(word完整版)数列知识点总结及题型归纳(2),推荐文档

1、数列一、数列的概念（ 1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an ，在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项），在第二个位置的叫第2 项，序号为n的项叫第 n 项（也叫通项）记作an ；数列的一般形式： a1 ， a2 ， a3 ， an ，简记作an。（ 2）通项公式的定义：如果数列 an 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如： 1 ， 2 ，3，4， 5，1111：1， 2345说明： an 表示数列， an 表示数列中的第n 项， an = fn 表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形

2、式不一定唯一。例如， an = (n 1,n2k11) =2k(k Z) ；1,n不是每个数列都有通项公式。例如，1， 1.4 ， 1.41， 1.414 ，（ 3）数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N （或它的有限子集）的函数f (n) 当自变量 n 从 1开始依次取值时对应的一系列函数值f (1), f (2), f (3), ，f (n) ，通常用an 来代替fn ，其图象是一群孤立点 。（ 4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递

3、减数列、常数列、摆动数列？（ 1）1， 2， 3， 4， 5，6，(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0,(4)a, a, a, a, a,S1( n 1)（ 5）数列 an 的前 n 项和 Sn 与通项 a n 的关系： anSn 1 ( n 2)Sn二、等差数列( 一 ) 、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数 列 就 叫 等 差 数 列 ， 这 个 常 数 叫 做 等 差 数 列 的 公 差 ， 公 差 通 常 用 字 母 d 表 示 。 用 递 推 公 式 表 示 为anan 1d

4、(n 2) 或 an 1and ( n 1)例：等差数列 an2n1 ， anan1( 二 ) 、等差数列的通项公式：ana1(n 1)d ；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d0 为递增数列， d0 为常数列， d0 为递减数列。例： 1.已知等差数列an中， a7a9 16， a41，则 a12等于（）A15 B 30C 31 D 642. an 是首项 a11，公差 d3的等差数列，如果an2005 ，则序号 n 等于（ A） 667（ B） 668（ C） 669（D） 6703.等差数列 an2n1, bn2n 1 ，则 an为bn 为（填“递增数列”或1“递减数列”

5、 ）( 三 ) 、等差中项的概念：定义：如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中 Aab2a ， A ， b 成等差数列abanan 2（ 2ananman m ）A即： 2an 12例：1（全国 I ）设 a 是公差为正数的等差数列，若 a1a2a315 ，a1a2a380 ，则 a11 a12 a13nA 120B 105C 90D 75( 四 ) 、等差数列的性质：（ 1）在等差数列 an 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（ 2）在等差数列 an 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（ 3）在等差数列an中，对任意 m ，

6、nN， an am(nm) d ， danam(mn) ；nm（ 4）在等差数列an中，若 m ， n ， p ， qN且 mnpq ，则 amanapaq ；( 五 ) 、等差数列的前n 和的求和公式：Snn(a1an )na1n(n1) d1 n 2（ a1d ） n 。2222( Sn An 2Bn( A, B为常数 )an是等差数列 )递推公式： Sn(a1an )n(aman (m 1) )n22例： 1. 如果等差数列an 中， a3a4a512 ，那么 a1a2. a7（ A）14（ B）21（ C）28（D）352. （湖南卷文）设 Sn 是等差数列a的前 n 项和，已知 a2

7、3 ， a611，则 S7 等于 ( )nA 13B 35C 49D 633. （全国卷）设等差数列an的前 n 项和为 Sn ，若 S972 , 则 a2a4a9 =4. 若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项5.已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 S1221，则 a2a5a8 a116.（全国卷）设等差数列an的前 n 项和为 Sn ，若 a55a3 则S9S57.已知 an 数列是等差数列，a10 10，其前 10项的和 S1070，则其公差 d 等于 ( )A

8、2B 1C.1D.233338.（陕西卷文）设等差数列an的前 n 项和为sn, 若a6s312, 则an（）29（全国）设an为等差数列，n 为数列n的前n项和，已知7 7，15 75， n 为数列 Sn的SaSSTn前 n 项和，求 T 。n( 六 ). 对于一个等差数列：（ 1）若项数为偶数，设共有2n 项，则 S 偶S 奇nd ； S奇an；S偶an 1（ 2）若项数为奇数，设共有2n1项，则 S奇 S偶ana中 ； S奇n。S偶n11. 一个等差数列共2011 项，求它的奇数项和与偶数项和之比_2. 一个等差数列前20 项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比1： 2，求公差 d3.

9、一个等差数列共有10 项，其偶数项之和是15，奇数项之和是25 ，则它的首项与公差分别是_2( 七 ) . 对与一个等差数列，Sn , S2 nSn , S3nS2 n 仍成等差数列。3m项和为（例： 1.等差数列 a 的前 m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前）nA.130B.170C.210D.2602. 一个等差数列前n 项的和为 48，前 2 n 项的和为 60，则前 3 n 项的和为。3已知等差数列an的前 10项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为4. 设 Sn 为等差数列an的前 n 项和， S414， S10S730，则 S9 =5（全国 I

10、I）设 S 是等差数列 a 的前 n项和，若S31，则S6nnS63S12A 3B 1C 1D 110389( 八 ) 判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：an1and (常数）（ nN ）an是等差数列中项法：2an 1anan2（ nN)an 是等差数列通项公式法：ankn b(k,b为常数 )an是等差数列前 n 项和公式法：SnAn 2BnA B为常数)an是等差数列(,例： 1.已知数列 an 满足 anan 12 ，则数列 an 为 （）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列 an 的通项为 an2n5 ，则数列 an 为 （）A

11、. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2n 24 ，则数列 an 为（）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2n2 ，则数列 an 为（）3A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5. 已知一个数列 an 满足 an 22an 1 an 0 ，则数列 an 为（）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断6. 数列 an满足 a1 =8， a42，且 an 22an 1an0 （ n

12、 N）求数列an 的通项公式；7（天津理， 2）设 Sn 是数列 an 的前 n 项和，且 Sn=n2，则 an 是（）A. 等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C. 等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列( 九) . 数列最值（ 1） a1 0， d 0 时， Sn 有最大值； a10 ， d 0 时， Sn 有最小值；（ 2） Sn 最值的求法：若已知 Sn ， Sn 的最值可求二次函数Snan 2bn 的最值；可用二次函数最值的求法（n N ）；或者求出an中的正、负分界项，即：若已知 an ，则 Sn 最值时 n 的值（ nN ）可如下确定an0an0a

13、n 10或。an 10例： 1等差数列 an 中， a10，S9S12 ，则前项的和最大。2 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知a312， S120， S130求出公差 d 的范围，指出 S1， S2， ， S12 中哪一个值最大，并说明理由。3（上海）设 an（ nN* ）是等差数列，Sn 是其前 n 项的和，且S5 S6， S6 S7 S8，则下列结论错误的是（）A. d 0B. a7 0C. S9 S5D. S6 与 S7 均为 Sn 的最大值4已知数列an 的通项 n98 （ n N ），则数列 an 的前 30 项中最大项和最小项分别是n995. 已知 an 是等差数列

14、，其中a131 ，公差 d8。（ 1）数列 an 从哪一项开始小于0？（ 2）求数列 an 前 n 项和的最大值，并求出对应n 的值( 十 ). 利用 anS1(n1)SnSn 1 (n求通项2)41.数列annn211）试写出数列的前52 an 是等差数列吗？（3 的前 n 项和 S（项；（ ）数列）你能写出数列 an 的通项公式吗？2. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列 an 的通项公式；3. （安徽文）设数列 n 的前n项和 Snn2 ，则a8 的值为（）a（A） 15(B) 16(C)49（D） 644、北京卷）数列 a 的前 n 项和为 S ，且 a =1，1an

15、 1Sn，n， ，求a ，a ，a 的值及数列annn13234的通项公式三、等比数列等比数列定义一般地， 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示 (q0) ，即： an 1 ： anq(q0)( 一 ) 、递推关系与通项公式递推关系： an 1 an q通项公式： ana1 qn 1推广： anamq n m1 在等比数列an 中 , a14, q2 ，则 an2 在等比数列an 中 , a712,q3 2 , 则 a19_.3. （ 07 重庆文）在等比数列 an 中， a2 8， a16

16、4，则公比 q 为（）（ A）2（B） 3（C）4（D）84.在等比数列an中， a22 ， a5 54 ，则a8 =5. 在各项都为正数的等比数列 an 中，首项 a13，前三项和为 21，则 a3 a4a5 （）A 33B 72C 84D 189( 二 ) 、等比中项：若三个数a,b, c 成等比数列，则称b 为 a与 c的等比中项，且为 bac，注： b 2ac 是成等比数列的必要而不充分条件 .例：1. 23 和 23 的等比中项为 ()( A)1(B)1(C) 1(D)252.（重庆卷文） 设 a是公差不为0 的等差数列， a12 且 a1, a3, a6成等比数列， 则 a的前 n

17、 项和 Sn =nn（）A n27nB n25nC n23nD n2n443324( 三 ) 、等比数列的基本性质，1. （ 1） 若 m n pq，则 am ana p aq (其中 m, n, p, q N )（ 2） q n man ， an 2an m an m (n N )am（ 3） an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（ 4） an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列 .例： 1在等比数列an中 , a1 和 a10 是方程 2 x25x10 的两个根 , 则 a4a7 ()( A)5(B)2(C)1(D) 122222.在等比数列an，已知 a15

18、， a9 a10100，则 a18 =3. 等比数列 an 的各项为正数，且a5a6 a4 a718,则 log 3 a1log 3 a2Llog 3 a10（）A 12B10C 8D 2+ log3 54. （广东卷）已知等比数列 an 满足 an0, n1,2,L ，且 a5a2 n 522 n ( n3) ，则当 n1 时，log 2 a1log 2 a3 Llog 2 a2n 1（）A.n(2 n1)B.(n1)2C.n2D.(n1)2( 四 ) 、等比数列的前n 项和，na1( q1)Sna1 (1 q n ) a1an q(q 1)1q1q例： 1. 已知等比数列 an 的首相 a

19、15 ，公比 q2 ，则其前 n 项和 Sn2（北京卷）设f (n)22427210L23n 10 (nN ) ，则 f (n) 等于（）A 2 (8n1)B 2 (8n 1 1)C 2 (8n 3 1)D 2 (8 n 41)77773（全国文， 21）设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 S6 2S9，求数列的公比q；( 五 ).等比数列的前n 项和的性质6若数列 an 是等比数列， Sn 是其前 n 项的和， kN * ，那么 Sk ， S2 kSk ， S3kS2 k 成等比数列 .S6S9例： 1. （辽宁卷）设等比数列an 的前 n项和为Sn，若S3=3，则S6=7

20、8A. 2B.3C.3D.32. 一个等比数列前n 项的和为48，前 2 n 项的和为60，则前3 n 项的和为（）A 83B 108C75D 633. 已知数列 an是等比数列，且 Sm10， S2 m30，则 S3 m( 六 ) 、等比数列的判定法（ 1）定义法： an 1q（常数）an为等比数列；an（ 2）中项法： an2an(an0)an1an2为等比数列；（ 3）通项公式法：ank q n (k, q为常数）an为等比数列；（ 4）前 n 项和法：Snk(1qn ) （ k ,q为常数）an为等比数列。Snkkqn （ k, q为常数）an为等比数列。例： 1. 已知数列 an 的

21、通项为a2 n ，则数列 an 为 （）nA. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2. 已知数列 an 满足an 12ann 2( an0)，则数列 an 为 （）aA. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn22n1 ，则数列 an 为（）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断四、求数列通项公式方法（ 1）公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例： 1 已知等差数列 an 满足： a37, a5a726 ， 求 an ；2. 等比数列 a n 的各

22、项均为正数，且2a13a21， a3 29a2 a6 ，求数列 an 的通项公式3. 已知数列 an 满足 a12， a24且 an 2 an2N ），求数列an 的通项公式；an 1 （ n4. 已知数列 an 满足 a12，且 an 15n 12(an5n ) （ nN ），求数列an 的通项公式；75. 数列已知数列an 满足 a11 , an4an 11(n1). 则数列an 的通项公式 =2（ 2）累加法1、累加法适用于： an 1anf (n)a2a1f (1)若 an 1an f (n) ( na3a2f (2)2) ，则LLan 1anf (n)n两边分别相加得an 1a1f

23、(n)k11, an 1an1，求数列 an 的通项公式。例： 1.已知数列 an 满足 a14n2212. 已知数列 an 满足 an 1an2n1， a11 ，求数列 an 的通项公式。3. 已知数列 an 满足 an 1an23n1， a13 ，求数列 an 的通项公式。（ 3）累乘法适用于： an 1 f (n)an若an 1f ( n) ，则a2a3f (2)，Lan1f (n)ana1f (1)，L ，a2anan 1n两边分别相乘得，a1f (k )a1k1例： 1.已知数列 an 满足 an 12( n 1)5na ， a3 ，求数列 an的通项公式。n12.已知数列an 满足

24、 a12， an 1nan ，求 an 。3n183.已知 a13 ， an 13n1 an (n 1) ，求 an 。3n2（ 4）待定系数法适用于 an 1 qanf (n)例： 1. 已知数列 an 中， a11,an2an 11(n2) ，求数列an的通项公式。2.（重庆 ,文 ,14）在数列an 中，若 a11,an 12an 3(n1) ，则该数列的通项 an _3.已知数列 a满足 a11, an 12an1(n N * ). 求数列a的通项公式；nn（ 5）递推公式中既有SnS1, n 1转化为数列an 或 Sn 的递推关系，然后采用相应的方法求解。分析：把已知关系通过 anSn Sn 1, n21. （北京卷）数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， an 11a2，a3，a4 的值及数列Sn ， n=1， 2，3，