2020_2021学年新教材高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法第3课时分段函数学案含解析新人教B版必修第一册20200925213.doc
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第3课时分段函数课程标准学法解读通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.学习分段函数时,要注意结合实例体会概念,还要注意书写的规范.必备知识探新知基础知识1分段函数的定义_一个函数_,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,_有不同的对应方式_,则称其为分段函数思考:根据实数绝对值的含义将函数y|x1|中的绝对值号去掉,变形后的函数是什么函数?提示:根据绝对值含义可知,y|x1|变形后的函数是一个分段函数2几个特殊的函数(1)高斯取整函数yx,定义域为r,值域为z.(2)狄利克雷函数d(x)定义域为r,值域为0,1,(3)常数函数yc,c为常数,定义域为r,值域为c,图像为垂直于y轴的直线基础自测1已知f(x),则ff(3)(d)a2bc3d1解析:f(x),f(3),ff(3)f()1.2下表表示函数yf(x),则f(11)(c)x0x55x1010x1515x20y2345a2b3c4d5解析:10x15时,y4,yf(11)4.3已知函数f(x)则ff(3)的值为_3_.解析:因为f(x)所以f(3)341,ff(3)f(1)143.4设函数f(x)若f(x0)8,则x0_4或_.解析:由题意,得(1)当x02时,有x28,解之得x0,而2不符合,所以x0.(2)当x02,有2x08,解之得x04.综上所述,得x04或.5如图为一个分段函数的图像,则该函数的定义域为_1,2_,值域为_1,1)_.解析:由图像可知,第一段图形对应的自变量取值范围为1,0),值域为0,1);第二段图形对应的自变量取值范围为0,2,值域为1,0,因此该分段函数的定义域为1,0)0,2,即1,2,值域为1,00,1),即1,1)关键能力攻重难类型分段函数求值(范围)问题典例剖析_典例1已知函数f(x)(1)求f的值;(2)若f(a),求a的值思路探究:对于分段函数求值应先看清自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求解解析:(1)因为f2,所以ff.(2)f(a),若|a|1,则|a1|2,得a或a.因为|a|1,所以a的值不存在;若|a|1,则,得a,符合|a|1.所以若f(a),a的值为.归纳提升:分段函数问题的常见解法(1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现ff(a)的形式时,应从内到外依次求值(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要检验(3)在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可对点训练_1(1)已知函数f(x)若f(a)f(1)0,则实数a的值等于(a)a3b1c1d3(2)函数f(x)则a的取值范围是_(,3)_.解析:(1)f(a)f(1)0,f(a)f(1)2,当a0时,2a2,a1,舍去,当a0时,a12,a3.(2)当a2时,f(a)a3,此时不等式的解集是(,3);当2a4时,f(a)a13,此时不等式无解;当a4时,f(a)3a3,此时不等式无解故a的取值范围是(,3)类型求分段函数的解析式典例剖析_典例2根据下图所示的函数f(x)的图像,写出函数的解析式思路探究:图中给出的图像其实是一个分段函数的图像,对各段对应的函数解析式分别求解解析:当3x1时,函数f(x)的图像是一条线段(右端点除外),设f(x)axb(a0),将点(3,1),(1,2)的坐标代入,解得a,b,可得f(x)x;当1x1时,同理,可设f(x)cxd(c0),将点(1,2),(1,1)的坐标代入,解得c,d,可得f(x)x;当1x2时,f(x)1.综上所述,f(x)归纳提升:由图像求函数解析式的方法已知函数的图像求解析式yf(x),如果自变量x在不同的区间上变化时,函数f(x)的解析式不同,那么应分段求解,此时根据图像,结合已学过的基本函数图像,选择相应的解析式,用待定系数法求解如果函数解析式为分段函数,要注意写解析式时各区间端点的值,做到不重不漏对点训练_2如图,已知函数yf(x)的图像是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成的,求此函数的解析式解析:设左侧的射线对应的函数解析式为ykxb,x1.点(1,1),(0,2)在射线上,解得左侧射线对应的函数解析式为yx2,x1.同理,当x3时,函数的解析式为yx2,x3.设抛物线的一部分对应的二次函数的解析式为ya(x2)22,1x3,a0.点(1,1)在抛物线上,a21,解得a1.当1x3时,函数的解析式为yx24x2,1x3.综上,函数的解析式为y类型分段函数在实际问题中的应用典例剖析_典例3如图所示,在边长为4的正方形abcd边上有一点p,沿着折线bcda,由点b(起点)向点a(终点)运动设点p运动的路程为x,apb的面积为y,求:(1)y与x之间的函数关系式;(2)画出yf(x)的图像解析:(1)当点p在bc上,即0x4时,sabp4x2x,当点p在cd上,即4x8时,sabp448,当点p在da上,即8x12时,sabp4(12x)242x,y.(2)画出yf(x)的图像,如图(2)所示归纳提升:由实际问题决定的分段函数要写出它的解析式,就是根据实际问题分成几类求解析式时,先分段求,再综合在一起即可对点训练_3已知a、b两地相距150 km,某人开汽车以60 km/h的速度从a地到达b地;在b地停留1 h后再以50 km/h的速度返回a地,把汽车离开a地的距离s表示为时间t(h)的函数表达式为(d)as60tbs60t50tcsds解析:当0t2.5时,s60t;当2.5t3.5时,s150;当3.50时,2x10无解x3.4已知函数f(x),若ff(0)4a,则实数a_2_.解析
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