常见连续时间信号的频谱

1、12021-11-3这些都应当是这些都应当是已知的基本公式已知的基本公式2021-11-32，0)(e)(tutftttfFtde )()j (j为为221)j (F为为)arctan()(tttdeej0j10)j(e)j(t2021-11-33，0)(e)(tutft221)j (F)arctan()(及其及其与与t01)(tf0/1)j (F0)(2/2/2021-11-34为为tttttfFtdcose2dcos)(2)j (00222)j (F0)(222220)cossin(e2ttt为为2021-11-35d d(t)及其及其ttttftFttde )(de )()(jjdd10

2、t)(td) 1 (01)j (F2021-11-36 不满足不满足，可采用极限的，可采用极限的方法求出其傅里叶变换。方法求出其傅里叶变换。e1 lim 1 |0 tFF2lim220)(2d0002lim2202)arctan(2d2222021-11-37对照对照、时频曲线可看出时频曲线可看出: 0t10)2()j (F时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。及其及其2021-11-380 10 00 1)sgn(tttte )sgn(lim)sgn(0ttFtFtttFtttt

3、tdeedee ) 1(e )sgn(j0j00)j(0)j(jjtttteej1j1j22021-11-390 10 00 1)sgn(tttt)j (F02/2/)(0的的和和2021-11-310及其及其0t)(tu1)j (F0)(2/2/)(0)()(21)()(21)(tututututu)sgn(2121tdj1)()(tuF2021-11-311)(e0jtt)(2de1jdtt由)(2dee 0)j(j00dtFtt得)(2dee 0)j(j00dtFtt同理同理:)2(00)j (F2021-11-312)()( )ee (21cos00jj000ddFttttt0cos1

4、00)()(0)j (F及其及其2021-11-313)()(j)ee (j21sin00jj000ddFttttt0sin100) () (0)j (F0)(2/2/及其及其2021-11-314两边同取傅里叶变换两边同取傅里叶变换 tnnnTCtf0je)(e)j ()(0jtnnnTCFFtfF)(2)(0dnCtfFnnT)2(0Te 0jtnnnFC2021-11-315 因为因为为周期信号，先将其展开为指数形式为周期信号，先将其展开为指数形式傅里叶级数：傅里叶级数：ntnnTTnTtt0je1)()(dd)(12)(0ddnTtFnT)(00dnnnTnTtt)()(dd2021-

5、11-316)(12)(0ddnTtFnT)(00dnnnTnTtt)()(dd000)(tFTd)(00TT)(tTd) 1 (t 及其及其2021-11-317)(XR)(XG4.34.3、功率谱密度的性质、功率谱密度的性质 利用已知的基本公式和利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等变换的性质等2021-11-318 2021-11-319 线性性质线性性质 位移性质位移性质 微分性质微分性质1212( )( )( )( )f tf tf tf tFFF00 () ( )j tf ttef tFF( )( )() ( )nnftjf tFF 2021-11-320，；若)j ()(

6、 )j ()(2211FtfFtfFF)j ()j ()()(2121bFaFtbftafF则其中其中a和和b均为常数。均为常数。2021-11-321)j ()(FtfF若)j(*)(*FtfF则当当f(t)为实函数时，有为实函数时，有|F(j )| = |F( j )| ， ( ( ) ) ( ( ) ) )j (*)(*FtfF)(je)j ()j (FF)j (j)j (IRFF)j()j(),j()j (IIRRFFFFF(j ) )为复数，可以表示为为复数，可以表示为2021-11-322)j ()(FtfF若)j(*)(*FtfF则当当f(t)为实偶函数时，有为实偶函数时，有F(

7、j ) = F*(j ) ， F(j )是是 的的实偶实偶函数函数 )j (*)(*FtfF当当f(t)为实奇函数时，有为实奇函数时，有F(j ) = F*(j ) ， F(j )是是 的的虚奇虚奇函数函数 2021-11-323)j ()(FtfF若0j0e)j ()(tFFttf则式中式中t0为任意实数为任意实数tttfttfFtde )()(j00令令x = t t0，则，则dx = dt，代入上式可得，代入上式可得xxfttfFxtde )()()(j000je)j (tF2021-11-324试求图示延时矩形脉冲信号试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频的频谱函数谱函数F1(j )。

8、0A2t2)(tf0At)(1tfT 无延时且宽度为无延时且宽度为 的的f(t) 如图，如图，)2(Sa)j ( AFTFFj1e )j ()j ()()(1TtftfTAje )2(Sa因为因为故，由故，由可得可得其对应的频谱函数为其对应的频谱函数为2021-11-325)j ()(FtfF若)j (1)(aFaatfF则tatfatfFtde )()(j)j (1de )(1)(jaFaxxfaatfFxa令令 x = at，则，则 dx = adt ，代入上式可得，代入上式可得2021-11-32600tAt0t0)j ()(FtfF若)j (1)(aFaatfF则2021-11-327

9、后语音信号的变化后语音信号的变化 f (t) f (1.5t) f (0.5t)00.050.4-0.5-0.4-0.3-0.2-一段语音信号一段语音信号(“对了对了”) 。抽样频率。抽样频率 = 22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)2021-11-328)(tf220At)(f220A)j ()(FtfF若)(2)j (ftFF则A2424F(j)At2424F(jt)/22021-11-329若若 则则 )j ()(FtfF)( j e)(0j0FtfFtttftfFtttdee )(e)(jjj00式

10、中式中 0为任意实数为任意实数由由定义有定义有ttftde)()j(0)( j 0 F2021-11-330cos)(0ttfF e )(21e )(2100jjtttfFtfF sin)(0ttfF)( j 21)( j 2100FF)( j 2j)( j 2j00FF同理同理 e )(j21e )(j2100jjtttfFtfF2021-11-331试求矩形脉冲信号试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号与余弦信号cos 0 t相乘后信号的相乘后信号的。 )2(Sa)j ( AFcos)(0ttfF)( j 21)( j 2100FF应用应用可得可得 已知宽度为已知宽度为 的矩形脉冲信号对应的的

11、矩形脉冲信号对应的为为2(Sa2(Sa2)0)0A2021-11-332试求矩形脉冲信号试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号与余弦信号cos 0 t相乘后信号的相乘后信号的。 0)j (FA000)cos()(0ttfFA/20A2/t2/)(tf2/At2/ttf0cos)(2021-11-333若信号不存在直流分量即若信号不存在直流分量即F F(0)=0(0)=0)j ()(FtfF若)()0()j (j1d)(dFFfFt则)j (j1d)(FfFt则2021-11-334试利用试利用求图示信号求图示信号f(t)的的频谱函频谱函数数。 tf(t)110t110y(t)=p(t0.5)tty

12、ttptftt)d(d)5 . 0()(利用时域利用时域)()0()j (j1)j (dYYF5 . 0 je )5 . 0(Sa)j ()5 . 0(YtpF)(e )5 . 0(Saj15 . 0 jd由于由于2021-11-335试利用试利用求图示信号求图示信号f(t)的的频谱函频谱函数数。 tf(t)1210tf1(t)110tf2(t)110f(t)表示为表示为f1(t)+ f2(t)即即ttptftd)5 . 0(1)()(3e )5 . 0(Saj1)j (5 . 0 jdF2021-11-336若若则则)j ()(FtfF)j ()j (d)(dFttfF)j ()j (d)(

13、dFttfnFnn2021-11-337试利用试利用求矩形脉冲信号的求矩形脉冲信号的频谱频谱函数函数。 )2()2()( ddtAtAtf2j2jee)( AAtfF)j ()j ()( FtfF)2(Sa)2sin(2)j (AAF由上式利用由上式利用，得，得)2sin(j2 A因此有因此有)2sin(j2 A0(A)2/t2/)( tf(A)(tf220At2021-11-338试利用试利用求图示信号求图示信号f(t)的的频谱函频谱函数数。 tf(t)1210t110f (t)5 . 0()( tptfj0.5Sa(0.5 )eF 5 . 0 je )5 . 0(Saj1)j (F利用利用

14、)(3e )5 . 0(Saj15 . 0 jd信号的信号的2021-11-339)j ()(FtfF若记 f (t)=f1(t)j ()(11FtfF则 dj)j ()()()()j (1FffF2021-11-340试利用试利用求图示信号求图示信号f(t)的的频谱函数频谱函数。 tf(t)1210t110f (t)()5 . 0()( 1tftptf5 . 0 j1e )5 . 0(Saj1)j (FF利用利用d5 . 0 je )5 . 0(Saj1)(3dj)j ()()()()j (1FffF与例与例4结果结果一致！一致！2021-11-341若若)j ()(FtfFnnnFnFtf

15、td)j (dj)(ttfFtde )()j (jttfttfFttde)()j(dedd)(d)j (djjttf tFtde)(d)j (djj将上式两边同乘以将上式两边同乘以j得得d)j (dj)(FtftF则2021-11-342试求试求的的。dj1)()(tuFj1)(ddj)(dttuF 已知已知为为:故利用故利用可得可得:21)(d2021-11-343)j ()( )j ()(2211FtfFtfFF若)j ()j ()()(2121FFtftfF则ttfftftfFtde d)()()()(j2121d de )()(j21ttfft)j ()j (21FFde )j ()(j21Ff2021-11-344求如图所示信号的求如图所示信号的。)(*)()(22tptptf)(Sa4)j (2F)(2Sa)(2tp)j ()j ()()(2121FFtftfF由f(t)t22202021-11-345计算其计算其。)2( ,dee)()(522ttyttdee)()(522ttty)(e*)