第十一章 曲线积分与曲面积分 习题课

1、2例例 题题习习 题题 课课教学要求教学要求第11章 曲线积分与曲面积分场论初步场论初步3一、教学要求一、教学要求曲线积分的性质及两类曲线积分的关系曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.2. 会计算两类曲线积分会计算两类曲线积分.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件.1. 理解两类曲线积分的概念理解两类曲线积分的概念,了解两类了解两类3. 掌握格林掌握格林(Green)公式公式, 会使用平面会使用平面第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课4Gauss) 、5.了解散度、旋度的概念及其计算了解散度、旋度的概念及其计算6. 会用曲线积分、会用曲线积分、4. 了解

2、两类曲面积分的概念，掌握高斯了解两类曲面积分的概念，掌握高斯并会并会计算两类曲面积分计算两类曲面积分.了解斯托克斯了解斯托克斯(Stokes)公式公式,方法方法.曲面积分求一些曲面积分求一些几何量与物理量几何量与物理量.第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课5梯度梯度kzujyuixuu grad通量通量旋度旋度环流量环流量zRyQxPA div yxRxzQzyPdddddd散度散度二、场论初步二、场论初步 zRyQxPsdAdddrotijkAxyzPQR第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课6关系网关系网二重积分二重积分（求体积，平面（

3、求体积，平面区域的面积，空区域的面积，空间曲面的面积）间曲面的面积）定积分定积分（求平面区（求平面区域的面积）域的面积）三重积分三重积分（求体积）（求体积）曲线积分曲线积分GreenStokes曲面积分曲面积分Gauss第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课7两类曲面积分之间的联系：两类曲面积分之间的联系：yxRxzQzyPdddddd (cos( , )cos( , )cos( , )Pn xQn yRn z dS zRyQxPddd(cos( , )cos( , )cos( , )dPt xQt yRt zs两类曲线积分之间的关系：两类曲线积分之间的关系：( ,

4、, ).tx y z为与 同向的 上点处的切向量( , , ).nx y z为 上点处的给定法向量第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课8思路思路 LyQxPIddxQyP xQyP 0dd LyQxPI ),(),(00ddyxyxyQxPI闭合闭合非闭非闭闭合闭合非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式三、例题三、例题对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分的计算法的计算法( , )d( , )dLP x yxQ x yy()d dDQPIx yxy第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课9对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法解法有三种

5、解法有三种1. 利用高斯公式利用高斯公式)1(vzRyQxPd)( yxRxzQzyPdddddd 闭曲面闭曲面具有具有则则取取其中其中 外侧外侧. .在在若若RQP,中中所围成的空间域所围成的空间域 一阶连续偏导数一阶连续偏导数, ,第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课10)2(,比比较较复复杂杂非非闭闭而而若若RQP 在在RQP,后后加加面面 )(为闭为闭 中中所构成的空间域所构成的空间域 具有具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数, ,则则 I 1. 利用高斯公式利用高斯公式第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课112. 通过投影化为二重积

6、分通过投影化为二重积分yxzyxRxzzyxQzyzyxPIdd),(dd),(dd),( yzDzyzyzyxPdd),),( zxDxzzxzyxQdd),(,( xyDyxyxzyxRdd),(,(注意注意 的确定的确定!第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课12例例1 计算计算 2Ix ds2222:0 xyaxyzLz其中 为圆周解：解：利用轮换对称性，有利用轮换对称性，有222x dsy dsz ds故故22221()3Ix dsxyzds22233adsa第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课13例例2 L为抛物线为抛物线2(0

7、,0)(,1)22xy上从到的弧段.求求3222(2cos )(12 sin3)LIxyyx dxyxx ydy解：解：AB2L32222cos ,12 sin3Pxyyx Qyxx y 262 cosPQxyyxyx选选G为整个平面，是单连通区域，为整个平面，是单连通区域，第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课14P，Q在在G内有一阶连续偏导，利用积分与路径无关内有一阶连续偏导，利用积分与路径无关,L选OA+AB直线段代替则OAABI 21220020(1 2 sin3)224dxyydy第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课15例例3 证

8、明：证明： 若若C为平面上闭曲线，为平面上闭曲线，,lnC为任意方向 为 的外法线方向 则cos( , )0Cl n ds l n t 证证: 不防假设不防假设C的方向为逆时针方向的方向为逆时针方向.t为切向量( , )( , )( , )l nl xn x 因为从而从而cos( , )cos( , )cos( , )sin( , )sin( , )l nl xn xl xn x 第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课16( , )sin ( , )cos( , )2( , )cos ( , )sin( , )2n xt xt xn xt xt x 又sincos且且

9、cos( , ),sin( , )dxdyt xt xdsds则则( , )cos( , )sin( , )l n dsl x dyl x dx cos第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课17利用利用Green公式公式,且注意到且注意到cos( , ),sin( , )l xl x为常数,则则cos( , )( sin( , )cos( , )CCl n dsl x dxl x dy 00Ddxdy第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课18例例4 验证被积函数为全微分验证被积函数为全微分,并计算下列积分并计算下列积分.( , )(0,0)(

10、1)()(),( );a bf xy dxdyf u其中连续2211(,)(,)(2)( )( ),xyx yx dxy dy 其中连续.0( , )( )x yF x yf u du提示:令11( )( ),( )( )xyxyF xx dx G yy dy提示:令第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课19例例5 求求其中其中L为单位圆周，取逆时针方向为单位圆周，取逆时针方向.22(9 )()9Lyx dxyx dyIxy例例6 计算计算(sin)(cos)xxAmoIeymy dxeym dy2( ,0)(0,0).AMxyaOA axO2为由到的上半圆周 :22

11、2:9,.lxy提示 作顺时针方向提示：补充一段提示：补充一段第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课20例例7 求求242(1)Ixzdydzyzdzdxzdxdy(,0)yazy其中 是由曲线绕 轴旋转而成的曲z e面=取下側.例例8 计算计算32222xdydzydzdxzdxdyIaxbycz222:1, , ,0.xyza b c取外側提示：补充一平面提示：补充一平面2222:,.axbycz提示 作取外側第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课21例例9 计算计算222222()()()Iyzdxzx dyxydz222:1xyz 在

12、第一象限部分中有向边界曲线ABCA.ABC第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课22zxOy解解则则)1 , 1 , 1(31 n计算曲线积分计算曲线积分例例10 zyxyxzxzyd)(d)(d)(22222223 zyx是是平平面面 其中其中截立方体截立方体:, 10 x, 10 y10 z的表面所得的截痕的表面所得的截痕,若从若从Ox轴的正向看去轴的正向看去, 取逆时针方向取逆时针方向.取取为平面为平面23 zyx的上侧被的上侧被所围成的部分所围成的部分.)1 , 0 , 0()0 , 0 , 1()0 , 1 , 0( Oxy11212123 yx21 yxx

13、yD在在xOy面上的投影为面上的投影为.xyD第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课2311即即31coscoscos SyxxzzyzyxId313131222222 Szyxd)(34 Sd2334 xyDyxdd332.29 )23( zyx上上在在 yxSdd3d Oxy212123 yx21 yxxyD第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课24, 确定常数确定常数,),(的的梯梯度度为为某某二二元元函函数数yxu例例上上的的向向量量使使在在右右半半平平面面0 x).,(yxu并并求求分析分析令令jyxxiyxxyyxA )()(2)

14、,(24224 )(2),(24yxxyyxP )(),(242yxxyxQ 如果存在二元函数如果存在二元函数),(yxu使得使得 ),(gradyxujyxQiyxP),(),( 则必有则必有,yPxQ 由此确定由此确定, 用线积分或不定积分求用线积分或不定积分求).,(yxu第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课25解解 xQ,)(2),(24 yxxyyxP )(),(242yxxyxQ 124524)(4)(2 yxxyxx yP124224)(4)(2 yxxyyxx令两者相等得令两者相等得0)1()(424 yxx1 即即,224yxxyP 242yxxQ

15、 以下用两种方法求以下用两种方法求).,(yxu第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课26xyO,224yxxyP 242yxxQ ),(yxuyyxxxyxxyyxdd2242),()0, 1(24 xyxxxd02124 yxyxy0222d112arctanxy ),(yx (1,0) (x,0)yyxxyd0242 ,arctan2Cxy 法一法一在右半平面内任取一点在右半平面内任取一点作为积分路径的起点作为积分路径的起点,)0 , 1(可得可得用曲线积分用曲线积分的一般表达式是的一般表达式是),(yxuC为任意常数为任意常数.第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课27法二法二 用不定积分用不定积分因为因为yQxPyyuxxuuddddd ,224yxxyP 242yxxQ 242yxxyu 所以所以 ),(yxu )(dxfyyu)(d