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2020_2021学年新教材高中数学第六章计数原理四组合组合数课时素养评价含解析新人教A版选择性必修第三册20210329211.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册素养评价含解析打包21套新人教A版选择性必修第三册
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2020_2021学年新教材高中数学全一册素养评价含解析打包21套新人教a版选择性必修第三册,文本
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九全概率公式 (25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.设某医院仓库中有10盒同样规格的x光片,已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种x光片的次品率依次为,现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张x光片,则取得的x光片是次品的概率为()a.0.08b.0.1c.0.15d.0.2【解析】选a.以a1,a2,a3分别表示取得的这盒x光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,b表示取得的x光片为次品,p=,p=,p=,p=,p=,p=;则由全概率公式,所求概率为p=pp+pp+pp=+=0.08.2.如果在上题中已知取得的x光片是次品,则该次品是由甲厂生产的概率为()a.0.085b.0.226c.0.625d.0.815【解析】选c.以a1,a2,a3分别表示取得的这盒x光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,b表示取得的x光片为次品,p=,p=,p=,p=,p=,p=,所以p=0.08,p = =0.625.3.设有5个袋子中放有白球,黑球,其中1号袋中白球占,另外2,3,4,5号4个袋子中白球都占,今从中随机取1个袋子,从所取的袋子中随机取1个球,结果是白球,则这个球是来自1号袋子中的概率为()a. b. c. d.【解析】选a.设ai:取到第i号袋子,i=1,2,3,4,5.b:取到白球,由贝叶斯公式得p(a1)=.4.(多选题)在某一季节,疾病d1的发病率为2%,病人中40%表现出症状s,疾病d2的发病率为5%,其中18%表现出症状s,疾病d3的发病率为0.5%,症状s 在病人中占60%.则()a.任意一位病人有症状s 的概率为0.02b.病人有症状s时患疾病d1的概率为0.4c.病人有症状s时患疾病d2的概率为0.45d.病人有症状s时患疾病d3的概率为0.25【解析】选abc.p(d1)=0.02,p(d2)=0.05,p(d3)=0.005,p(s|d1)=0.4,p(s|d2)=0.18,p(s|d3)=0.6,由全概率公式得p(s)=p(di)p(s|di)=0.020.4+0.050.18+0.0050.6=0.02.由贝叶斯公式得:p(d1|s)=0.4,p(d2|s)=0.45,p(d3|s)=0.15.二、填空题(每小题5分,共10分)5.5张彩票中仅有1张中奖彩票,5个人依次摸奖,则第二个人摸到中奖彩票的概率为_,第三个人摸到中奖彩票的概率为_.【解析】记“第i个人抽中中奖彩票”为事件ai ,显然p(a1)=,而p(a2)=pa2(a1)=p(a2a1)+p(a2)=p(a2a1)+p(a2)=p(a1)p(a2|a1)+p()p(a2|)=0+=,p(a3)=pa3(a1a2+a1+a2+ ) =p(a1a2a3)+p(a1a3)+p(a2a3)+p(a3)=0+0+0+p(a3)=p()p(|)p(a3|)=.答案:6.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以a1,a2和a3表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以b表示由乙罐中取出的球是红球的事件.则p(b)=_.【解析】由题意a1,a2,a3是两两互斥的事件,且a1a2a3=,所以p(b)=pb(a1a2a3)=p(ba1)+p(ba2)+p(ba3) =p(a1)p(b|a1)+p(a2)p(b|a2)+p(a3)p(b|a3) =+=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药,三地的供货量分别占40%、35%和25%,且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65、0.70和0.85,求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.【解析】设a1:药材来自甲地, a2:药材来自乙地,a3:药材来自丙地, b:抽到优等品;p=0.4,p=0.35,p=0.25,p=0.65,p=0.7,p=0.85,p=pp+pp+pp=0.650.4+0.70.35+0.850.25=0.717 5.8.某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为,第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为,若前两次未打破,第三次落下时打破的概率为,求透镜落下三次未打破的概率.【解析】以ai,i=1,2,3表示事件“透镜落下第i次时打破”,以b表示事件“透镜落下三次未打破”,因为b= ,所以p=p=ppp=.(15分钟30分)1.(5分)某工厂生产的产品以100件为一批,假定每一批产品中的次品数最多不超过4件,且具有如下的概率:一批产品中的次品数01234概率0.10.20.40.20.1现进行抽样检验,从每批中随机取出10件来检验,若发现其中有次品,则认为该批产品不合格,则一批产品通过检验的概率为()a.0.814b.0.809c.0.727d.0.652【解析】选a.以ai表示一批产品中有i件次品,i=0,1,2,3,4,b表示通过检验,则由题意得,p(a0)=0.1,p(b|a0)=1,p(a1)=0.2,p(b|a1)= =0.9,p(a2)=0.4,p(b|a2)= 0.809,p(a3)=0.2,p(b|a3)= 0.727,p(a4)=0.1,p(b|a4)= 0.652.由全概率公式,得p(b)=p(ai)p(b)=0.11+0.20.9+0.40.809+0.20.727+0.10.6520.814.2.(5分)某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的45%,35%,20%,且各车间的次品率分别为4%,2%,5%,现从一批产品中检查出1个次品,则该次品由_车间生产的可能性最大()a.甲b.乙c.丙d.无法确定【解析】选a.设a1,a2,a3表示产品来自甲、乙、丙车间,b表示产品为次品的事件,易知a1,a2,a3是样本空间中的事件,且有p(a1)=0.45,p(a2)=0.35,p(a3)=0.2,p(b|a1)=0.04,p(b|a2)=0.02,p(b|a3)=0.05.由全概率公式得 p(b)=p(a1)p(b|a1)+p(a2)p(b|a2)+p(a3)p(b|a3)=0.450.04+0.350.02+0.20.05=0.035.由贝叶斯公式得p(a1|b)=0.514,p(a2|b)=0.200,p(a3|b)=0.286,所以,该次品由甲车间生产的可能性最大.3.(5分)盒中有a个红球,b个黑球,今随机地从中取出一个,观察其颜色后放回,并加上同色球c个,再从盒中第二次抽取一球,则第二次抽出的是黑球的概率为_.【解析】设a:第一次抽出的是黑球,b:第二次抽出的是黑球,则b=ab+b,由全概率公式,p(b)=p(a)p(bp()p(b, 由题意,p(a)=,p(b|a)=,p()=,p(b|)=,所以p(b)=+=.答案:4.(5分)设盒中有m只红球,n只白球,每次从盒中任取一只球,看后放回,再放入k只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次,则第一次,第二次取到红球,第三次,第四次取到白球的概率为_.【解析】设ri(i=1,2,3,4)表示第i次取到红球的事件,(i=1,2,3,4)表示第i次取到白球的事件.则有p(r1r2 )=p(r1)p(r2)p()p(r1r2)=.答案:5.(10分)假定患有疾病d1,d2,d3中的某一个的人可能出现症状s=中一个或多个,其中:s1=食欲不振 s2=胸痛s3=呼吸急促 s4=发热现从20 000份患有疾病d1,d2,d3的病历卡中统计得到下列数据:疾病人数出现s中一个或几个症状人数d17 7507 500d25 2504 200d37 0003 500试问当一个具有s中症状的病人前来要求诊断时,在没有别的可依据的诊断手段情况下,推测该病人患有这三种疾病中哪一种较合适?【解析】 以a表示事件“患者出现s中的某些症状”,di表示事件“患者患有疾病di”(i=1,2,3),由于该问题数据很多,用事件的频率近似作为概率,由统计数据可知,p=0.387 5,p=0.262 5,p=0.35,p=0.967 7,p=0.8,p=0.5,所以p=pp+pp+pp=0.387 50.967 7+0.262 50.8+0.350.50.76.由贝叶斯公式可得,p=0.493 4,p=0.276 3,p=0.230 3.从而推测病人患有疾病d1较为合适.1.盒中放有12个乒乓球,其中9 个是新的.第1次比赛时从中选取3个来用,比赛后仍放回盒中,第2次比赛时再从盒中任取3个.则第2次取出的球都是新球的概率为_;如果第2次取出的球都是新球,则第1次取到的都是新球的概率为_.【解析】设ai:第一次比赛时用了i个新球,i=0,1,2,3,b:第二次取出的球全是新球;p=,p=,所以p=pp0.146,因为第二次取出的全是新球,p=pp=,所以p=0.24.答案:0.1460.242.袋中有n个球,其中n-1个红球,1个白球.n个人依次从袋中各取一球,每人取一球后不再放回袋中,求第i(i=1,2,n)人取到白球的概率.【解析】设ai表示“第i人取到白球”(i=1,2,n)的事件,显然p(a1)=.由a2 ,故a2=a2,于是p(a2)=p(a2)=p()p(a2|)=.类似有p(a3)=p( a3)=p()p(|)p(a3|)=,p(an)=p(an)=1=,因此第i个人(i=1,2,n)取到白球的概率与i无关,都是.八条 件 概 率(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.某地区气象台统计,该地区下雨的概率为,刮风的概率为,既刮风又下雨的概率为,则在下雨天里,刮风的概率为()a. b. c. d.【解析】选c.设a为下雨,b为刮风,由题意知p(a)=,p(b)=,p(ab)=,p(b|a)=.【加练固】根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为,下雨的概率为,既吹东风又下雨的概率为.则在吹东风的条件下,下雨的概率为()a.b.c. d.【解析】选d.设事件a表示“该地区四月份下雨”,b表示“四月份吹东风”,则p(a)=,p(b)=,p(ab)=,从而在吹东风的条件下,下雨的概率为p(a|b)=.2.盒中装有10个乒乓球,其中6个新球,4个旧球,不放回地依次取出2个球使用,在第一次取到新球的条件下,第二次也取到新球的概率为()a. b. c. d.【解析】选c.设事件a表示“第一次取到新球”,事件b表示“第二次取到新球”.则n(a)=,n(ab)=.p(b|a)=.3.已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0.5,两个路口连续遇到红灯的概率为0.4,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率为()a.0.6 b.0.7 c.0.8 d.0.9【解析】选c.设“第一个路口遇到红灯”为事件a,“第二个路口遇到红灯”为事件b,则p(a)=0.5,p(ab)=0.4,则p(b|a)=0.8.4.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张,将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞,则第2张也是假钞的概率为()a.b.c.d.【解析】选d.设事件a表示“抽到2张都是假钞”,事件b为“2张中至少有一张假钞”,所以为p(a|b).而p(ab)=,p(b)=.所以p(a|b)=.【加练固】从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件a:“取到的2个数之和为偶数”,事件b:“取到的2个数均为偶数”,则p(b|a)等于()a. b. c. d.【解析】选b.p(a)=,p(ab)=,由条件概率的计算公式得p(b|a)=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知p(a)=0.4,p(b)=0.5,p(a|b)=0.6,则p(b|a)为_.【解析】因为p(a|b)=,所以p(ab)=0.3.所以p(b|a)=0.75.答案:0.756.抛掷骰子2次,每次结果用(x1,x2)表示,其中x1,x2分别表示第一次、第二次骰子的点数.若设a=(x1,x2)|x1+x2=10,b=(x1,x2)|x1x2,则p(b|a)=_.【解析】因为p(a)=,p(ab)=,所以p(b|a)=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.一个袋中有2个黑球和3个白球,如果不放回地抽取两个球,记事件“第一次抽到黑球”为a;事件“第二次抽到黑球”为b.(1)分别求事件a,b,ab发生的概率;(2)求p(b|a).【解析】由古典概型的概率公式可知,(1)p(a)=,p(b)=,p(ab)=.(2)p(b|a)=.8.某个班级共有学生40人,其中团员有15人.全班分成四个小组,第一小组有学生10人,其中团员有4人.如果要在班内任选1人当学生代表.(1)求这个代表恰好在第一小组的概率;(2)求这个代表恰好是团员代表的概率;(3)求这个代表恰好是第一小组团员的概率;(4)现在要在班内任选1个团员代表,问这个代表恰好在第一小组的概率.【解析】设a:在班内任选1名学生,该学生属于第一小组,b:在班内任选1名学生,该学生是团员.(1)p(a)=.(2)p(b)=.(3)p(ab)=.(4)方法一:p(a|b)=.方法二:p(a|b)=.(15分钟30分)1.(5分)某厂的产品中有4%的废品,在100件合格品中有75件一等品,则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为()a.0.21b.0.72c.0.75d.0.96【解析】选b.设a:任取的一件是合格品,b:任取的一件是一等品,因为p(a)=1-p()=96%,p(a)=75%,所以p(b)=p(ab)=p(a)p(a)=0.72.2.(5分)将三颗骰子各掷一次,设事件a表示“三个点数都不相同”,b表示“至少出现一个6点”,则概率p(a|b)等于()a.b. c.d.【解析】选a.因为p(a|b)=,p(ab)=,p(b)=1-p()=1-=1-=.所以p(a|b)=.3.(5分)7名同学站成一排,已知甲站在中间,则乙站在末尾的概率是_.【解析】记“甲站在中间”为事件a,“乙站在末尾”为事件b,则n(a)=,n(ab)=,p(b|a)=.答案:4.(5分)一批同型号产品由甲、乙两厂生产,产品结构如表:甲厂乙厂合计合格品4756441 119次品255681合计5007001 200从这批产品中随意地取一件,则这件产品恰好是次品的概率是_;已知取出的产品是甲厂生产的,则这件产品恰好是次品的概率是_.【解析】从这批产品中随意地取一件,则这件产品恰好是次品的概率是=.方法一:已知取出的产品是甲厂生产的,则这件产品恰好是次品的概率是=.方法二:设a:“取出的产品是甲厂生产的”,b:“取出的产品为次品”,则p(a)=,p(ab)=,所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是p(b|a)=.答案:5.(10分)现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:(1)第1次抽到舞蹈节目的概率;(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.【解析】设“第1次抽到舞蹈节目”为事件a,“第2次抽到舞蹈节目”为事件b,则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件ab.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为n()=30,根据分步乘法计数原理n(a)=20,于是p(a)=.(2)因为n(ab)=12,于是p(ab)=.(3)方法一:由(1)(2)可得,在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为p(b|a)=.方法二:因为n(ab)=12,n(a)=20,所以p(b|a)=.1.下列说法正确的是()a.p(b|a)p(ab) b.p(b|a)=是可能的c.0p(b|a)1 d.p(a|a)=0【解析】选b.由条件概率公式p(b|a)=及0p(a)1知p(b|a)p(ab),故a错误;当事件a包含事件b时,有p(ab)=p(b),此时p(b|a)=,故b正确;由于0p(b|a)1,p(a|a)=1,故c,d错误.2.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.若从袋中任意摸出2个球,至少有1个白球的概率为.(1)求白球的个数;(2)现从中不放回地取球,每次取1个球,取2次,已知第1次取得白球,求第2次取得黑球的概率.【解析】(1)记“从袋中任意摸出2个球,至少有1个白球”为事件a,记袋中白球个数为x.则p(a)=1-=,解得x=5,即白球的个数为5.(2)记“第1次取得白球”为事件b,“第2次取得黑球”为事件c,则p(bc)=,p(b)=.p(c|b)=.十一离散型随机变量的均值(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)下列说法不正确的是()a.随机变量x的数学期望e(x)是个变量,其随x的变化而变化b.随机变量的均值反映样本的平均水平c.若随机变量x的数学期望e(x)=2,则e(2x)=4d.随机变量x的均值e(x)=【解析】选abd.a错误,随机变量的数学期望e(x)是个常量,是随机变量x本身固有的一个数字特征.b错误,随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.c正确,由均值的性质可知.d错误,因为e(x)=x1p1+x2p2+xnpn.2.设0pe(),故甲比乙质量好.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知随机变量x的分布列为x123p且y=ax+3,若e(y)=-2,则 e(x)=_,a=_.【解析】e(x)=1+2+3=.因为y=ax+3,所以e(y)=ae(x)+3=a+3=-2.解得a=-3.答案:-3【加练固】已知某离散型随机变量的数学期望e()=,的分布列如表:0123pab则a=_.【解析】e()=0a+1+2+3bb=,又p(=0)+p(=1)+p(=2)+p(=3)=1a+=1a=.答案:6.节日期间,某种鲜花的进价是每束2.5元,售价是每束5元,节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理.根据前5年节日期间对这种鲜花需求量(束)的统计(如表),若进这种鲜花500束在今年节日期间销售,则利润的均值是_元.200300400500p0.200.350.300.15【解析】节日期间这种鲜花需求量的均值为e()=2000.20+3000.35+4000.30+5000.15=340(束).设利润为,则=5+1.6(500-)-5002.5=3.4-450,所以e()=3.4e()-450=3.4340-450=706(元).答案:706三、解答题(每小题10分,共20分)7.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)a和b,系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求p的值;(2)设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量x,求x的概率分布列及数学期望e(x).【解析】(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件c,那么p(c)=1-p()=1-p=.解得p=.(2)由题意,随机变量x的可能取值为0,1,2,3.故p(x=0)=,p(x=1)=,p(x=2)=,p(x=3)=.所以随机变量x的概率分布列为x0123p故随机变量x的数学期望:e(x)=0+1+2+3=.8.某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请50名一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如表所示:版本人教a版人教b版苏教版北师大版人数2015510 (1)从这50名教师中随机选出2名,求2人所使用版本相同的概率;(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言,设使用人教a版的教师人数为x,求随机变量x的分布列和数学期望.【解析】(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为=1 225,选出2人使用版本相同的方法数为+=350,故2人使用版本相同的概率为p=.(2)x的所有可能取值为0,1,2.p(x=0)=,p(x=1)=,p(x=2)=.所以x的分布列为x012p所以e(x)=0+1+2=.(15分钟30分)1.(5分)今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为,则e()=()a.0.765b.1.75c.1.765d.0.22【解析】选b.设a、b分别为每台雷达发现飞行目标的事件,的可能取值为0、1、2.p(=0)=p()=p()p()=(1-0.9)(1-0.85)=0.015.p(=1)=p(a+b)=p(a)p()+p()p(b)=0.90.15+0.10.85=0.22.p(=2)=p(ab)=p(a)p(b)=0.90.85=0.765.所以e()=00.015+10.22+20.765=1.75.2.(5分)(多选题)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如表:品牌甲乙首次出现故障的时间x(年)0x11202轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率,则()a.从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,其首次出现故障发生在保修期内的概率为b.若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为x1,则e(x1)=2.86(万元)c.若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆乙品牌轿车的利润为x2,则e(x2)=2.99(万元)d.该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,应生产甲品牌的轿车【解析】选bd.设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件a,则p(a)=.依题意得,x1的分布列为x1123pe(x1)=1+2+3=2.86(万元),x2的分布列为x21.82.9pe(x2)=1.8+2.9=2.79(万元).因为e(x1)e(x2),所以应生产甲品牌轿车.3.(5分)马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如表:t123p(=t)?!?请小牛同学计算的数学期望 ,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能肯定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案e()=_.【解析】设“?”处为x,“!”处为y,则由分布列的性质得2x+y=1,所以期望e()=1p(=1)+2p(=2)+3p(=3)=4x+2y=2.答案:24.(5分)甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数的期望e()为_.【解析】依题意,知的所有可能值为2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为+=.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有p(=2)=,p(=4)=,p(=6)=,故e()=2+4+6=.答案:5.(10分)某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品a,乙组研发新产品b.设甲,乙两组的研发是相互独立的.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品a研发成功,预计企业可获得利润120万元,若新产品b研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.【解析】(1)设至少有一组研发成功的事件为事件a且事件b为事件a的对立事件,则事件b为新产品a,b都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为,则p=,再根据对立事件概率之间的概率公式可得p=1-p=,所以至少一种产品研发成功的概率为.(2)由题可得,设该企业可获得利润为,则的取值有0,120+0,100+0,120+100,即=0,120,100,220,由独立试验同时发生的概率计算公式可得:p=;p=;p=;p=;所以的分布列如下:0120100220p则数学期望e()=0+120+100+220=32+20+88=140.1.某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果某人决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,则在一年内他参加驾照考试次数x的均值为_.【解析】x的取值分别为1,2,3,4.x=1,表明此人第一次参加驾照考试就通过了,故p(x=1)=0.6.x=2,表明此人在第一次考试未通过,第二次通过了,故p(x=2)=(1-0.6)0.7=0.28.x=3,表明此人在第一、二次考试未通过,第三次通过了,故p(x=3)=(1-0.6)(1-0.7)0.8=0.096.x=4,表明此人第一、二、三次考试都未通过,故p(x=4)=(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)=0.024.所以他一年内参加考试次数x的分布列为x1234p0.60.280.0960.024所以x的均值为e(x)=10.6+20.28+30.096+40.024=1.544.答案:1.5442.某届牡丹花会期间,我班有5名学生参加志愿者服务,服务场所是王城公园和牡丹公园.(1)若学生甲和乙必须在同一个公园,且甲和丙不能在同一个公园,则共有多少种不同的分配方案?(2)每名学生都被随机分配到其中的一个公园,设x,y分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数,记=,求随机变量的分布列和数学期望e.【解析】(1)依题意甲,乙,丙三人的分配方法有2种,其余二人的分配方法有22种,故共有222=8种不同的分配方案.(2)设5名学生中恰有i名被分到王城公园的事件为ai,的所有可能取值是1,3,5.p=p=p+p=+=,p=p=p+p=+=,p=p=p+p=+=,则随机变量的分布列为135p故随机变量的数学期望e=1+3+5=.十三二 项 分 布(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.某人进行投篮训练100次,每次命中的概率为0.8(相互独立),则命中次数的标准差等于()a.20b.80c.16d.4【解析】选d.命中次数服从b(100,0.8);所以命中次数的标准差等于=4.2.(2020哈尔滨高二检测)已知某同学每次射箭射中的概率为p,且每次射箭是否射中相互独立,该同学射箭3次射中多于1次的概率为0.784,则p=()a.0.5b.0.6c.0.7d.0.8【解析】选c.某同学每次射箭射中的概率为p,且每次射箭是否射中相互独立,该同学射箭3次射中多于1次的概率为0.784,则1-=0.784,解得p=0.7.3.(2020德州高二检测)甲、乙两队进行友谊赛,采取三局两胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中甲队获胜的概率为,设各局比赛相互间没有影响,则甲队战胜乙队的概率为()a.b.c.d.【解析】选c.甲、乙两队进行友谊赛,采取三局两胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中甲队获胜的概率为,设各局比赛相互间没有影响,甲队战胜乙队包含两种情况:甲连胜2局,概率为p1=,前两局甲队一胜一负,第三局甲队胜,概率为p2=,则甲队战胜乙队的概率为p=p1+p2=+=.4.(多选题)(2020辽阳高二检测)若xb(20,0.3),则()a.e(x)=3b.p(x1)=1-0.320c.d(x)=4.2d.p(x=10)=0.2110【解析】选cd.由xb(20,0.3),所以e(x)=200.3=6,所以a错误;计算p(x1)=1-p(x=0)=1-0.720,所以b错误;又d(x)=200.30.7=4.2,所以c正确;计算p(x=10)=0.3100.710=0.2110,所以d正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是_.【解析】袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次取到黄球的概率均为,所以3次中恰有2次抽到黄球的概率为:p=.答案:6.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为,用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,则p(=4)=_.【解析】考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是5次独立重复试验,故b.即有p(=k)=,k=0,1,2,3,4,5,所以p(=4)=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用x表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量x的期望;(2)设m为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件m发生的概率.【解析】(1)甲上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,故xb.p(x=0)=,p(x=1)=,p(x=2)=,p(x=3)=.故x的分布列为x0123px的数学期望为e(x)=3=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30到校的天数为y,则yb,由题意,m=x=3,y=1x=2,y=0,由事件的独立性和互斥性,得p(m)=px=3,y=1+px=2,y=0=px=3py=1+px=2py=0=+=.【加练固】现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题,设张同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用x表示张同学答对题的个数,求x的分布列.【解析】随机变量x的所有可能取值为0,1,2,3.p(x=0)=,p(x=1)=+=,p(x=2)=+=,p(x=3)=.所以x的分布列为x0123p8.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”“中立”“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张,每人投三类票中的任何一类的概率都是,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资.(1)求该公司决定对该项目投资的概率;(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.【解析】(1)该公司决定对该项目投资的概率为p=+=.(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形:“同意”票张数“中立”票张数“反对”票张数事件a003事件b102事件c111事件d012p(a)=,p(b)=,p(c)=,p(d)=.因为a,b,c,d互斥,所以p(abcd)=p(a)+p(b)+p(c)+p(d)=.(15分钟30分)1.(5分)设随机变量b(2,p),b(4,p),若p(1)=,则p(2)的值为()a.b.c.d.【解析】选b.因为随机变量b(2,p),b(4,p),又p(1)=1-p(=0)=1-(1-p)2=,解得p=,所以b,则p(2)=1-p(=0)-p(=1)=1-=.2.(5分)(2020聊城高二检测)在2019年女排世界杯比赛中,中国队以十一连胜的骄人成绩夺得了冠军,成功卫冕,收到习近平总书记的贺电,团结协作、顽强拼搏是中国女排精神,为学习女排精神,a,b两校排球队进行排球友谊赛,采取五局三胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中a校排球队胜b校排球队的概率为,设各局比赛相互间没有影响,则在此次比赛中,四局结束比赛的概率为()a.b.c.d.【解析】选d.为学习女排精神,a,b两校排球队进行排球友谊赛,采取五局三胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中a校排球队胜b校排球队的概率为,设各局比赛相互间没有影响,在此次比赛中,四局结束比赛包含两种情况:前3局a两胜一负,第四局a胜;前3局a一胜两负,第四局a负.则在此次比赛中,四局结束比赛的概率为p=+=.【加练固】 (2020珠海高二检测)已知某人每次投篮投中的概率均为,计划投中3次则结束投篮,则此人恰好在第5次结束投篮的概率是_.【解析】依题意,恰好在第5次结束投篮,则前4次有2次投中,且第5次投中,所以概率为:p=.答案:3.(5分)位于直角坐标原点的一个质点p按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为,向右移动的概率为,则质点p移动五次后位于点(1,0)的概率是_.【解析】依题意得,质点p移动五次后位于点(1,0),则这五次移动中必有某两次向左移动,另三次向右移动,因此所求的概率等于=.答案:4.(5分)在4次独立重复的试验中,随机事件a恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件a在一次试验中发生的概率p的取值范围是_.【解析】由题知p(1-p)3p2(1-p)2,即4(1-p)6p,所以p0.4,又0p1,所以0.4p1.答案:0.4p15.(10分)如图是高尔顿板的改造装置示意图,小球从入口处自由下落,已知在下落过程中,小球遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是.(1)求小球落入a袋的概率p(a);(2)在入口处依次放入4个小球,设落入a袋中的小球个数为,求的分布列.【解析】(1)记“小球落入a袋中”为事件a,记“小球落入b袋中”为事件b,则事件a的对立事件为b,而小球落入b袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故p(b)=+=,从而p(a)=1-p(b)=.(2)可能的取值为0,1,2,3,4.p(=0)=;p(=1)=;p(=2)=;p(=3)=;p(=4)=.所以的分布列为:01234p(2020宣城高二检测)口袋里放有大小相等的2个红球和1个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列an,an=如果sn为数列an的前n项和,那么s7=3的概率为()a.b.c.d.【解析】选a.口袋里放有大小相等的2个红球和1个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列an,an=sn为数列an的前n项和,所以an=1的概率p1=,an=-1的概率p2=,所以s7=3是指在7次取球中,5次取到红球,2次取到白球,所以s7=3的概率为p=.十二离散型随机变量的方差(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)已知随机变量x的分布列为x-101pa则下列式子正确的是()a.p(x=0)= b.a=c.e(x)=- d.d(x)=【解析】选abc.由分布列可知,p(x=0)=,a=1-=,e(x)=(-1)+0+1=-;d(x)=+=.2.设随机变量x的分布列为x-101p若y=2x+2,则d(y)等于()a.-b.c.d.【解析】选d.由题意知,e(x)=-1+0+1=-,故d(x)=+=,d(y)=d(2x+2)=4d(x)=4=.3.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分x的均值与方差分别为()a.e(x)=0,d(x)=1b.e(x)=,d(x)=c.e(x)=0,d(x)= d.e(x)=,d(x)=1【解析】选a.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分x的分布列为x1-1p0.50.5所以e(x)=10.5+(-1)0.5=0,d(x)=(1-0)20.5+(-1-0)20.5=1.4.(多选题)编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是,则()a.的所有取值是1,2,3 b.p(=1)= c.e()=1 d.d()=1【解析】选bcd.的所有可能取值为0,1,3,=0表示三位同学全坐错了,有2种情况,即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生,则p(=0)=;=1表示三位同学只有1位同学坐对了,则p(=1)=;=3表示三位同学全坐对了,即对号入座,则p(=3)=.所以的分布列为013pe()=0+1+3=1.d()=(0-1)2+(1-1)2+(3-1)2=1.二、填空题(每小题5分,共10分)5.若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25,则该事件在一次试验中发生的概率为_.【解析】事件在一次试验中发生次数记为x,则x服从两点分布,则d(x)=p(1-p),所以p(1-p)=0.25,解得p=0.5.答案:0.56.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,若从中随机抽出3张,设这3张卡片上的数字和为x,则d(x)=_.【解析】由题意得,随机变量x的可能取值为6,9,12.p(x=6)=,p(x=9)=,p(x=12)=,则e(x)=6+9+12=7.8,d(x)=(6-7.
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