高等数学方向导数与梯度经典实用

1、1l p xyo 0p9.8 方向导数与梯度方向导数与梯度9.8.1 定义定义9.5 (方向导数方向导数) 设二元函数设二元函数z = f (x, y)在点在点p0(x0, y0)的某一邻域的某一邻域内有定义内有定义, l 是以是以p0(x0, y0) 为起点的射线为起点的射线,)cos,(cos l为其方向向量为其方向向量. 如果极限如果极限tyxftytxft),()cos,cos(lim00000 2存在存在, 则称此极限为函数则称此极限为函数z = f (x, y)在点在点p0(x0, y0)记为记为,0plf 如果函数如果函数 f (x, y)在区域在区域d内任何一点内任何一点(x,

2、 y)处沿方向处沿方向.),(00lyxf 或或l的方向导数都存在的方向导数都存在,注注: 方向导数是函数沿半直线方向的变化率方向导数是函数沿半直线方向的变化率.则则 为为d内的一个函数内的一个函数, lf 称为称为f (x, y)沿方向沿方向 的方向导函数的方向导函数(简称方向导数简称方向导数). l处沿方向处沿方向 的的方向导数方向导数,l3t一定为正一定为正!xyxfyxxfxfx ),(),(lim0是函数在某点沿是函数在某点沿任何方向任何方向的变化率的变化率.方向导数方向导数偏导数偏导数yyxfyyxfyfy ),(),(lim0 分别是函数在某点沿分别是函数在某点沿平行于坐标轴平行

3、于坐标轴的直线的直线x、y可正可负可正可负！的变化率的变化率.tyxftytxflft),()cos,cos(lim0 4xyxfyxxfifx ),(),(lim0 ),(yxfx 的方向导数存在的方向导数存在,yyxfyyxfjfy ),(),(lim0 ),(yxfy ),(yxf轴轴正正向向沿沿在在点点函函数数xyxpyxf),(),()0 , 1( 1e.xf 且且值值为为同理同理, 函数函数轴轴正正向向沿沿在在点点yyxpyxf),(),(2e)1 , 0( 的方向导数存在的方向导数存在,.yf 且值为且值为yxffyxp ,),(的偏导数的偏导数在点在点存在时存在时,当函数当函数

4、5xyxfyxxfifx ),(),(lim)(0yyxfyyxfjfy ),(),(lim)(0),(yxfx )1, 0( ),(yxfy 轴负向轴负向沿沿在点在点xyxpyxf),(),()0 , 1( 轴轴负负向向沿沿在在点点yyxpyxf),(),(函数函数函数函数6类似类似, 可定义三元函数的方向导数可定义三元函数的方向导数对于三元函数对于三元函数),(zyxfu 它在空间一点它在空间一点lzyxp沿着方向沿着方向),(000的方向导数的方向导数, 定义为定义为.,的的方方向向角角为为l lzyxf),(000其中其中tzyxftztytxft),()cos,cos,cos(lim

5、0000000 7定理定理9.12),(),(000yxpyxfz在在点点如如果果 ,的的方方向向导导数数都都存存在在在在该该点点沿沿任任意意方方向向 l处处可微可微,则函数则函数且且.cos,cos的的方方向向余余弦弦为为l coscos000pppyfxflf 其中其中类似地类似地, 如果三元函数如果三元函数),(),(0000zyxpzyxfu在在点点 处可微处可微,的的方方向向导导数数都都存存在在则则在在该该点点沿沿任任意意方方向向 l且且.cos,cos,cos的的方方向向余余弦弦为为l coscoscos0000ppppzfyfxflf 其中其中8注注 coscosyfxflf ,

6、cos,cos方方向向的的方方向向余余弦弦为为其其中中l ,的的单单位位向向量量l即为即为(1)(2)计算方向导数只需知道计算方向导数只需知道l 的方向及函数的的方向及函数的偏导数偏导数.在定点在定点),(000yxp的方向导数为的方向导数为(3).coscos000 pppyfxflf (4) 关系关系方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在可微可微.0的方向角的方向角是是，、l 9解解 令令, 632),(222 zyxzyxf, 44 ppxxf, 66 ppyyf22 ppzzf故故pzyxfffn),( ),2, 6, 4( ,142264222 n其方向余弦为其方向余弦为zyx

7、u2286 例例 设设.的的方方向向导导数数点点处处沿沿方方向向在在np,142cos ,143cos 141cos )1 , 1 , 1(632222pzyxn在在点点是是曲曲面面 处指向外侧的法向量处指向外侧的法向量, 求函数求函数10,142cos ,143cos 141cos ppyxzxxu22866 146 ppyxzyyu22868 148 ppzyxzu22286 14 ppzuyuxunu coscoscos.711 故故zyxu2286 函函数数)1 , 1 , 1(p11解解 )1 , 1(lf sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1(xyyx (1) 最大值

8、最大值; (2) 最小值最小值; (3) 等于零等于零?并问在怎样的方向上此方向导数有并问在怎样的方向上此方向导数有沿沿与与在在点点)1 , 1(),(22yxyxyxf 例例 求求函数函数.的的方方向向导导数数的的方方向向射射线线轴轴方方向向夹夹角角为为lx sin)1 , 1(cos)1 , 1(yxff sincos 4sin2 cos)1 , 1(cos)1 , 1(yxff 12故故 (1) sincos 4sin2 )1 , 1(lf方向导数达到最大值方向导数达到最大值;2方向导数达到最小值方向导数达到最小值;2 43 当当,47时时 方向导数等于方向导数等于 0.,4时时当当 ,

9、45时时当当 和和(1) 最大值最大值;(2) 最小值最小值;(3) 等于零等于零?问在怎样的方向上此方向导数有问在怎样的方向上此方向导数有(2)(3)13 考虑函数考虑函数 定点定点 p0(3,1), p1(2,3). 解解 54203 pyx,23yxz 0pxz,273022 pyx 0pyz5|10 pp,51cos 52cos 0plz58152545127 ),2 , 1( 10pp求函数在求函数在 p0 沿沿 方向的方向导数方向的方向导数.10pp14练习练习求函数求函数 在点在点 处沿处沿222zyxxu 解解切线方向的方向向量切线方向的方向向量,91cos ,94cos ,9

10、8cos ,278 mxu.24316 422,2,tztytx )2, 2 , 1( m)8, 4 , 1( t,272 myu272 mzu mlu coscoscoszfyfxflf 在此点的切线方向上在此点的切线方向上曲线曲线的方向导数的方向导数.9)8(4122 t15指指向向点点沿沿点点函函数数)1 , 0 , 1()ln(22azyxu ).()2 , 2, 3(方方向向的的方方向向导导数数为为 b21解解 此方向的方向向量为此方向的方向向量为).1 , 2, 2( ,32cos ,32cos ,31cos ,21 axu, 0 ayu,21 azu alu.coscoscos

11、zfyfxflf .2121310)32(2132 16方向导数方向导数 coscosyfxflf , yfxfg).,cos(|),cos(|lgglglglf 最大最大或或最小最小?. 1),cos,(cos ll 9.8.2 梯度的概念梯度的概念问题问题: 函数函数 沿什么方向的方向导数为沿什么方向的方向导数为),(yxfz 方向导数取最大值方向导数取最大值 max,glf .glf min方向导数取最小值方向导数取最小值其中其中, lg 而而方向一致时方向一致时, ,gl与与当当gl与与当当方向相反时方向相反时, ,17定义定义9.6. jyfixf 记作记作).,(adrgyxf即即

12、 ),(adrgyxf yfxf,处的处的梯度梯度,),(yxp在在点点则梯度又可记为则梯度又可记为 为函数为函数称向量称向量),(yxfz yfxfg,引用记号引用记号, yx称为奈布拉算子称为奈布拉算子, 或称为或称为向量微分算子或哈密尔顿算子向量微分算子或哈密尔顿算子,fyfxfyxf ,),(adrg18结论结论:22| ),(grad| yfxfyxf函数在某点的函数在某点的梯度梯度是这样一个是这样一个向量向量,它的它的方向方向与取得与取得最大方向导数最大方向导数的方向一致的方向一致,而它的模为方向导数的最大值而它的模为方向导数的最大值. 梯度的模为梯度的模为沿着沿着 方向方向, 函

13、数减少得最快函数减少得最快. yfxf,fgradfgrad p :g方向：方向：模：模： f 变化率最大的方向变化率最大的方向f的最大变化率之值的最大变化率之值19),(yxfz 在几何上在几何上被平面被平面cz ,),( czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影是一条平面曲线面上投影是一条平面曲线称为称为曲面曲面的的等高线等高线),(gradyxf表示一个曲面表示一个曲面,所截得所截得, lcyxf ),(xyo1),(cyxf 2),(cyxf l p等高线等高线cyxf ),(两端微分两端微分, 得得0dd yyfxxf0)d,d(, yxyfxf即即20 法线的斜率法线的斜率为

14、为: xydd1 yxff1,xyff yfxf,所以所以梯度梯度 为等高线上点为等高线上点p 处的处的法向量法向量.由于等高线由于等高线cyxf ),(上任一点上任一点处处的的),(yxpcyxf ),(等高线等高线xyo1),(cyxf 2),(cyxf l p),(gradyxf)(21cc xfyfyfxf，梯度方向梯度方向1/,21梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：),(),(yxpyxfz在在点点函函数数 ),(gradyxf在同一直线上在同一直线上, 且从数值较低且从数值较低的的等高线等高线指向数值较指向数值较高高的的等高等高线线.在这点的法线在这点的法线线线cyxf ),

15、(的梯度的方向与点的梯度的方向与点p的的等高等高22kzfjyfixffzyxf ),(grad此梯度也是一个向量此梯度也是一个向量, 其方向与取得最大方其方向与取得最大方梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数则函数在该点的梯度为则函数在该点的梯度为 zfyfxf,设三元函数设三元函数 在点在点p处可微分处可微分, ),(zyxfu 向导数的方向一致向导数的方向一致, 其模为方向导数的最大值其模为方向导数的最大值.23解解kzujyuixuzyxu ),(gradkzjyix6)24()32( 故故.1225)2 , 1 , 1(gradkjiu 0 ,21,230p可得可得

16、, 在在 处梯度为处梯度为. 0令令, 06)24()32( kzjyix)2 , 1 , 1(例例 求函数求函数 在点在点处的梯度处的梯度, 并问在哪些点处梯度为零并问在哪些点处梯度为零?yxzyxu2332222 24处处在在点点函函数数)2, 2 , 1()ln(222 mzyxu).(dgra mu的的梯梯度度)2, 2 , 1(92 解解mmzuyuxuu ,dgramzyxzzyxyzyxx 2222222222,2,2).2, 2 , 1(92 25解解 因为因为 正南方向正南方向, 问他应当怎样往上登才能攀登得最快问他应当怎样往上登才能攀登得最快? 例例 一个登山者在山坡上点一个登山者在山坡上点 处处, 山坡山坡 43, 1,23, 4)(, 3)(00 mfmfyx)4 ,3()(adrg0 mf的高度的高度z 近似为近似为 若以若以x 轴正向为轴正向为,25),(22yxyx