推荐微积分课件第2节柱面及旋转曲面

1、第二节第二节 柱面与旋转曲面柱面与旋转曲面一、柱面一、柱面二、旋转曲面二、旋转曲面三、小结三、小结 思考题思考题第二节第二节 柱面与旋转曲面柱面与旋转曲面解解 方程方程 在在xy平面上表示平面上表示222ryx 以原点为圆心，半径为以原点为圆心，半径为r的圆的圆.z，表示的曲面表示的曲面的圆的圆 移动而成的移动而成的圆柱面圆柱面。222ryx xy平面上的圆平面上的圆 叫做它的叫做它的准线准线222ryx 例例 作作 的图形。的图形。222ryx 平行于平行于z轴的直线叫做它的轴的直线叫做它的母线母线。由于方程不含由于方程不含意味着意味着z可以任意取值，可以任意取值，因此这个方程所因此这个方程

2、所是由平行于是由平行于z轴的直线沿轴的直线沿xy平面上平面上一、柱面一、柱面( cylinder )柱面柱面 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 c 移动移动的直线的直线l 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线这条定曲线c称为柱面的称为柱面的准线准线，zyxo动直线动直线l称为柱面的称为柱面的母线母线.一、柱面一、柱面( cylinder )lc观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程: :一、柱面一、柱面( cylinder )观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程: :一、柱面一、柱面( cylinder )观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程: :一、柱面一、柱面(

3、 cylinder )观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程: :一、柱面一、柱面( cylinder )观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程: :一、柱面一、柱面( cylinder )观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程: :一、柱面一、柱面( cylinder )观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程: :一、柱面一、柱面( cylinder )观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程: :一、柱面一、柱面( cylinder )观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程: :一、柱面一、柱面( cylinder )观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程: :一、柱面一、柱面( cylinder )观察

4、柱面的形成过程观察柱面的形成过程: :一、柱面一、柱面( cylinder )观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程: :一、柱面一、柱面( cylinder )柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面( cylinder of the second order parabolic )一、柱面一、柱面( cylinder )从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：实实 例例12222 czby12222 byaxpzx22 222xyr圆柱柱面圆柱柱面/z轴轴 在空间直角坐标系在空间直角坐标系oxyz下，含两个变量的方程为柱下，含两个变量的方程为柱面方程，面

5、方程，于哪一个坐标轴于哪一个坐标轴 .该柱面的母线就平行该柱面的母线就平行并且并且方程中缺少哪个变量方程中缺少哪个变量，椭圆柱面椭圆柱面 母线母线/ 轴轴x双曲柱面双曲柱面 母线母线/ 轴轴z抛物柱面抛物柱面 母线母线/ 轴轴y不含与该坐标轴同名的变量不含与该坐标轴同名的变量;222ryx 几种常用的柱面方程及图形几种常用的柱面方程及图形（1 1）圆柱面）圆柱面（2 2）椭圆柱面）椭圆柱面; 12222 byax（4 4）抛物柱面）抛物柱面（3 3）双曲柱面）双曲柱面; 12222 byax.22pyx 统统称称为为二二次次柱柱面面一、柱面一、柱面( cylinder ) 椭圆柱面椭圆柱面 圆

6、柱面圆柱面 抛物柱面抛物柱面 一一平面曲线平面曲线 c 绕同一平面上的一条绕同一平面上的一条定直线定直线 l 旋转一周旋转一周所形成的曲面称为所形成的曲面称为 设设 yoz 平面上曲线平面上曲线 c : f ( y , z ) = 0 绕绕 z 轴旋转形轴旋转形成旋转曲面成旋转曲面 . . . 0),(22 zyxfcc定直线定直线 l 称为旋转曲面的称为旋转曲面的旋转曲面旋转曲面.则旋转曲面方程为则旋转曲面方程为曲线曲线c 称为旋转曲面的称为旋转曲面的母线母线.旋转轴旋转轴.22yxy 换换成成将将l二、二、 旋转曲面旋转曲面(surfaces of revolution )zxy旋转曲面的

7、形成过程旋转曲面的形成过程定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二二. . 旋转曲面旋转曲面(surfaces of revolution )定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二二. . 旋转曲面旋转曲面(surfaces of revolution )旋转曲面的形成过程旋转曲面的形成过

8、程定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二二. . 旋转曲面旋转曲面(surfaces of revolution )旋转曲面的形成过程旋转曲面的形成过程定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二二. . 旋转曲面旋转曲面(surfaces of revolution )旋转曲面的形成过程旋转

9、曲面的形成过程定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二二. . 旋转曲面旋转曲面(surfaces of revolution )旋转曲面的形成过程旋转曲面的形成过程定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二二. . 旋转曲面旋转曲面(surfaces of revolution )旋转曲面的

10、形成过程旋转曲面的形成过程定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二二. . 旋转曲面旋转曲面(surfaces of revolution )旋转曲面的形成过程旋转曲面的形成过程定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二二. . 旋转曲面旋转曲面(surfaces of revolution

11、)旋转曲面的形成过程旋转曲面的形成过程定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二二. . 旋转曲面旋转曲面(surfaces of revolution )旋转曲面的形成过程旋转曲面的形成过程定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二二. . 旋转曲面旋转曲面(surfaces of revol

12、ution )旋转曲面的形成过程旋转曲面的形成过程定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二二. . 旋转曲面旋转曲面(surfaces of revolution )旋转曲面的形成过程旋转曲面的形成过程定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为所成的曲面称为旋旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二二. . 旋转曲面旋转曲面(surfaces of

13、 revolution )旋转曲面的形成过程旋转曲面的形成过程 设设 yoz 平面上曲线平面上曲线 c : f ( y , z ) = 0 绕绕 z 轴旋转形轴旋转形成旋转曲面成旋转曲面 . . 过点过点 m 作平面垂直于作平面垂直于 z 轴轴, 00,zzpmpm ,00ypm ,220yxy 又因为又因为 m0 在曲线在曲线 c 上，所以上，所以f ( y0 , z0 ) = 0即得旋转曲面方程即得旋转曲面方程: :. 0),(22 zyxf点点 m( x, y, z ) 为旋转曲面上任意一点为旋转曲面上任意一点, 因此有因此有可以由点可以由点 m0 绕绕 z 轴旋转得到轴旋转得到,由于点

14、由于点 mcm0mp交曲线交曲线c 于点于点), 0(000zym,2 22 2yxpm 22yxy 换换成成将将二、二、 旋转曲面旋转曲面(surfaces of revolution )zxy圆周圆周交交 z 轴于点轴于点 p ( 0, 0, z ), , 0,22 zyxf同理：同理：yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线0),( zyf绕绕y轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 . 0,22 zxyf第二节第二节 柱面与旋转曲面柱面与旋转曲面xozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ),(zyxmoxzy 二、二、 旋转曲面旋转曲面(surfac

15、es of revolution ),22yx 将将 y 换成换成故故z 保持不变保持不变,圆锥面方程为圆锥面方程为 绕绕z轴旋转轴旋转,因为将直线因为将直线 cotyz 圆锥面方程为圆锥面方程为).(2 22 22 22 2yxkz . 0),(22 zyxf曲线曲线 c : f ( y , z ) = 0圆锥面方程为圆锥面方程为 cot22yxz ).(cot2 22 22 22 2yxz .arctank1 1 其中其中旋转所得的曲面方程为旋转所得的曲面方程为)(22yxaz 该曲面称为该曲面称为旋转抛物面旋转抛物面. . 当当 a 0 时，旋转抛物面时，旋转抛物面 将将y z 坐标面上

16、的抛物线坐标面上的抛物线 z = ay2( a 0 )，当当 a 0 时，旋转抛物面时，旋转抛物面例例2 2 旋转抛物面旋转抛物面xyzo绕绕 z 轴轴的开口向上的开口向上.的开口向下的开口向下. 0),(22 zyxf曲线曲线 c : f ( y , z ) = 0例例3 3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czyax122222 czayx( hyperboloid )p263（1）双曲线）双曲线12222 czax分别绕分别绕x轴和轴和z轴；轴；二、二、 旋转曲面

17、旋转曲面(surfaces of revolution )旋转双曲面旋转双曲面双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面( ellipsoid )( paraboloid )二、二、 旋转曲面旋转曲面(surfaces of revolution )旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线).练习: p263:1(单)，2(单)， 3(单)第二节第二节 柱面与旋转曲面柱面与旋转曲面小结思考题思考题 1. 指出下列方程在平面解析几何中和指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？空间解析几何中分别表示什么图形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy第二节第二节 柱面与旋转曲面柱面与旋转曲面思考