综合与实践：探寻神奇的幻方

1、       综合与实践探寻神奇的幻方                     一、教材内容和内容解析1.教材内容本节课以探寻三阶幻方的本质特征为中心，感受幻方的神奇之处，让学生在活动和实践中探索幻方的一般规律，积累构造三阶幻方的经验，初步获得“由特殊到一般”的探究问题的方法和经验。2.教材的地位及作用本节课是北师大版教材七年级下册综合与实践课程，学生初中阶段接触的第

2、一个“综合与实践”活动课。本课主要以是以古老的幻方知识为引子，以探寻三阶幻方的本质特征为载体，让学生借助对幻方中的数量关系探究的过程，经历认识美了解幻方、揭秘美探究幻方、创造美设计幻方三个大环节，从而达成领会问题、探究方法、提升问题、解决问题的目标。二、教学目标和目标解析1.教学目标（1）综合运用有理数混合运算、字母表示数及其运算等知识,探索三阶幻方的特征；（2）经历观察、猜想、类比、归纳等活动,初步积累构造三阶幻方的经验；（3）通过自主探究、合作交流的学习方式,感悟数学思想、体验数学之美，创造属于小组独特的三阶幻方。2.目标解析根据新课标的要求，由浅入深、层层深入，制定了以上教学目标。本节课

3、教学目标（1）是本节课的基本要求；教学目标（2）的确立则在（1）的基础上形成的对于探究过程的一般方法和过程；教学目标（3）则是以本节活动课为平台，开展丰富的小组合作，激发学生的兴趣和创造性。三、教学问题诊断分析1.学情分析学生已完成了“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，有过“探索规律”的经历，对图形对称性也有初步了解。本节课主要面临的问题是从哪里入手，以及从哪些角度研究三阶幻方的本质特征和构造思路，如何讲清特征背后的道理、提炼幻方构造的普适性方法。本节课是学生初中阶段第一次接触综合实践活动，其研究意识和研究思路还不成形，教学定位在示范引领学生初步掌握研究性学习的方法，以面向全体学生的数

4、学活动为主线，在层层递进的探究过程中引导学生积累数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，进而从中感受和反思解决问题的方法和经验。2.学习困难点（1）不清楚应该从哪里入手来研究三阶幻方；（2）不知道从哪些角度来研究三阶幻方的本质特征；（3）不知道如何讲清特征背后的道理、提炼幻方构造的普适性方法。3.教学重点、难点重点：经历探究过程，发现和提炼蕴含在三阶幻方中的数学知识和规律，并应用知识和规律去解决实际问题。难点：描述幻方数字的内部关系，构造符合要求的幻方。四、教学支持条件分析1.生讲生学与课堂的融合本节课是一节活动课，综合与实践活动的重心是以小组合作交流的方式，结合小组共学、学

5、生展讲等生讲生学的形式，让学生通过活动中的问题串对蕴含的规律进行分析，给学生提供充足的探索和表达规律的时间。2.教学策略（1）突出重点：通过课前自信三分钟让同学展示幻方的小故事，激发学生学习的兴趣；教学过程中利用问题串和层层递进的知识，紧扣教学目标开展活动；小组讨论交流，展示分享，让学生充分感受幻方中的数字规律和数学之美。（2）突破难点：本节课设计多个环节降低学生对于研究幻方不知从何下手的难度，利用问题串引导学生逐步探究，进行表达。3.教法、学法教法：课堂采用探究式教学法，突出问题的提出与解决，启发学生尽可能运用所学知识思考问题、解决问题，注重理解的层次性。学法：突出小组合作学习、动手实践以及

6、类比归纳等表达能力。五、教学过程设计课前准备：导学稿，北师大版七上数学教材，草稿纸，九宫格纸和文具。自信三分钟展示的同学和课代表在前门口就位等待。【第一环节】了解幻方走近美值日课代表：进行课前引入，引出今天要进行课前自信三分钟的同学。自信三分钟展示同学：介绍幻方的故事，让同学们初步了解幻方即可。教师活动：同学们，刚才某某同学所讲的洛书，是中华民族对世界的伟大贡献之一，是世界公认为组合数学的鼻祖，幻方更被数学家建议作为与“外星人”联系的特殊语言之一！古往今来世界上有许许多多的人们研究幻方并且乐此不疲，究竟它有什么神奇之处呢？今天就让我们一起来：探寻神奇的幻方。（教师板书课题：探寻神奇的幻方）设计

7、理念：让学生提前通过查资料等方式了解与幻方有关的知识，初步了解幻方的特征。【第二环节】认识幻方发现美师：什么是幻方呢？幻方是一个正方形表格，其中每个格子都填入了各不相同的整数，使得每一行，每一列以及每条对角线上的数字之和相等。这个和称为幻和。一般地，按照纵横各有数字的个数，可以分为三阶幻方、四阶幻方等。今天我们就来研究最古老，也最基础的三阶幻方。（教师板书：一、认识幻方：每行，每列、每条对角线上数字之和相等。）为了方便同学们描述，我们将每个角上的格子称为角格，每条边中间的格子称为边格，最中间的格子称为中间格。我们来观察。【第三环节】探究幻方揭秘美师：我们昨天请同学们预习，将1-9九个数字填在3

8、×3的方格中，使得每一横行，每一竖列和每条对角线上的三个数之和相等，请问大家填出来了吗？（完成的同学请举手）下面我们请同学们将你们填写的结果写在方格纸上，并思考以下问题，率先完成的四位小组请派代表将你们的成果在黑板上展示出来。（教师准备四个吸铁石，将小组作品展示在黑板第二版区。）1. 揭秘一：q1：你能发现哪些相等关系？q2：幻和是多少？q3：幻和与九个数之和有什么关系吗？为什么呢？生：每行，每列和每条对角线上的三个数和相等，幻和为15，是九个数之和的三分之一，因为有三行，每一行和又相等，所以幻和等于45÷3=15。师：非常好，某某同学的逻辑非常清晰，那你能得到幻和和九个数

9、之和的一般性结论吗？生：（齐问齐答）幻和=九个数之和÷3。（教师板书：揭秘一：幻和=九个数之和÷3）师：很好，我们在探究时将横、竖、斜三个数联合起来整体来看，由显性的位置关系得到背后隐藏的数量关系。非常棒！给我们一种数学之美，美在和谐，美在统一。活动内容：观察归纳，独立思考，同桌互助。完成的同桌举手示意。活动目的：发现幻方中每一横行、每一竖列、每条对角线上的三数之和为定值。并且联系和九个数之和的关系，得到幻和是九个数之和的三分之一，并说明其内在原理。这个问题相对比较基础，同桌互助即可解决。2. 揭秘二：师：那我们能不能单独来观察呢？得到了幻和九个数之和的关系，那我们再来观察

10、，探究这几个问题。q1：这几个幻方中，最核心的数是哪一个？q2：这几个幻方中，最核心的数分别是多少？q3：为什么它是最核心的呢？说说你的理由。q4：这个数与幻和有什么关系吗？师：（学生进行讲解为什么中间数字是5，对学生的回答进行评价，多以正面肯定和鼓励）确定了中间数字必须为5，请问它和幻和又有什么关系呢？（齐问个答，老师板书：幻和=中间数×3）。你看我们数学之美，美在特殊，美在对称。活动内容：小组共学，一人展讲，老师在草稿区进行记录。学生通过对比，观察归纳可以得到中间数字相同并且都为5，讨论交流为何中间数字是5的内在原因。活动目的：明确中间数为何是5的原因，很多学生知道中间数是5，但

11、不清楚为什么是5，不知道如何表述其中的原因。引导学生可以用字母来进行解释，强化用字母表示数的意识，也可以根据学生实际情况决定讲解的程度。2. 揭秘三：师：除了整体来看，单独来看，我们能不能联合起来看呢？请观察：q1：在对中间数的探究基础上，幻方中有“成对”出现的数吗？q2：说说你对“成对”的理解。q3：“成对”两数满足怎样的数量关系呢？师：由这条结论，那我们还可以推导，经过中间格的相对两数和等于？（齐问个答，老师板书：“相对两”数和=中间数×2）（学生进行讲解为什么1和9、2和8、3和7、4和6要在一条线上，对学生的回答进行评价，多以正面肯定和鼓励，学生还可能提出四个角的数的奇偶性，

12、讲解清楚即可，不必在此处做过多讲解和逗留）师：太棒了，我们一起结合幻方中各数的位置特征和数量特征，从纵、横、斜、整体到局部、一般到特殊等多个维度探究了我们神奇的三阶幻方，感受独特的数学之美，形美数美。揭秘四：师：探究了这么美的幻方，如果让你来构造一个如此美的幻方，请问你认为需要分几个步骤呢？分别要确定什么呢？生：（共学组活动，交流讨论。）生：一般分为三步：1、定幻和;2、定中间数;3、定相对数。（教师板书：1、定幻和;2、定中间数;3、定“成对”数。）活动内容：小组共学，一人展讲，总结前面分享交流的结论，形成构造三阶幻方的步骤。老师在草稿区进行记录。活动目的：部分学生在小学就有构造幻方的经历，

13、但大部分同学只是简单地背记老师所给的方法，这节课就是要摒弃学生的机械记忆，在了解幻方实质的基础上形成自己的方法。【第四环节】应用幻方创造美师：领略了神奇的幻方之美，下面让我们一起来试试能不能用我们探究到的一般规律，解决于幻方有关的问题呢？应用一：1、图1是一个三阶幻方，则m=( )2、如图是一个三阶幻方，则x的值为（ ）3、如图3是个三阶幻方，则a=（ ），b=（ ）。x1624a18m221718b2323图1图2图3活动内容：独思独做，小组共学，讨论交流，展讲。活动目的：巩固课堂所学知识，作业的设置是有层次的：第1题直接给出同一行的三个数，学生可以用“幻和=中间数×3”或者“经过

14、中间格的相对两数和=中间数×2”的规律来进行解答；第2题可以利用幻和来进行解答，同学们可以借助方程思想得到方程：17+23=x+16，进而得到x的值；第3题在于引起学生思维的冲击，但有了第二题的铺垫和思想方法的渗透，使得第三题相对更易解决，首先类似于第二题的方法，得到方程：23+18=24+a，求得a=17，再由第一问的方法求得b的值。应用二：教师活动：请同学们以小组为单位，用不同的九个数字来构造一个三阶幻方，创造出独属于你们小组的三阶幻方。1、用九个不同的数字来构造一个三阶幻方；2、为它取个名字吧；3、赋予它独属于你们小组的意义吧。奥利给！.每个小组四人上台展示,准备5分钟，2分钟

15、展示；.三阶幻方符合要求，且运算结果准确;.设计思路精妙，故事有意义；.展示者表达清晰，语言幽默，仪态大方。活动内容：限时5分钟，小组交流，展讲。教师用希沃进行拍照投屏展示。活动目的：巩固课堂所学，充分体现学生的动手实践，【第五环节】课堂小结回味美q1：通过本节课的学习，你还收获了哪些方面的知识？q2：在解决本节课三阶幻方填写问题过程中，你经历了怎样的过程，总结了怎样的问题解决的思路和方法，感悟到了哪些数学思想？积累了哪些数学活动经验？q3：在学习的过程中你自己参与活动的表现怎么样？其他同学的发言和分享对你的学习有怎样的帮助和启发？活动内容：本环节是想引导学生从不同角度梳理和反思自己的学习收获

16、，帮助学生感悟和提炼在问题解决过程中总结的思想和方法。重点引导学生反思：本节课的学习，你获得了哪些与以往不同的感受？活动目的：让学生交流总结，一方面让学生感受知识形成的过程，另一方面训练学生归纳概括知识的能力，使知识系统化，条理化，培养学生归纳、反思的意识。通过展示最强大脑七阶幻立方的相关视频，让学生的好奇心和挑战欲再次升华不断，我们今天研究的三阶幻方是最古老也是最基础的，通过视频让同学们的好奇心和求知欲再次达到高潮，课堂有限但是知识探索无限，时间有限但是学生的回味无限，升华主题，可以引起学生的崇拜之情和探索之欲，达到综合与实践的育人目标。师：经历本节课探索幻方，探索美的过程，相信同学们从不同

17、方面都有收获，只要你有心，甚或处处皆学问，我们用数学的眼光来看待世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，这一切，都给我们以美的享受！探寻的脚步永不停止，也期望我们的同学们能不断探寻，不断发现，创造美好！下课！板书设计探寻神奇的幻方1. 幻方：每行、每列、每条对角线上的数字之和相等幻和：2. 探究三阶幻方1. 幻和=九个数之和×2. 中间数=幻和×3. “成对”两数和=中间数×24、制作幻方的步骤：、定幻和;、定中间数;、定“成对”数学生展示区探寻神奇的幻方一、幻方的概念一般地，一个n行n列的正方形方格中，每行、每列和每条对角线上的数字和都相等，这样的数字

18、方阵称为n阶幻方。二、三阶幻方的构造方法计算九数之和 ；计算幻和（ ÷3）；确定”中心数”( ÷3÷3)；配对；定奇偶。若设9个数分别为a,b,c，d,e,f,g,h,i.则(a+e+i)+（b+e+h）+（c+e+g）+（d+e+f）=15×4(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3e=60, 即45+3e=60， e=5探寻神奇的幻方一、幻方的概念一般地，一个n行n列的正方形方格中，每行、每列和每条对角线上的数字和都相等，这样的数字方阵称为n阶幻方。二、三阶幻方的构造方法计算九数之和 ；计算幻和（ ÷3）；确定”中心数”( ÷3÷3)；配对；定奇偶。若设9个数分别为a,b,c，d,e,f,g,h,i.则(a+e+i)+（b+e+h）+（c+e+g）+（d+e+f）=15×4(a+b+