用几何画板研究椭圆的画法

1、用几何画板研究椭圆的画法一椭圆的定义： 1椭圆的定义：在平面内，到两个定点f1、f2的距离的和等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 2椭圆的标准方程：设m(x, y)是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c>0)，则如图建立直角坐标系，又f1、f2的坐标分别是f1(c, 0), f2(c, 0)，若m点与f1、f2两点的距离的和等于2a (a>c>0)，则 |mf1|mf2|2a, ,整理化简，并且设b2a2c2得椭圆的标准方程 .3椭圆的第二定义：设动点m(x, y)与定点f(c, 0)的距离和它到定直线: x

2、的距离的比是常数(a>c>0)，则点m的轨迹是椭圆。点f是椭圆的一个焦点，直线是椭圆中对应于焦点f的准线。常数e (0<e<1)是椭圆的离心率。4椭圆的参数方程：以原点为圆心，分别以a、b (a>b>0)为半径作两个圆，点a是大圆上的一个点，点b是oa与小圆的交点，过点a作anox，垂足为n，过点b作bman，垂足为m，当点a在大圆上运动时，m点的轨迹是椭圆。设点m的坐标是(x, y)，是以ox为始边，oa为终边的正角，取为参数，那么x|on|oa|cosacos, y|nm|ob|sinbsin, 椭圆的参数方程是 (是参数).二椭圆的画法：画法1：1在x

3、轴上取两点f1、f2，使|of1|of2|，用它们作为两个焦点；2在图形外作一条线段cd，使|cd|2a，(|cd|>|f1f2|)；3以o为中心，在x轴上取两点a1、a2，使|a1a2|cd|；4在cd上分别取c'、d'，使|cc'|a1f1|dd'|；作线段c'd'，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在c'd'上作点m；5分别以f1、f2为圆心，用|cm|、|md|为半径作圆，两圆相交于p1、p2两点；同样方法分别以f1、f2为圆心，用|dm|、|cd|为半径作圆，两圆相交于p3、p4两点；并将这四个点定义为“追踪点

4、”；6依次选中点m、点p1 (或点m、点p2)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。理论根据：点p1是两圆的交点， 点p1到f1与f2的距离的和等于两圆的半径和,即 |pf1|pf2|cm|md|cd|2a.说明：m点不要直接在cd上取，那样画出来的椭圆将在x轴附近断开一段，因为计算机画的曲线实际上是由若干条小线段形成的，这些线段的端点是由符合条件的若干个点中随机选取的，当我们使点m在cd上运动时，一般情况点c '、d'都取不到，于是画出来的图形就不好看了。画法2：1在x轴上取两点f1、f2，使|of1|of2|，用它们作为两个焦点；2在图形外作一条线段，使它的长度为2a

5、，(2a>|f1f2|)；3以f1为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点p；4连接pf1、pf2，作pf2的中垂线与pf1交于点m，连接mf2；5将点m定义为“追踪点”，分别选中点m、点p，用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出椭圆。理论根据：点m在pf2的中垂线上， |mp|mf2|, |mf1|mf2|mf1|mp|f1p|2a. 即点m到两个定点f1和f2的距离的和等于定长。点m的轨迹是一个椭圆。画法3：1在平面中作两条直线，使直线为准线，另一条直线ab与直线垂直；两条直线的交点为c；2在图形外取两条线段a和c，使a>c；3计算，在直线ab上取一点f，使|cf|,点f作为椭圆的焦

6、点；4在线段fc上，取点a，使|af|ac, 在cf的延长线上，取点b，使|fb|ac，作线段ab，用“作图”菜单中的“对象上的点”功能，取动点p；5计算e，度量|cp|的长，计算|cp|×；6以点f为圆心，|cp|×为半径作圆，此圆与过点p且垂直于ab的直线相交于m1，m2两点；7分别选中点m1和点p(或点m2和点)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。理论根据：点m1到点f的距离是|cp|×，点m1到准线的距离|m1d|cp|, e. 点m1在椭圆上。画法4：1以坐标原点o为圆心，分别以a、b(a>b>0)为半径画两个圆;2在大圆上取一点a，

7、连接oa与小圆交于点b；3过点a作an垂直于ox轴，垂足为n；作bm垂直于an，垂足为m；4分别选中点m和点a，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。理论根据：|on|acos, |nm|bsin, 根据椭圆的参数方程知，点m的轨迹是一个椭圆。画法5：1以坐标原点o为圆心，分别以a、b(a>b>0)为半径画两个圆;2在大圆上取一点p，过点p作pnox轴，垂足为n；3计算两圆半径的比k，定义为“标记比”，选中点n，定义为“缩放中心”；4选中点p，用“变换”菜单中的“缩放”功能，将点p用标记比缩放得到点m；5分别选中点m和点p，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。理论根据：设

8、点m的坐标是(x, y)，则点p的横坐标为x，纵坐标y0, 点p在圆x2y2a2上， a2, 整理得 .结论：只要动点p在一个圆上运动，那么在一个方向上按一定比例压缩或延长pd，所得到的点m的轨迹都是椭圆。三椭圆中动弦的画法(一)椭圆焦点弦的画法：1用参数方程的画法画出一个椭圆，计算它的a, b, c的值，在长轴上画出两个焦点f1、f2(使|of1|c)；2在大圆上任取一点p，相应作出它在椭圆上的对应点m；3连接pf1延长与大圆交于点q；4作出点q在椭圆上的对应点n；5连接mn，则线段mn一定过焦点f1，且点m、n都在椭圆上；6保留坐标系、椭圆、焦点和焦点弦mn，隐藏其它的内容，这时选中点m，

9、在椭圆上拖动它，则点n相应在椭圆上移动，且mn始终经过点f1.理论根据：椭圆上的点m、n是由大圆上的点p、q得到的，线段pq在大圆上经过定点f1，则相应的线段mn在椭圆上也经过定点f1.(二) 椭圆中过定点m的弦的画法：1用参数方程的画法画出一个椭圆，标出定点m；计算两圆半径的比k，定义为“标记比”；2作mdox轴，垂足是d，以d为缩放中心，把点m用标记比缩放，得到点m'；3在大圆上取一点p'，作出它在椭圆上的相应点p；4连接p'm'，延长与大圆交于q'，作出点q'在椭圆上的对应点q；5连接pq，则pq始终经过点m，且p、q都在椭圆上；6保留坐标

10、系、椭圆、定点m和过定点m的弦pq，隐藏其它的内容，这时选中点p，在椭圆上拖动它，则点q相应在椭圆上移动，且pq始终经过点m.理论根据：椭圆上的点p、q是由大圆上的点p'、q'得到的，线段p'q'在大圆上经过定点m'，则相应的线段pq在椭圆上也经过定点m.。问题的关键是怎样由点m得到点m'，我们看到，只要在纵坐标是以定比缩放点m，就得到了对应点m'.(三) 椭圆中平行弦的画法的画法：1用参数方程的画法画出一个椭圆，计算两圆半径的比k，定义为“标记比”；2在图形外画一条线段ac，过点a作水平线ad，过c作cdad；3选中点d作为“缩放中心”

11、，再选中点c，用“标记比”缩放，得到点b，连接ab；4在大圆上任取一点p'，过p'作ab的平行线角大圆于q'；5用参数方程的作法，分别作出p'、q'在椭圆上的对应点p、q；6连接pq，则pq就是与ac平行的椭圆中的弦；7保留坐标系、椭圆、ac和pq，隐藏其它的内容；选中点p在椭圆上拖动点p，则弦pq始终与ac平行，且点p、q在椭圆上；8作pq的中点，标记为“追踪点”，则点p运动时，可以看到中点的轨迹是一条线段。理论根据：在大圆上，p'q'/ab，这个关系保持不变，相应的点p、q是点p'、q'在椭圆上的对应点， 线段pq的斜

12、率保持不变。那么我们只要找到线段ac与ab的关系就可以了。在这个作法中，改变已知条件ac的倾斜角，那么相应的pq的斜率也发生同样的变化。四椭圆切线的画法(一) 过椭圆上一个定点m的切线：1在直角坐标系中画一个椭圆，同时标出它的两个焦点f1、f2；2在椭圆上标出定点m；3以f1为圆心，椭圆的长轴2a为半径作圆；4连接f1m延长交大圆于点n；5连接f2n，作f2n的中垂线，这条中垂线过点m，并且是椭圆的切线。理论根据： 点m在椭圆上， |mf1|mf2|2a, 又|f1n|2a， |mf2|mn|, 点m在f2n的中垂线上，直线md经过点m且与椭圆有且仅有一个交点，所以直线md是椭圆过点m的切线。(二) 过椭圆外一点作椭圆的切线：1在直角坐标系中画一个椭圆，同时标出它的两个焦点f1、f2；2在椭圆外标出定点t；3以点f1为圆心，椭圆的长轴2a为半径作圆；4以点t为圆心，|tf2|为半径作圆，交圆f1于点