为33-323-2=18,可以看出,当自变量每增加1个单位时,区间左端点值越大,函数值增加越快.训练2解:因为yx=log3x2-log3x1x2-x1,所以y=log3x在区间1,2上的平均变化率为log32-log312-1=log32.在区间2,3上的平均变化率为log33-log323-2=log332,函数y=log3x在区间1,2与2,3上均是增函数,又log32log332,函数值y增加的速度越来越慢.例3解:因为fx=2a+1-2a(a+1)-a=2a,gx=(a+1)-a(a+1)-a=1,hx=log2(a+1)-log2a(a+1)-a=log21+1a,又因为a1时,有2a21=21,log21+1alog21+11=1,因此在区间a,a+1上,f(x)的平均变化率最大,h(x)的最小.训练3解:yx=log3(a+1)-log3a(a+1)-a=log31+1a1,log31+1alog33,01+1a3,又0a1,12a1,即a的取值范围为12,1.核心素养专练1.a2.减少10个解析:设f(x)=5x+b,xr,则f(x-2)-f(x)=5(x-2)+b-(5x+b)=-10.3.d解析:由图知,甲、乙两人s与t的关系均为直线上升,路程s的增长速度不变,即甲、乙均为匀速运动,但甲的速度快.又甲、乙的路程s取值范围相同,即跑了相同的路程,故甲用时少,先到终点.学习目标1.复习平均变化率的定义,理解其意义及几何意义.(直观想象)2.能利用平均变化率比较幂指对函数增长的快慢.(逻辑推理)3.了解在实际生活中不同增长规律的函数模型.(数学建模)自主预习平均变化率1.试求出y=3x+4在3,5上的平均变化率.提示:平均变化率为y的改变量与x的改变量之比.2.(1)函数值的改变量与自变量的改变量的比称为.(2)函数y=f(x)在区间x1,x2(x1x2时)上的平均变化率为.(3)平均变化率也可理解为:自变量每增加1个单位,函数值平均将增加个单位,因此,可用平均变化率来比较函数值变化的快慢.3.函数y=4x的平均变化率为a1,函数y=x-3的平均变化率为a2,则a1,a2的大小关系是()a.a1a2b.a1a2c.a1=a2d.无法确定4.y=x2+1在1,1+x上的平均变化率是()a.2b.2xc.2+xd.2+(x)2课堂探究有一套房子,价格为200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固定能攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款、收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子?a.5年b.7年c.8年d.9年e.永远也买不起问题1:凭直觉,你认为上述问题的答案是什么?为什么?问题2:房价的增长速度一直都比攒钱的增长速度快吗?怎么刻画它们的增长速度呢?问题3:函数y=f(x)在区间x1,x2(x11)上的平均变化率,并比较它们的大小.要点归纳:平均变化率大小比较常用方法引申:当0a1时,2a21=21,log21+1a1)上,f(x)的平均变化率最大,h(x)的最小.引申:略例3解析:设经过x年后,房价为p(x)万元,这个人攒下的钱共有r(x)万元,则这两个函数的解析式分别为:p(x)=2001.1x,r(x)=40x,(xn).在区间a,a+1,an上,px=2001.1a+1-2001.1a(a+1)-a=201.1a,rx=40(a+1)-40a(a+1)-a=40.令pxrx,得201.1a40,所以alog1.127.3.即a8时,房价的增长速度比攒钱的增长速度快.我们也可以列表,直观看一下两个函数值(取整数,单位:万元)的变化情况:x123456789p(x)220242266293322354390429472r(x)4080120160200240280320360x的值每增加1,r(x)的值稳定地增长40,而p(x)的值的增加量则逐渐变大,并且越来越快.经过8年后,p(x)的值的年增加量将接近40,以后则均大于40.在前8年里,攒钱的总数始终小于房价,所以,这个人永远也买不起房子.核心素养专练1.b解析:y=f(x+x)-f(x)=f(2+0.1)-f(2)=(2.1)2+1-(22+1)=0.41.故选b.2.c解析:小明匀速运动时,所得图像为一条直线,且距离学校越来越近,故排除a.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除d.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除b.故选c.3.d解析:法一:相邻的自变量之差大约为1,相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6,基本上是逐渐增加的,二次函数曲线拟合程度最好,故选d.法二:比较四个函数值的大小,可以采用特殊值代入法.可取x=4,经检验易知选d.4.bd解析:因为温度y关于时间t的图像是先凸后平,所以前5 min每当t增加一个单位,相应的增量y越来越小,而5 min后y关于t的增量保持为0,则bd正确.5.(4)(1)(3)(2)解析:a容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;b容器为球形,水高度变化为快慢快,应与(1)对应;c,d容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但c容器细,d容器粗,故水高度的变化为c容器快,与(3)对应,d容器慢,与(2)对应.6.解:如图,根据函数y=x+5与y=2x的图像增长差异,得当x2x;当x=3时,x+5=2x;当x5时,x+52x.7.解:(1)画出函数图像,如图所示.从函数的图像可以看出,画出的点近似地落在一条直线上,设所求的函数关系式为y=kx+b(k0).把直线经过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式,解得k=0.677 7,b=8.206 7.所以函数关系式为y=0.677 7x+8.206
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