(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形1第1讲任意角、弧度制和任意角的三角函数课

1、第三章DI SAN ZHANG三角函数、解三角形第三章三角函数、解三角形三角函数的概念同角三角函数的基本关系式1 基本初等三角函数的诱导公式函数11（三 正弦函数、余弦函数、正切函数的角函数）、三图象与性质角恒等变换函数y=Asin（如+。）的图象与性质 两角和（差）的正弦、余弦及正切二倍角的正弦、余弦及正切2.解三角形正弦定理、余弦定理及其应用V第1讲 任意角、弧度制和任意角的三角函数«知识毓理，1. 角的概念角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的.点叫做角的顶点；旋转开始时的射线叫做角的始边;射线的端旋转终止时的射线叫做角的终边.2. 角的度量（弧度制）长度等于半径长的弧所

2、对的圆心角叫做1弧度的角;为单位来度量角的单位制叫做弧度制.用弧度作3. 终边相同的角的表示所有和角Q终边相同的角，连同Q角在内可用式子-360°+«, 或兀+么，&WZ表不.4. 任意角三角函数的定义«为任意角，将«的顶点与坐标原点重合，«的始边与x轴的 非负半轴重合，。的终边上任意一点P的坐标3, y),它与原点的距离 6>P=r=/xI+p(r>0),贝!J sin a =,xcostana=x-三角函数值只与角。终边的位置有关，与点P在终边上的位置 无关.5. 三角函数线111如图，设角么的终边与单位圆交于点几 过P

3、作PM丄工轴，垂足为M,过A0）作单位圆的切线与a111的终边或终边的反向延长线相交于点T.有向线段竺1为正弦线;有向线段竺为余弦线；有向线段込为正切线.產o鉗G9邇1 . （2019-泰州模拟）已知角x的终边上一点坐标为.5兀SHIR COSW，6 6丿则角X的最小正值为解析：因为角工终边上一点的坐标为5 _f在第四象限,所以角兀是第四象限角，又tan所以角兀的2最小正值为寸 答案:2.弧长为3n,圆心角为135。的扇形半径为面积为解析：弧长匸3兀，圆心角由弧长公式Z=Q厂得尸=；=J=4,面积S=r=67t.答案:46兀3. m是第二象限角，P（x,百）为其终边上一点，且解析：因为OP=a

4、Jx2+5,所以cos a=辺则 sin a=工+5=又«是第二象限角，所以vvO,得x= a/5,x2+5所以 sin «=-T2TZ= 4 答案:呼4. （2019-无锡质量检测）已知角tan a = 5则x的值为解析:因为tana=5,答案：10a的终边经过点P(x, -6),且故 x=10.紅要点整台/1. 必明辨的2个易错点(1) 终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相 同的角的同一三角函数值相等.(2) 利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确 地求得兀，/的值，然后对于含参数问题要注意分类讨论.2. 常用的3个结论角度制和弧度制的互化

5、：兀rad = 180° ,1 rad =(2)在弧度制下，弧长公式l=arf扇形面积公式S=lr=ar2.(3)三角函数的符号规律函数IIImIVj=sin a+j=cos a+j=tan a+1.已知角的顶点为坐标原点，始边为兀轴的正半轴.若P(4, y)是角终边上一点，且sin=琴,则丿=.解析：r=x2+y2=l 16+y2,且 sin"=斗所以 sin ”=半= 话7"瞬解得尸-&答案：一82. （2019淮安质检）一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 解析：半径为r的圆内接等边三角形的边长为书八故圆心角以答案：由3.已

6、知角a=2knj(kZ),若角与角a的终边相同，贝|丿的值为sin 0 Icos l tan Isin 0 cos 0 I tan 07T解析：由a=2kn(kZ)及终边相同的角的概念知，Q的终边 在第四象限，又与。的终边相同，所以角是第四象限角, 所以 sinV0, cos>0, tan <0.因此，y= 1 + 1 1= 1.答案：一1析考点破疑關分类讲解化解疑难考点1 角的有关问题例1 (1)已知角0=45。，在一720。到0°内找出所有与角a有相同终边的角“;(2)设集合M=xx=|xi80° +45° , kWZ9=kx=|xi80°

7、; +45°,kg判断两集合的关系.【解】（1）所有与角«有相同终边的角可表示为=45。+屁360°（A:WZ）,则令一 720。W45。+A;x360° < 0°,得 一765° Wkx360。<-45°,解得-需wx-苏从而k=2或上=1,代入得 P= 一675。或 p= -315°.因为M = 血=（2吃+1） X 45。也W Z表示的是终边落在四个 象限的平分线上的角的集合；而集合N=jdx=+l）X45° , kZ表示的是终边落在坐标 轴或四个象限平分线上的角的集合，从而M N.(1

8、) 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是 先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合 中的参数k赋值来求得所需角.(2) 已知角a的终边位置，确定形如ka,等形式的角的终边的方法：先表示角«的范围，再写出屁、kn±a等形式的角 的范围，然后就氐的可能取值讨论所求角的终边位置.1已知角a的终边经过点(3“一9, “+2),且sin a>0, cos a<0,则Q的取值范围是解析：因为sin a>0, cos a<0,所以ct是第二象限角3a9<0, 所以点(3a9, a+2)在第二象限，所以二+鸟丸 解得一2<a

9、<3.答案：(-2, 3)rr2.已知«=5，回答下列问题.(1) 写出所有与。终边相同的角;(2) 写出在(一4兀，2兀)内与。终边相同的角；(3) 若角"与。终边相同，则琴是第几象限的角?解：(1)所有与Q终边相同的角可表示为'创=2上兀+扌，ArGZr.jr(2) 由(1)令一4n < 2kn+j< 27r(fc G Z), 则有一2|<Ar<l因为kQZ,所以取k=2、1、0 故在(一4兀，2兀)内与久终边相同的角是一晋兀、一誓、务(3) 由(1)有 p=2kn+G Z),贝唸=农兀+l(k G Z). 所以彳是第一、三象限的角

10、.考点2扇形的弧长、面积公式的应用III例2已知一扇形的圆心角为么>0),所在圆的半径为R(1)若a=60° , 7? = 10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;(2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当a为多少弧度时，该扇形有最大面积?【解】（1）设弧长为人弓形面积为Sr则n Tt 10na=60°=s，1? = 1O, Z=xlO=-(cm),S 弓=冷扇一Sa=10102xsin(cm2) 505033712(2)扇形周长 C=2R+!=2R+ccR,C所以2予,所以S扇=条心条斗2_ 12 a 4+4a+a2C2 1 y 4 4+«+

11、«在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、扇形的半径，2是弧长，«(0<a<2n)为圆心角，S是扇形面积.(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于q的不等式 或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.(3)记住下列公式：<=加；= .其中 R 是til为IDl/RJ长之比解析：设圆的半径为厂，则扇形的半径为?，记扇形的圆心角为a、则z nr5兀2I 6*3r5_18-C2-=召,所以疚=2所以扇形的弧长与圆周长之比为1112nr答案：寻考点3三角函数的定义(高频考点)例3 (1)己知角Q的终边经过点P(xf 6),且cos a=春,tan

12、 a(2)函数y=lg(2sinx1)+寸12cosx的定义域为【解析】 因为角a的终边经过点P(-x, 6),cos a= 13所以cos G脅融5139x=一|(舍去),所以 P（|，6）,所以sina= 12139所以taz=黑亠琴7/1cos a 5则盒+聶13 , 512+12(2)要使原函数有意义，必须有2sinx1>0,12cosx0,sinx>即1cosx223如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为2乃r+亍2A;n+-|(A:GZ).2it5兀、【答案】(1)32乃r+亍2乃r+J仇WZ)B（1）利用三角函数定义求值的方法 已知角疣终边上

13、一点p的坐标，可求角。的三角函数值.先 求p到原点的距离，再用三角函数的定义求解. 已知角。的某三角函数值，可求角q终边上一点p的坐标中 的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值. 已知角。的终边所在的直线方程或角。的大小，根据三角函 数的定义可求角«终边上某特定点的坐标.(2)三角函数值的符号判断方法已知一角的三角函数值(sin a, cos a,tan a)中任意两个的符号,可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的 终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.(3)利用单位圆解三角不等式的步骤 确定区域的边界(注意边界的虚实); 确定区域； 写出解集.動跟踪训练1若

14、角«的终边在直线3x+4y=0上,求sin a,cos a和tan a的值.解：设a终边上任一点为P(-4«, 3小3 当 a>0 时，r=5a9 sin a=54cos a=tan3«=_4?4cos 么=§，tan a= 3 当 avO 时，r=5a, sin a= 2.求符合下列条件的角。的范围：sin«|；(2)1 tan a<3.解：作直线y=舟，交单位圆于a, B两点, 则04、OB分别为务寻的终边.则满足条件的角«的集合为7T5兀I(2)1 tan av书,所以一书vtan a</5, 过点A作单位圆的

15、切线，取AE=AF=y39则 OE、OG、OH、OF分别为聲、y、警、y的终边,所以满足条件的角久的集合为itn甸一S+ATtWaWg+A;兀，k7j.讲方法素养提升助学培优利用数形结合思想确定角的范围典例 求函数y=lg(34sinL)的定义域；nnn(2)设是第二象限角，试比较sin cos tai迈的大小.3 3【解】 因为34sin2x>0,所以sin2x<,所以一<sinxV罟利用三角函数线画出满足条件的角的范围(如图阴影部分所示),y所以函数j=lg(34sin2x)的定义域为側一扌，加+扌，kZ.(2)因为是第二象限角,7T所以+2kn<0<n+2kn, kWZ、jr0 jr所以+7t<2<2+7t, kGZ、n所以号是第一或第三象限角.如图阴影部分，结合单位圆上的三角函数线可得: 当号是第一象限角时,0cos =OAjgtan £=C7从而得,cos0<tan02;n当号是第三象限角时,0 0 0sin q=EF, cos =OE9 tan，=C7得 sin f<cos f<tan f.n综上可得，当号是第一象限角时，cose o2<tan 2;当学是第三象限角时，sin |<cos |<tan刃感悟提高本题主要解题思想是数形结合思想.（1）第（1）问 小题的实质是解