上海市徐汇区2018-2019学年高二上学期期末数学试题

1、上海市徐汇区2018-2019学年高二上学期期末数学试题学校:姓名：班级：考号：ur1 .若直线l过点2, 3，且平行于向量d 3,4，则直线l的点方向式方程为 2 .抛物线y2 4x的焦点坐标是.13 .已知直线的倾斜角的余弦值是一，则此直线的斜率是.224 .双曲线士 y2 1的两条渐近线的夹角为 .35 .点P 1, 1到直线x y 1 0的距离是.6 .方程kx2 4y2 4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数 k的取值范围是 7 .若圆x2 y2 2x 4y 0被直线3x y a 0平分，则a的值为.228.抛物线的焦点为椭圆 匕 1的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 549 .

2、已知圆？ + ?- 6?- 7 = 0与抛物线 ? = 2?(? 0)的准线相切，贝U?=x2210 .设fi、F2是椭圆一 y 1的两个焦点，点 P在椭圆上，且满足F1PF2二，42则4 552的面积等于.11 .已知圆C:x2 y2 6x 4y 8 0 .以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .12 .若实数a,b,c成等差数列，点P 1,0在动直线l ：ax by c 0上的射影为m ,点N 0,3 ,则线段MN长度的最小值是 13 .直线|1、|2互相垂直”是 直线|1、|2的斜率之积等于-1的()B.必要不充分条件A.充分不必要条件C

3、.充要条件2 x14.设双曲线aD.既非充分也非必要条件2七 1 (a>0, b>0)的虚轴长为2,焦距为2也,则双曲线的渐近线 b方程为()B. y= i2xa . y= ±72x2215.曲线x yB. k°，4C.°,3D. k6x 0与直线y k x 2有公共点的充要条件是(试卷第5页，总3页2216.如图，设在椭圆y-54C. 5D. 5.517.求经过直线11 ：2x 3y 5° , I2 ： x y °的交点且平行于直线2x y 。的直线方程.2218.已知方程x y 2mx24y 2m 3m °表小一个圆.

4、1中，Bi和B是短轴端点，P是椭圆上不同于 Bi和B的任一点，直线PB1,PB分别交x轴于M , N ,则OM | |ON|().(1)求实数m的取值范围;(2)求半径R的最大值.19.已知动点 A x,y到点F 2,°和直线x2的距离相等.(1)求动点A的轨迹方程；(2)记点 K 2,°,若 |AK| J2AF| ,求 4AFK 的面积.2°.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图：航天器运行(按22顺时针方向)的轨迹方程为 A y- 1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线) 88 44后返回的轨迹是以 y轴为对称轴、M °,8

5、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D 8,° .观测点A 4,°实时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程(只需求出曲线方程即可，不必求范围)；(2)试问：当航天器在 x轴上方时，观测点 A测得离航天器的距离为多少时，应向航天器发出变轨指令？21 .在平面直角坐标系 xOy中，点B与点A (-1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于 -.3(I)求动点P的轨迹方程；(n )设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得 PAB与 PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.本卷由系统自动生成，请

6、仔细校对后使用，答案仅供参考参考答案x 2 y 31. 34【解析】利用平行向量求出直线斜率，可得点斜式方程，化简即可得结果u因为直线l过点2, 3 ,且平行于向量d 3,4 , 4所以直线的斜率k -,3一，、4直线万程为y 3 - x 2 ,3则直线l的点方向式方程为本题主要考查直线的点方向式方程，正确理解点方向式方程的定义是解题的关键2. (1,0)【解析】抛物线y2 4X的焦点在X轴上，且p 2, p 1,所以抛物线y2 4X的焦点坐标为1.0 ,故答案为1,0 .3. 33【解析】【分析】先求出倾斜角的正弦，再求出其余弦，可得倾斜角的正切值，则直线的斜率可求 【详解】设直线的倾斜角为

7、，1因为直线的倾斜角的余弦值是,2,1所以cos -,sin.I2此直线的斜率ktan故答案为：.3本题主要考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查了同角三角函数的关系，属于基础题4. 60o根据双曲线的方程，求得其渐近线的方程，利用斜率与倾斜角的关系， 以及双曲线的对称性,3 y即可求解.2 X 9由题意，双曲线y2 1,可得两条渐近线方程为 3设直线y Yx的倾斜角为，则tan30o,180o），解得30°，根据双曲线的对称性，可得两见解析的夹角为60o.故答案为：60o.本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用,同时考查了直线的斜率与倾斜角的关系的应用，属于基础题点P

8、1, 1到直线x y 1 0的距离是6. 0,4【解析】【分析】将方程化为标准形式，结合椭圆的几何性质求解即可【详解】k 0时不合题意，22k 0时，由 kx2 4y2 4k 可彳# y- 1, 4 k22因为方程kx 4y 4k表木焦点在x轴上的椭圆，所以0 k 4,故答案为：0,4 .【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题7. a 1 ;【解析】【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可.【详解】解：Q x2 y2 2x 4y 022x 1 y 2522xy 2x 4y 0 的圆心（1,2）.圆x2 y2 2x 4y 0被直线3x y a 0平分，可知

9、直线经过圆的圆心,可得32a 0解得a 1 ;故答案为：1.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.28. y 4x【解析】【分析】由椭圆方程可求得右焦点坐标，从而得到p 1,求得P后即可得到抛物线方程2【详解】由椭圆方程知，椭圆右焦点为1,04x设抛物线方程为：y2 2px,则B 1 p 2抛物线方程为：y22故答案为：y2 4x【点睛】本题考查抛物线方程的求解，关键是能够根据椭圆标准方程求得焦点坐标，属于基础题9. 2【解析】4,抛物线准试题分析：？§+ ?- 6?- 7=0 .,.(?- 3)2 + ?9=16,圆心为(3,0),半径为一.？ ?线为？?= - 2

10、,由圆与直线相切可知 2= 1 .?= 2考点：直线和抛物线的性质10. 1【解析】【分析】利用椭圆的定义与勾股定理可得PF1 PF2 2 ,再由三角形面积公式可得结果【详解】2因为F1、F2是椭圆土 y2 1的两个焦点，点P在椭圆上，且满足F1PF24所以PF1 PF2 2a 4PF12 PF22 4c2 12答案第16页，总11页22PFi PF2 PF1 PF222-PF1 PF216 12 4,所以 PF1 PF22 ,1则 F1PF2的面积等于一PF1 PF2 1 ,2故答案为：1.【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，意在考查学生灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.2y

11、12本小题主要考查圆、双曲线的性质.圆 C : x2 y2 6x 4y 8 0y 0x2 6x 8 0,得圆C与坐标轴的交点分别为(2,0), (4,0),22则a 2,c 4,b2 12 ,所以双曲线的标准方程为上上 1.41212. 4 V2【解析】 【分析】由a,b,c成等差数列得直线l ：ax by c 0过定点Q 1, 2 ,然后可知M在以PQ为直 径的圆上，由图形可知 MNmin CN r ,求出CN,r即可得到结果.【详解】解：由a、b、c成等差数列可得a 2b c 0,，直线l：ax by c 0过定点Q 1, 2 , 由点P 1,0在直线l的射影为M得，PMQ 90 ，则M的

12、轨迹是以PQ为直径的圆， 易得，圆心 C 0, 1 , r PC 72, . MNmin CN r 4 72.故答案为：4 .2.关键本题考查直线和圆中的最值类问题，考查了等差中项的性质，考查了直线过定点问题在于能够确定所求最小值即为CN两点间距离减去半径.13. B【解析】【分析】分别判断充分性和必要性得到答案.【详解】直线11、12互相垂直，可能斜率不存在，不能得到直线11、12的斜率之积等于直线11、12的斜率之积等于 T,则直线11、12互相垂直，必要性；故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力14. C【解析】由题意知2b=2,2c=2 , 3 ,1- b=1

13、,c=3 ,a2=c2-b2=2,a=、2 ,渐近线方程为y=±- x= ±f= x=x.故选C.a 2215. D【解析】【分析】根据圆心到直线的距离小于等于半径列式求解即可【详解】2由题，圆x 3y2 9半径为3,故圆心3,0到直线kx y 2k 0距离3k 0 2k223 j 23,即 25k2 9k2 9,解得-7 kk2 14故选：D本题主要考查了根据圆与直线的位置关系求解参数范围的问题，属于基础题16. C【解析】设 P xo, yo,根据点p在椭圆上，有2Xo52y。4Bi和B的坐标,l PB1XX。y 2 l .x,lPB ：y。2x。1 x所以lPB1 :

14、 一x0T，lPB：七 一, y02 x0 y0 22x0y0 2，、一八2x0分别令y 0,得xmy7VxN所以OM | |ON2x0y0 22x0V0 24x2y2 45.属于中档写出直线故选：C.本题主要考查椭圆的方程的应用以及直线的交点问题，还考查了运算求解的能力，题.17. 2x y 3 0【解析】【分析】2x 3y 5 0先由，解得交点坐标，再根据平行于直线2x y 0 ,得到斜率,x y 0的方程.【详解】2x 3y 5y i'由x y 0所以交点坐标为1,1 ,又因为平行于直线 2x y 0 ,所以k 2 ,所求直线的方程为 y 12x1,即 2x y 3 0.【点睛】

15、本题主要考查两直线的位置关系及其应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题 c518. (1)1,4 ； (2)-.2【解析】【分析】(1)将圆的化成化简成标准方程，再根据方程右边大于 0计算即可.(2)化简可得R2m2 3m 4,再利用二次函数的最值求解即可.【详解】,、2221) ) x m y 2 m 3m 4 01 m 4,即实数m的取值范围是1,4 ;232525352) R2m2 3m 4 m -W,当且仅当m 时，半径r取得最大值一.24422【点睛】本题主要考查了圆的一般方程化为标准方程的方法，同时也考查了二次函数最值的问题.属于基础题.219. (1) y 8x (2) S 8

16、【解析】【分析】(1)由动点A(x, y)到点F (2,0)和直线x2的距离相等，知动点A的轨迹为抛物线，由此能求出动点A的轨迹方程.(2)过A作AB l ,垂足为B ,根据抛物线定义，得| AB | | AF | ,由| AK |/| AF | ,知AFK是等腰直角三角形，由此能求出AFK的面积.【详解】解：(1)Q动点A(x, y)到点F (2,0)和直线x 2的距离相等，动点A的轨迹为抛物线，其焦点为 F(2,0),准线为x 2,设方程为y2 2 px ,其中2,即p 4, 2所以动点A的轨迹方程为y2 8x；(2)过A作AB l ,垂足为B ,根据抛物线定义，得| AB | | AF

17、|,由于|AK | 72|AF |,所以 AFK是等腰直角三角形，其中|KF | 4,一,1所以 S AFK 4 4 8 , 2【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查三角形的面积的求法，解题时要认真审题， 注意等价1 2一x 8; (2) 10 8转化思想的合理运用，属于中档题.20. (1) y【解析】【分析】(1)先设出抛物线的方程，结合所经过的点列出方程，然后解方程得到参数的值；(2)先求解变轨时点的坐标，然后利用两点间的距离公式求出AC即可.(1)设曲线方程为y ax2 8 ,由题意可知，0 a 64 8 ,，曲线方程为y8;（2）设变轨点为C x, y ,根据题意可知88y44，

18、得y2 4y 12 0 ,解得y 6或y 2 （不合题意，舍去），. y 6,得x 4或x 4 （不合题意，舍去），.C点的坐标为 4,6 , AC 10,答：当观测点 A测得离航天器的距离为 10时，应向航天器发出变轨指令.【点睛】本题主要考查圆锥曲线在实际生活中的应用，理解模型，求解模型是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养，属中档题 .2221. （I） x 3y 4（x 1） （II）存在点P使得 PAB与 PMN的面积相等，此时点 P的坐标为（5, _23）.【解析】【分析】【详解】1试题分析：（1）利用直接法设P x,y x 1，利用直线AP与BP的斜率之积等于 -, 得到关于x, y的方程，求得其轨迹方程；（2）根据题意设p x0,y0，点M,N的坐标分别为3,yM , 3,yN三个点的坐标，再利用三角形的面积公式和点到直线的距离公式，求得S PAB和S PMN的面积，利用S PAB S PMN，进而得到关于x0的方程，求得点P的坐标为533一,3922试题解析：（1）点P的轨迹万程为x 3y 4 x 1 ； 5分（2）设点p的坐标为Xo, y0，点M,N的坐标分别为 3,yM , 3,yN ,y 1.则直线ap的方程为y 1x 1 , Xo 1.y 1.直线bp的方程为y 1 -x 1 Xo 14 yoXo3令 X 3 ,得 yM,，