初中数学直角三角形的判定

1、学习必备欢迎下载直角三角形的判定内容（课题）直角三角形的判定和勾股定理的应用教学目的 （以新课标的三维目标三个层次写）1.熟练掌握勾股定理，并会用勾股定理去验证、直角三角形的判别条件以及勾股数。2 运用所学勾股定理解决一些问题3.经历探索勾股定理过程，发展合情推理能力，体会由特殊到一般及数形结合思想。重难点（ 考点）分析1. 掌握好勾股定理并能运用勾股定理解决遇到的相关实际问题。2. 掌握好勾股定理的逆定理。3. 能熟练的区分勾股定理和勾股定理的逆定理。4. 能把勾股定理和勾股定理的逆定理运用于实际，解决实际问题。教学过程（ 上次作业答疑本次考点分析、方法点拨典例精练小结）一、导入【典型例题】

2、1、关于勾股定理结论如果直角三角形两直角边分别为 a， b，斜边为 c，那么 a2+b2=c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。注意：（1）由于我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，因此上结论被称为“勾股定理” 。（2）勾股定理有着悠久的历史，古巴比伦和古中国人最早发现（看出）了这个关系，古希腊毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系，因此，国际上称该结论为“毕达哥拉斯定理”（3）勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的性质。它把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，体现了重要的数学思想- 数形

3、结合。（4）勾股定理不仅源于生活，同时又广泛应用于生活。2、关于勾股逆定理结论如果直角三角形三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（且 C=90°）注意：（1）勾股定理是直角三角形的性质定理，而此结论是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三学习必备欢迎下载角形是否为直角三角形，而且可以判定直角三角形中哪一个角为直角，这种利用计算的方法来证明的方法，体现了数形结合的思想。（2）事实上，当三角形三边为a、b、 c，且 c 为最大边时，222222若 c >a +b ，则 C为钝角；222若 c <a +b ，则 C为锐角。（3）满足条件 a

4、2 +b2=c2 的三个整数，称为勾股数。常见的勾股数组有： 3、4、5； 5 、12、13； 8 、15、17； 7 、24、25； 20 、21、29； 9 、40、41；这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。 c 3、关于勾股定理的证明这里再介绍几种典型的利用拼图验证的方法：（1）赵爽的方法如图，由大正方形面积等于四个小直角三角形及中间小正方形面积之和，可得勾股定理。cb b-aca一个c（2）拼图的方法如图，由图1 中两个小正方形的面积之和等于图2 中的小正方形面积可得勾股定理。baacb c图 1图 2（3）总统的方法如图，用两个全等的正方形纸板拼得，由梯形面积等于三个三角形面积之和可

5、得勾股定理。4b c13527 6a6125（4）七巧板拼法利用两付同样大小的七巧板拼图，也能验证勾股定理。437四典型例题例 1已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm和 4cm，求：第三边的长。解：（1）已知的两边若是直角边，则第三边是斜边。222222根据勾股定理，斜边c a +b =3 +4 =5（ 2）已知的两边若一边是直角边、另一边是斜边，则较大的斜边，第三边就为另一条直角边。根据勾股定理： c2a2+b2，则 b2=c2-a 2=42-3 2 =17，所以第三边（直角边）的长为17 。答：第三边长是5cm或17 。学习必备欢迎下载点析：因为不清楚已知的两边是否全是直角边还是其中一

6、条是斜边，所以在求第三边的长时，应考虑到分类进行，从而避免漏解。 例 2如图，在 ABC中， AB=15,BC=14,CA=13求 BC边上的高 AD。解：设 CD=x，则BD=14-x ，在RTABD和 RT ACD中，由勾股定理可得：222222，两式相减，可得： (14-x)22解之得： x =5在 RTACD中，由勾(14-x) +AD=15和 x +AD=13- x 56=股定理得： AD=12点析： ABC被高 AD分成的两个直角三角形的直角边都是未知数，需在两个直角三角形中分别用勾股定理，构成方程组，才能求得结果，这种方法在直角三角形的有关计算中是经常应用的。 例3已知：如图，在

7、 ABC中，E=C=90°，AD是 BC边上的中线， DE AB 于 E 于222，求证：AC=AE-BE222222证明：根据勾股定理， 在 RTACD中，AC=AD-CD，在 RT ADE中，AD=AE+DE，在 RTBDE中，222DE=BD-BE22222222AC=AE+DE-CD=AE+BD-BE -CD又 BD=CD222 AC =AE-BE点析： 证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件。例 4如图，已知： ABC中， C=90°，点 D是 AC上的任意一点，222

8、2B请判断 AB+CD与 AC+BD的大小关系。分析：这里有两个直角三角形，结论又是平方形式，故考虑用勾股定理222解：Rt ABC中， AB=AC+BC,22Rt BCD中， CD=BD-BC2222两式相加得， AB+CD= AC +BD例 5 如图，已知： AC平分 BAD，CE AB于 E，CF AD于 F，CB=CD，（1）求证： BCE DCF；（2）若 AB=21，AD=9，CB=CD=10，求 AC。解：（1）由角平分线性质得 CE=CF，由“ HL”可证 BCE DCF（2）由（ 1）可设 BE=DF=x，则 AE=21-x，AF=9+x，CDAF易知 ACE ACF AE=

9、AF， 21-x=9+ x ，x=6DC22222A RtBCE中 CE=CB-BE =10 -6 =64， CE=8EB学习必备欢迎下载22222 RtACE中， AC=AE+CE=15 +8 =289，AC=17说明：在几何证明和计算中出现直角时，常考虑运用勾股定理。考点一：勾股定理例 1：在 ABC 中， C=90°，（ 1）若 a=3， b=4 ，则 c=_ ；（ 2）若 a=6， c=10 ，则 b=_ ；（ 3）若 c=34， a： b=8： 15，则 a=_， b=_.方法与规律：学会正确应用勾股定理，关键是能准确判断斜边（直角所对的边）；若不能直接运用勾股定理：如已知

10、边的比值时通常可以引入一个辅助未知量，通过建立方程（或方程组）来解决边的问题.例 2：已知三角形的两边长分别是3、 4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。考点二：勾股定理的验证例 3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a 和 b，斜边长为c，图（ 2）是以 c 为直角边的等腰三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。（ 1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。（ 2）用这个图形证明勾股定理。（ 3）假设图（ 1）中的直角三角形有若干个，你能用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼接后的示意图。（无

11、需证明）【思路分析】 将三个图形拼接在一起，可得到一个直角梯形，用两种方法表示出该直角梯形的面积，利用面积相等即可验证勾股定理。解：（ 1）如下图。直角梯形（2） S 梯形= 1（a+b）（ a+b）= 1（ a+b） 212112S 梯形 =2×ab+c2= ab+c2222 1 （ a+b）2=ab+ 122c2 整理得： a2+b2=c2学习必备欢迎下载（ 3）用 4 个全等的直角三角形，可以拼出如下图形。考点三：直角三角形的判别条件例 4：已知 ABC 中， a=m2n2，b=2mn ， c=m2+n2，其中 m， n 是正整数，且 m n，试判断 ABC 是否为直角三角形

12、?【思路分析】 本题关键是确定最大边，然后根据直角三角形的判别条件来判定该三角形为直角三角形.2222224224224224，解：因 m，n 是正整数，且 m n，所以 c b，c>a.a+b =（ m n ）+（ 2mn）=m 2mn +n+4m n= m +2m n +nc2=（ m2+n2） 2= m 4+2m2 n2+n4，所以 a2 +b2=c 2，故 ABC 是直角三角形.方法与规律 : 已知三角形的三边长判定三角形的形状时，一般做法是：验证较小两边的平方和与最长边的平方之间的关系，满足“a2+b2=c2”形式，就是直角三角形，否则不是.例 5：如图，已知 AB=4 ， B

13、C=12 ， CD=13 ， DA=3 ， AB AD ，说明 BC BD.BCAD【思路分析】 利用勾股定理的逆定理判别一个三角形是不是直角三角形时，当较小两边的平方和等于较大边的平方时，才可判断这个三角形是直角三角形.较大边的对角是直角.不能机械地认为c 边所对角是直角.解： 在 RtABD 中，有 BD 2=AB 2+AD 2=42+3 2=25 ，又 BD 0， BD=5. BD 2+BC 2=52+12 2=169=13 2=CD 2， DBC=90 ° BC BD.方法与规律：判定直角三角形的方法是：当已知一个三角形的两内角度数或三个角的度数之比时，利用定义判定 .当已知

14、三边长或三边长的比时，利用勾股定理的逆定理来判定.例 6：若 ABC 的三边长 a、 b、c 满足条件 a2+b2+c 2+200=12a+16b+20c ，试判断 ABC 的形状。【思路分析】从而判断出 ABC欲判断的形状。ABC 的形状，先将条件中的等式变形，求出a、b、c 的值，然后确定a、b、c 的关系，解： 由 a2+b2+c 2+200=12a+16b+20c ，得（ a2 12a+36） +（ b2 16b+64 ） +（c2 20c+100 ）=0，所以（ a 6）222222222222+（ b 8）+（ c 10）=0.又因为（ a 6） 0（， b 8）0，（ c 10）

15、 0，所以 a=6，b=8，c=10，所以 a +b =6 +8 =10 =c . 所以 ABC 是直角三角形。考点四：勾股数的考查例 7：下列各组数是勾股数吗？为什么？（ 1） 7， 24， 25 （2） 0.3， 0.4， 0.5【思路分析】 判断一组数是否是勾股数，需具备如下两个条件：（ 1）三个数必须是正整数； （ 2）其中两个数的平方和等于第三个数的平方。解：（ 1）因为 7， 24，25 都是正整数，且满足72+242 =252 ，所以 7， 24， 25 是一组勾股数；学习必备欢迎下载（ 2）因为 0.3， 0.4， 0.5 不是正整数，故 0.3， 0.4， 0.5 不是勾股数

16、。巩固练习一、选择题1.若一直角三角形两边长分别为12 和 5，则第三边长为（）A. 13B. 13 或 119C.13 或 15D. 152.直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为（）A. 12B. 10C. 8D. 63.如果一个等腰直角三角形的面积是2，则斜边长的平方为（）A. 2B. 4C. 8D.4 2*4.若直角三角形两条直角边长分别为5 ， 12 ，则斜边上的高为（）A.6 B.80 C.8 D.60 1313*5.等腰三角形底边长10，腰长为13，则此三角形的面积为（）A. 40B. 50C. 60D. 706.满足下列条件的ABC ，不是直角三角形的是（）A. b 2=

17、c2 a2B. a b c=3 4 5C. C= A BD. A B C=12 13 15*7. 三角形的三边长为(ab) 2c 22ab ，则这个三角形是（）A.等边三角形B . 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形*8. 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的A 和 BDC 都应为直角，将量得的这个零件的各边尺寸标注在图中，由此可知（）A. A 符合要求B. BDC 符合要求C. A 和 BDC 都符合要求D. A 和 BDC 都不符合要求*9. 一根旗杆在离地面A. 10.5 米4.5 米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部米C.12 米D.8 米6 米处，则旗杆折断前高（）10. 如图，一架25 分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子距墙底端分米，那么梯子将平滑（）7 分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米学习必备欢迎下载二、填空题：11.假如有一个三角形是直角三角形，那么三边a、 b、 c 之间应满足，其中边是直角所对的边 .*13.将勾股数 3， 4， 5 扩大 2 倍， 3 倍，